Συναρτησιακή στους φυσικούς (Δ-7-)

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ ώστε

$\displaystyle{\frac {f(x)+y}{x+f(y)}+\frac {f(x)y}{xf(y)}=\frac {2(x+y)}{f(x+y)},\ \forall x,y \in \mathbb{N}^*}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

s.kap έγραψε:Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ ώστε

$\displaystyle{\frac {f(x)+y}{x+f(y)}+\frac {f(x)y}{xf(y)}=\frac {2(x+y)}{f(x+y)},\ \forall x,y \in \mathbb{N}^*}$

Απάντηση: $f(x)=x, \, \forall x \in \mathbb N^*$ .

Για x=y=n

έχουμε $\displaystyle{\frac {f(n)+n}{n+f(n)}+\frac {f(n)n}{nf(n)}=\frac {4n}{f(2n)}$ , άρα $f(2n)=2n \,\, (*)$ .

Έστω $f(1)=a \in \mathbb N^*$ . Βάζοντας x=2, y=1

παίρνουμε $\displaystyle{\frac {2+1}{2+a}+\frac {2}{2a}=\frac {6}{f(3)}$ , οπότε $\displaystyle f(3) = \frac {a(3a+6)}{2a+1}= a + \frac {a(a+5)}{2a+1}$

Για να είναι φυσικός το τελευταίο κλάσμα, δεδομένου ότι οι

και

είναι πρώτοι προς αλλήλους, πρέπει 2a+1|a+5

. Ειδικά $2a+1\le a+1$ , δηλαδή $a\le 4$ . Με έλεγχο βλέπουμε ότι a=1

ή

.

Το επόμενο βήμα είναι να αποκλείσουμε το a=4

. Πράγματι η x=4, y=1

μαζί με την (*)

στην περίπτωση f(4)=4

, δίνει

$\displaystyle{\frac {4+1}{4+a}+\frac {4}{4a}=\frac {10}{f(5)}$ . Άρα $f(5) = \frac {5a(a+4)}{3a+2}$ , που για a=4

δεν είναι φυσικός. Τελικά το μόνο υποψήφιο είναι το a=1

. Εδικά,

.

Θέτοντας x=2n, y=1

, μαζί με την (*)

, παίρνουμε

$\displaystyle{\frac {2n+1}{2n+1}+\frac {2n}{2n}=\frac {2(2n+1)}{f(2n+1)}$ , δηλαδή f(2n+1)=2n+1

, που μαζί με την (*)

έχουμε $f(m)=m , \, \forall m$ , η οποία επαληθεύει την αρχική.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Μια και την εγραφα την ωρα του συνεδρίου τη δημοσιεύω.

Για y=x

παιρνουμε

.

Για

,

επειδη $f(3)\in\mathbb{N}$ παιρνουμε f(1)=1

και

ειτε

και

.
Αν

τοτε $f(3)\not\in \mathbb{N}$ .

Αν ήταν f(1)=4

τότε για

,

βρίσκουμε

που έρχεται σε αντίθεση με τα προηγούμενα.

Άρα f(1)=1

και θέτοντας x=1

,

τότε βρίσκουμε f(2x+1)=2x+1

.

Άρα τελικά f(x)=x

η οποία επαληθεύει την αρχική.

Αλέξανδρος

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:<...>
Για να είναι φυσικός το τελευταίο κλάσμα, δεδομένου ότι οι και είναι πρώτοι προς αλλήλους, πρέπει . <...>

cretanman έγραψε: <...> επειδη $f(3)\in\mathbb{N}$ παιρνουμε και ειτε και <...>

Μία απειροελάχιστη παραλλαγή για να γλυτώσουμε το βήμα περί διεραιτότητας που υπάρχει και στις δύο παραπάνω λύσεις:

H αρχική για $x=2, \, y=1$ και μετά για $x=1, \, y=2$ δίνει (γράφω f(1)=a

)

$\frac {a+2}{3} + \frac {2a}{2} = \frac {6}{f(3)}= \frac {3}{a+2} + \frac {2}{2a}$ . Οι δύο ακραίες δίνουν την εξίσωση a(a+2)=3

,που έχει λύση (μόνο) την a=1

. Και λοιπά.

Μ.

Συναρτησιακή στους φυσικούς (Δ-7-)

Συναρτησιακή στους φυσικούς (Δ-7-)

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση