Απόδειξη ότι ο χ είναι ρητός

dimplak · #1

Αν ο

και ο $x^{12}$ είναι ρητοί, τότε να αποδειχθεί ότι και ο

είναι ρητός.

parmenides51 · #2

Με αρκετές επιφυλάξεις:

Αν $\displaystyle{x=0}$ προφανώς ισχύει.

Αν $\displaystyle{x\neq0}$ :

$\displaystyle{x^5=\frac{x^{12}}{x^7}}$ ρητός ως πηλίκο ρητών

$\displaystyle{x^2=\frac{x^7}{x^5}}$ ρητός ως πηλίκο ρητών

$\displaystyle{x^9=x^7x^2}$ ρητός ως γινόμενο ρητών

$\displaystyle{x^3=\frac{x^{12}}{x^9}}$ ρητός ως πηλίκο ρητών

άρα
$\displaystyle{x=\frac{x^3}{x^2}}$ ρητός ως πηλίκο ρητών

#3

Ίδια ουσιαστικά απόδειξη αλλά απευθείας: Αν x=0

τότε προφανώς είναι ρητός. Αν όχι τότε $\displaystyle{x = \frac{x^{36}}{x^{35}} = \frac{(x^{12})^3}{(x^7)^5}}$ και άρα πάλι πρέπει να είναι ρητός. (Γινόμενα και πηλίκα ρητών είναι ρητοί.)

parmenides51 · #4

Μια ερώτηση για την γενίκευση:

Πως πρέπει να συνδέονται οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{m,n }$ ώστε με δεδομένο πως οι αριθμοί x^m

και $x^{n}$ είναι ρητοί, να προκύπτει ότι και ο αριθμός

είναι ρητός;

#5

parmenides51 έγραψε:Μια ερώτηση για την γενίκευση:

Πως πρέπει να συνδέονται οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{m,n }$ ώστε με δεδομένο πως οι αριθμοί και $x^{n}$ είναι ρητοί, να προκύπτει ότι και ο αριθμός είναι ρητός;

Αν

πρώτοι προς αλλήλους, τότε υπάρχουν ακέραιοι a, b

με

. Έπεται οτι $x = (x^m)^a(x^n)^b \in \mathbb Q$ .

Αντίστροφα αν m,n

όχι πρώτοι προς αλλήλους, π.χ. αν o μέγιστος κοινός διαίρέτης $(m,n)=k\ge 2$ , τότε πάντα υπάρχει άρρητος

με $x^m, x^n \in \mathbb Q$ . Τέτοιος είναι ο $x =2^{1/k}$ (απλό).

Φιλικά,

Μιχάλης

Απόδειξη ότι ο χ είναι ρητός

Απόδειξη ότι ο χ είναι ρητός

Re: Απόδειξη ότι ο χ είναι ρητός

Re: Απόδειξη ότι ο χ είναι ρητός

Re: Απόδειξη ότι ο χ είναι ρητός

Re: Απόδειξη ότι ο χ είναι ρητός

Μέλη σε σύνδεση