Πάλι για περιοδικές συναρτήσεις

#1

α) $f_1,f_2,...,f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι περιοδικές συναρτήσεις και f=f_1+f_2+...+f_n

Αν $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=a \in \mathbb{R}}$ , να αποδειχθεί ότι η

είναι σταθερή.

β) Αν $a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}$ και $a_1\cos(a_1x)+a_2\cos(a_2x)+a_3\cos(a_3x) \ge 0,\ \forall x \in \mathbb{R}$ ,

να αποδειχθεί ότι a_1a_2a_3=0

peter · #2

(α) Θεωρούμε τον τελεστή διαφοράς $\Delta_af(x)=f(x+a)-f(x)$ . Παρατηρούμε τα εξής:

1. Η

είναι

-περιοδική αν και μόνον αν $\Delta_af=0$ ,

2. αν η

γράφεται ως άθροισμα

περιοδικών συναρτήσεων με περιόδους $a_1,\ldots,a_k$ αντιστοίχως, τότε $\Delta_{a_1,\ldots,a_k}f=0$ και

3. αν $\lim_{x\to \infty}f(x)=b$ και $a\in \mathbb R$ , τότε $\lim_{x\to \infty}\Delta_af(x)=0$ .

Θα δείξουμε τον εξής ισχυρισμό με επαγωγή στο πλήθος:

Ισχυρισμός. Αν $\lim_{x\to \infty}f(x)=a$ και $\Delta_{a_1,\dots,a_n}f=0$ για κάποιο $n\in \mathbb N$ και κάποιους a_j

, τότε

για κάθε

.

Για

είναι γνωστό και εύκολο. Υποθέτουμε τώρα ότι αν $\Delta_{a_1,\ldots,a_k}f=0$ για κάποιους a_j, k<n

και $\lim_{x\to \infty} f(x)=L$ , τότε f(x)=L

για κάθε

. Έστω τώρα

με $\Delta_{a_1,\ldots,a_n}f=0$ και $\lim_{x\to \infty}f(x)=a$ . Θεωρούμε την $g=\Delta_{a_1,\ldots,a_{n-1}}f$ και παρατηρούμε ότι $\lim_{x\to \infty}g(x)=0$ . Επιπλέον, η

είναι περιοδική. Άρα, από το βήμα 1 έχουμε ότι g(x)=0

για κάθε

. Οπότε, $\Delta_{a_1,\ldots,a_{n-1}}f=0$ και $\lim_{x\to \infty}f=a$ . Άρα, από την επαγωγική υπόθεση έπεται ότι f(x)=a

για κάθε

.

Τώρα το συμπέρασμα του (α) είναι άμεσο από τον ισχυρισμό και την ιδιότητα 2 του τελεστή διαφοράς.

Το (β) έχει πιο πολύ πλάκα. Θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=\sin(a_1x)+\sin(a_2x)+\sin(a_3x)$ . Η

είναι άνω φραγμένη και αύξουσα. Άρα, υπάρχει το $\lim_{x\to \infty}h(x)$ στο $\mathbb R$ . Από το (α) η

είναι σταθερή. Εύκολα βρίσκουμε ότι h=0

. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις (εδώ υποθέτουμε ότι κανένα από τα a_j

δεν είναι μηδέν διαφορετικά δεν έχουμε τππ να αποδείξουμε):

1. |a_1|=|a_2|=|a_3|

. Τότε, υπάρχει $j\in \{1,2,3\}$ ώστε $\sin(a_jx)=0$ για κάθε

, άτοπο.

2. $|a_1|>|a_2|\geq |a_3|$ . Τότε παραγωγίζοντας

φορές βρίσκουμε $a_1^n\sin (n\pi/2+a_1x)+a_2^n\sin(n\pi/2+a_2x)+a_3^n\sin (n\pi/2+a_3x)=0$ για κάθε $n\in \mathbb N$ και $x\in \mathbb R$ . Διαιρώντας με a_1^n

έχουμε $\sin (n\pi/2+a_1x)+(a_2/a_1)^n\sin(n\pi/2+a_2x)+(a_3/a_1)^n\sin (n\pi/2+a_3x)=0$ . Αφήνοντας $n\to \infty$ παίρνουμε ότι για κάθε

ισχύει $\sin(n\pi/2+a_1x)\to 0$ , άτοπο.

3. $|a_1|\geq |a_2|>|a_3|$ . Παρόμοια.

Το (β) νομίζω γενικεύεται και για περιττό πλήθος. Για άρτιο μπορούμε εύκολα να δούμε ότι δεν ισχύει.

#3

Μία κάπως διαφορετική αντιμετώπιση(τη γράφω, γιατί θεωρώ πως είναι πιο προσιτή):

(α) Με επαγωγή (Σε όλες τις ακόλουθες περιπτώσεις θεωρούμε πως T_i

είναι περίοδος της f_i

Αν η συνάρτηση είναι μία τότε f_1=f

Αν $x,y \in \mathbb{R} \wedge x \neq y$ , τότε

$\displaystyle{f(x)=f(x+nT_1), n \in \mathbb{N} \Rightarrow f(x)=\lim_{n \to \infty}f(x+nT_1)=a}$ και

$\displaystyle{f(y)=f(y+nT_1), n \in \mathbb{N} \Rightarrow f(y)=\lim_{n \to \infty}f(y+nT_1)=a}$ , άρα η

είναι, προφανώς, σταθερή.

Υποθέτουμε ότι η πρόταση ισχύει για οποιεσδήποτε

περιοδικές και

επίσης υποθέτουμε ότι οι $f_1,f_1,...,f_m,f_{m+1}$ είναι περιοδικές, $f=f_1+f_2+...+f_m+f_{m+1}$

και $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=a \in \mathbb{R}}$ , τότε

$g(x)=f(x+T_1)-f(x)=f_2(x+T_1)+f_3(x+T_1)+...+f_{m+1}(x+T_1)$

Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}g(x)=a-a=0}$ (1) και επειδή οι συναρτήσεις

$f_2(x+T_1),f_3(x+T_1),...,f_{m+1}(x+T_1)$ είναι επίσης περιοδικές, η

είναι σταθερή και λόγω της (1)

$g(x)=0 \Rightarrow f(x+T_1)=f(x),\ \forall x \in \mathbb{R}$ , άρα, σύμφωνα με τη απόδειξη που έγινε στο πρώτο επαγωγικό

βήμα η

είναι σταθερή.

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=sin(a_1x)+sin(a_2x)+sin(a_3x), x \in \mathbb{R}$

Λόγω του δεδομένου $f{'}(x) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ , η

είναι αύξουσα και επειδή είναι, προφανώς, και φραγμένη

θα έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=a \in \mathbb{R}}$ , άρα από το (α) η

είναι σταθερή, συνεπώς

$f{'}(x)=0,\ \forall x\in \mathbb{R}$ (1) και $f^{(3)}(x)=0,\ \forall x \in \mathbb{R}$ (2).

Η (1) για x=0

δίνει

Η (3) για

δίνει

, άρα (Euler)

a_1a_2a_3=0

peter · #4

Ωραία! Η απόδειξη στο (α) είναι ίδια. Στο (β) είναι πιο γρήγορη με την ταυτότητα του Euler, αλλά δε γενικεύεται για οποιοδήποτε περιττό πλήθος.

Ισχύει το (α) για άπειρο πλήθος; Αν $f_n:\mathbb R\to \mathbb R$ είναι ακολουθία περιοδικών συναρτήσεων και η $\sum_{n=1}^\infty f_n$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια

, για την οποία ισχύει $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=L\in \mathbb R$ , τότε η

είναι σταθερή;

Πάλι για περιοδικές συναρτήσεις

Πάλι για περιοδικές συναρτήσεις

Re: Πάλι για περιοδικές συναρτήσεις

Re: Πάλι για περιοδικές συναρτήσεις

Re: Πάλι για περιοδικές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση