ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

[R BORIS]

Μια φωτεινή ακτίνα εισέρχεται από την κορυφή Α στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒCD και αρχίζει να ανακλάται στις πλευρές. Μπορεί να εξέλθει μόνο από κάποια κορυφή. Αν η πλευρά του έχει μήκος και αν όπου Ε το πρώτο σημείο ανάκλασης τότε
1. Να δειχθεί ότι η ακτίνα θα εξέλθει του τετραγώνου αν και μόνο αν το κλάσμα είναι ρητός αριθμός
2. Να υποδειχθεί μέθοδος (με την βοήθεια ενός προγράμματος του Mathematica αν χρειαστεί) η οποία να προσδιορίζει την κορυφή εξόδου α δίνονται τα και η κορυφή εισόδου έστω Α
Θεωρείστε γνωστό ότι η γωνία προσπτώσεως ισούται με την γωνία ανακλάσεως και η τροχιά της ακτίνας είναι επίπεδη

Clipboard06.png (2.32 KiB) Προβλήθηκε 1711 φορές

(Θα ακολουθήσει αργότερα και τρισδιάστατη παραλλαγή του προβλήματος)

[Σεραφείμ]

Πολύ όμορφο!

[gbaloglou]

Δεν μπορει να εξελθει απο την κορυφη εισοδου ... γιατι τοτε θα επρεπε να εχουμε συμμετρια ως προς το κεντρο του τετραγωνου, αρα θα ειχε εξελθει απο την διαγωνιως απεναντι κορυφη

[Αυτο που εγραψα ειναι διαισθηση περισσοτερο παρα αποδειξη... (Αναλογως: αν μπει απο την ανω αριστερη γωνια και βγει απο την ανω δεξια τοτε η τροχια εχει καθετο αξονα συμμετριας^ αν μπει απο την ανω αριστερη γωνια και βγει απο την κατω αριστερη τοτε η τροχια εχει οριζοντιο αξονα συμμετριας.)]

Γιωργος Μπαλογλου

[R BORIS]

Η δική μου λύση είναι πολύ πιο ογκώδης, υπό μορφή εργασίας, αλλά και με άλλη νοοτροπία και έχει πολλές παρατηρήσεις . Την δίνω στο συνημμένο. Να σημειώσω ότι χρονολογείται από παλιά και ήταν από τις πρώτες μου προσπάθειες στην εκμάθηση του Mathematica

[Demetres]

Αν θυμάμαι καλά μια διαπραγμάτευση του ερωτήματος υπάρχει και στην θεωρία αριθμών των Hardy & Wright. (Μάλλον στο κεφάλαιο που μιλάει για τα θεώρημα του Kronecker.) Δυστυχώς δεν το έχω τώρα μαζί μου για να το ελέγξω.

[nsmavrogiannis]

Δημήτρη καλά θυμάσαι! Στο θαυμάσιο βιβλίο
Hardy, Wright: An Introduction to the Theory of Numbers
Oxford, 1959 (4η έκδοση) σελίδα 378 έχει ως συνέπεια του θεωρήματος του Kronecker (έχουμε αναφερθεί πάλι σε αυτό: λέει ότι αν τότε οι αριθμοί, , δηλαδή τα δεκαδικά μέρη των απαρτίζουν σύνολο πυκνό στο ) ότι η ακτίνα ή θα διαγράψει μία κλειστή περιοδική τροχιά είτε μία α-περιοδική πυκνή τροχιά ανάλογα με το αν η εφαπτομένη της γωνία πρόσπτωσης είναι ρητός αριθμός ή όχι.
Ενδιαφέρουσα είναι και η περίπτωση όπου θα τυλίξουμε το τετράγωνο ενώνωντας τις δύο απέναντι πλευρές και κλείσουμε την κυλινδική επιφάνεια ώστε να πάρουμε ένα τορο (torus).
Μαυρογιάννης

[Σεραφείμ]

Τελικά, είναι μαθηματικώς βέβαιο πως δεν μπορεί να εξέλθει απο την κορυφή εισόδου Α. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει να περάσει οπωσδήποτε απο την κορυφή Γ (από την οποία βέβαια δεν θα ανακλαστεί, αλλά θα εξέλθει). Έχει ελεγχθεί θεωρητικά, αλλά και αριθμητικά.