Εξισώσεις στους ακεραίους

Αρχιμήδης 6 · #21

ή

&

Εύκολα βρίσκουμε d=1

και μένει να λυθεί η εξίσωση 2ab+1=b^3-a^3

άρα

διαιρεί το

κ.τ.λ
Μοναδικές λύσεις (x,y)=(0,0),(0,-1)

#22

8)
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x, y)

θετικών ακέραιων αριθμών για τα οποία ισχύει: (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

Αρχιμήδης 6 · #23

socrates έγραψε:8)
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών για τα οποία ισχύει:

Κλασική περίπτωση θεωρώντας τριώνυμο ως προς

θα καταλήξουμε στην 4y^4-4y^2+196=w^2

,

και η εξίσωση έχει λύσεις για y=3

,

και βρίσκουμε απο την αρχική εξίσωση τις λύσεις που προκύπτουν πολύ εύκολα....

#24

Άλλη μια....

9)
$9^{x}-3^{x}=y^{4}+2y^{3}+y^{2}+2y , \ x,y \in \Bbb{N}.$

Αρχιμήδης 6 · #25

socrates έγραψε:9)
$9^{x}-3^{x}=y^{4}+2y^{3}+y^{2}+2y , \ x,y \in \Bbb{N}.$

Για

έχουμε

ή

Oι αριθμοί

,

είναι ανα 2 πρώτοι και δεδομένου ότι ο y^2+1

δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του

θα πρέπει

ή

και βλέπουμε ότι δεν έχει άλλες λύσεις.
Μοναδικές λύσεις οι (x,y)=(0,0),(0,-1)

.

#26

Αρχιμήδης 6 έγραψε:

Για έχουμε ή Oι αριθμοί , , είναι ανα 2 πρώτοι και δεδομένου ότι ο δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του θα πρέπει ή και βλέπουμε ότι δεν έχει άλλες λύσεις.
Μοναδικές λύσεις οι .

Δημήτρη, αυτό δεν είναι σωστό. Μάλλον θέλεις να πεις 3^xk=y

ή

Αρχιμήδης 6 · #27

Θανάση είναι σωστό γιατί ο 3^x

είναι δύναμη πρώτου. Αν σκεφτείς πιο απλά ...η ποσότητα 3^x

είναι <<κρυμμένη>> στην ποσότητα y(y+1)(y^2+1)

και αφού ο y^2+1

δεν είναι πολλαπλάσιο του

τότε θα είναι κρυμμένη στην y(y+1)

. Αν η ποσότητα διασπαστεί και καταμεριστεί στους

,

τότε οι

,

θα έχουν κοινό διαιρέτη τον

που είναι άτοπο. Άρα η δύναμη 3^x

θα βρίσκεται ακριβώς σε έναν από τους

ή

όπως είπα. Άρα y=k3^x

ή

.Θανάση έχεις δίκιο! Το κατάλαβα λίγο αργά.
Η λύση της εξίσωσης μου είναι λάθος!

Αρχιμήδης 6 · #28

. Bάζοντας λοιπόν όπου y=m3^x

βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο απο το δεξί με λύσεις μόνο για m=0

άρα

.
Aν πάλι y+1=m3^x

με τον ίδιο τρόπο έχει λύσεις για m=0

άρα

.

#29

Ωραία Δημήτρη!
Για το Δημήτρη που τη ζήτησε

:

10)
$(m-n)^{2}(n^{2}-m)=4m^{2}n , \ m,n \in \Bbb{Z}.$

Αρχιμήδης 6 · #30

Ευχαριστώ Θανάση !

socrates έγραψε:Ωραία Δημήτρη!

10)
$(m-n)^{2}(n^{2}-m)=4m^{2}n , \ m,n \in \Bbb{Z}.$

Λοιπόν

Έστω

και

,

με

τελικά η εξίσωση θα γίνει...
(a-b)^2(db^2-a)=4a^2b

Όμως

και λύνουμε τις εξισώσεις ξεχωριστά ... (a-b)^2=1

(1)

(2)

(3) Λόγο χρόνου την έγραψα σύντομα...Καλή συνέχεια.

#31

#32

Βάζω μερικές ακόμα για όσους θέλουν να ασχοληθούν:

12)
$2(a + b)^2 + 3(a + b) + ab + 4 = 0, \ a,b \in \Bbb{Z}$

13)
$n! + 3 \cdot 2^n = 6^{n-2}, n \in \Bbb{N}$

14)
$n^2+ 9n + 8=m(m+1)(m+2)(m+3), \ m,n \in \Bbb{Z}$

15)
$9^x+ 4^x+ 2^x= 8^x+ 6^x+ 1, x\in \Bbb{Z}$

16)
Δίνεται η εξίσωση $9x^2+ 6xy - 6y^2= x - y, \ x,y\in \Bbb{Z}^*.$ Να δείξετε ότι ο αριθμός x-y

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και $x-y\geq 9.$
Βρείτε μια λύση της εξίσωσης.

Αρχιμήδης 6 · #33

socrates έγραψε:
13)
$n! + 3 \cdot 2^n = 6^{n-2}, n \in \Bbb{N}$

$n!+3*2^n=6^{n-2}$
Aρκεί να δεις ότι Αν n>5

o

διαιρεί τον

και τον $6^{n-2}$ αλλά όχι και τον 3*2^n

. Άρα

. Μοναδική λύση n=5

.

#34

socrates έγραψε: 14)
$n^2+ 9n + 8=m(m+1)(m+2)(m+3), \ m,n \in \Bbb{Z}$

Η εξίσωση γράφεται n^2+9n+9=(m^2+3m+1)^2

Όμως για

ισχύει

, άρα το

δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο για n>7

.

Επίσης για n < -16

έχουμε

, άρα το

δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο για n<-16

.
Για $-7\leq n \leq -2$ είναι n^2+9n+9<0

οπότε δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Εξετάζοντας με το χέρι τις τιμές που μένουν βρίσκουμε τελικά n=-16,-9,-8,0,-1,7

και με αντικατάσταση βρίσκουμε τις τιμές του

. Συγκεκριμένα έχουμε τις λύσεις (m,n)=(-5,-16),(2,-16),(-3,-8),(0,-8),(-1,-8),(-2,-8),(-3,-1),(0,-1),(-1,-1),(-2,-1),(-5,7),(2,7)

Αρχιμήδης 6 · #35

socrates έγραψε:16)
Δίνεται η εξίσωση $9x^2+ 6xy - 6y^2= x - y, \ x,y\in \Bbb{Z}^*.$ Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και $x-y\geq 9.$
Βρείτε μια λύση της εξίσωσης.

Έστω ότι

,

Μετά από αντικατάσταση των ισοτήτων στην αρχική εξίσωση και λίγες πράξεις θα πάρουμε ένα τριώνυμο ως προς

της μορφής ....
9a^2+30ba-3b^2-4b=0

H διακρίνουσα είναι ίση με 1008b^2+144b

και για να έχουμε ακέραιες λύσεις πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο άρα έστω ότι 1008b^2+144b=t^2

( Έστω

) .

και αφού

τότε υπάρχουν ακέραιοι c,d

με

ώστε

και

άρα

και προφανός το σύστημα έχει μικρότερη θετική λύση την c=3

άρα

.
Φιλικά , Δημήτρης .

#36

socrates έγραψε: 15)
$9^x+ 4^x+ 2^x= 8^x+ 6^x+ 1, x\in \Bbb{Z}$

Δε βρίσκω κάτι καλύτερο αυτή τη στιγμή από την παρακάτω λύση.

Θα δείξουμε με επαγωγή ότι ισχύει η πρόταση P(n): 9^n+4^n+2^n-8^n-6^n-1 >0

, για κάθε $n\geq 3$ .

Η P(3)

είναι αληθής.
Έστω λοιπόν $n\geq 4$ και ας υποθέσουμε ότι η P(n)

είναι αληθής δηλαδή $9^n+4^n+2^n-8^n-6^n-1 >0 \Leftrightarrow 9^n > 8^n+6^n+1-2^n-4^n \ \ (1)$ .

Τότε $\begin{aligned}9^{n+1}+2^{n+1}+4^{n+1}-8^{n+1}-6^{n+1}-1 &\stackrel{(1)}{>} 9\left(8^n+6^n+1-2^n-4^n\right)+2\cdot 2^n+4\cdot 4^n-8\cdot 8^n -6\cdot 6^n-1 \\ &= \left(8^n-7\cdot 2^n\right) + \left(3\cdot 6^n -5\cdot 4^n\right) +8 >0 \end{aligned}$

διότι αφενός ισχύει ότι $8^n-7\cdot 2^n=2^n(4^n-7)>0$ για $n\geq 2$ και αφετέρου είναι εύκολο να δείξουμε με επαγωγή ότι $3\cdot 6^n -5\cdot 4^n>0$ για $n\geq 2$ . Άρα η P(n+1)

είναι αληθής και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

Άρα τελικά οι μόνες ακέραιες τιμές που πρέπει να εξετάσουμε είναι οι θετικές και μικρότερες του

. Πράγματι οι n=1, n=2

είναι λύσεις άρα και μοναδικές.

Αλέξανδρος

#37

17)
$\displaystyle{ (a+b+3)^{2}+2ab = 3ab(a+2)(b+2) }$

socrates έγραψε:11)
$6(a^2- ab + b^2)= 31(a + b), \ (a,b)\in \Bbb{Z}^2.$

Μια λύση στην 11:

Από την ανισότητα $a^2+b^2-ab\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ είναι $0\leq a+b\leq 20.$
Όμως 6|a+b

οπότε

Αρχιμήδης 6 · #38

Λύση των

.
Και οι δυο εξισώσεις είνα της μορφής :
k(a^2+b^2)+lab+m(a+b)+n=0

όπου

ακέραιοι και ισχύει ότι |2k|>|l|

Αν θέσουμε όπου a+b=x

&

θα φτάσουμε στην παρακάτω εξίσωση :
(2k+l)x^2+4mx+(2k-l)y^2+4n=0

Aν το δούμε σαν τριώνυμο ως προς

θα πρέπει η διακρίνουσα

να είναι τέλειο τετράγωνο ώστε να έχει ακέραιες λύσεις και έστω ότι αυτή είναι ίση με z^2

.

Άρα

και η εύρεση των y,z

για δεδομένους m,n,k,l

είναι πλέον πολύ εύκολη δεδομένου ότι το αριστερό μέλος της εξίσωσης (**)

λόγω της

είναι θετικό .Είναι εμφανές ότι για να έχει λύσεις η αρχική εξίσωση λόγω της (**)

θα πρέπει

και πάντα η αρχική εξίσωση τελικά βλέπουμε ότι θα έχει πεπερασμένες λύσεις (a,b)

.

#39

18)
$(x^{2}+2)(y^{2}+3)(z^{2}+4)=60xyz , \ x,y,z \in \Bbb{N}.$

19)
$\displaystyle{ n^{8}-p^{5}= n^{2}+p^{2}, \ n,p \in \Bbb{N}, }$

πρώτος.

20)
$2p^{q}-q^{p}= 7 , \ p,q$ (θετικοί) πρώτοι

Αρχιμήδης 6 · #40

21 )

Για τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανα 2 ακέραιους x,y,z,w

να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακεραίους .

Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση