Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήνας

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Μια από τις ωραιότερες ομιλίες που παρακολουθήσαμε στο συνέδριο της Ε.Μ.Ε στην Αθήνα ήταν του Γιάννη Θωμαΐδη , Σχολικού Συμβούλου Δυτικής Θεσσαλονίκης και της φίλης Κατερίνας Καλφοπούλου για τις διδακτικές προσεγγίσεις μιας απαιτητικής άσκησης στην Α΄ Λυκείου.

Η άσκηση που δόθηκε στους μαθητές του 2 ΓΕ.Λ Αγ. Αθανασίου Θεσσαλονίκης ήταν η εξής:

Να λυθεί η εξίσωση: ${\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)^{{x^2} - 9x + 20}} = 1$

Σημείωση: Για όποιον επιθυμεί να διαβάσει όλο το κείμενο της παρουσίασης μπορεί να πατήσει εδώ.

Deadline (προθεσμία στα ελληνικά): Μέχρι 15 Δεκεμβρίου

Pellumbi · #2

Εύκολο. Βλέπουμε πως ο εκθέτης είναι τριώνυμο άρα θα βρούμε πρώτα την διακρίνουσα $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =(-9)^{2}-4.1.20=81-80=1$ άρα το

έχει 2 λύσεις.

$\chi _{1} =\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }= \frac{-(-9)+\sqrt{1}}{2}= \frac{+9+1}{2}=\frac{10}{2}=5.$

$\chi _{2} =\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }= \frac{-(-9)-\sqrt{1}}{2}= \frac{+9-1}{2}=\frac{8}{2}=4.$
Βλέπουμε ότι και στις 2 περιπτώσεις αν αντικαταστήσουμε το

, ο εκθέτης είναι ίσος με το 0 .
Γνώριζουμε ότι οποισδήποτε αριθμός είναι υψωμένος στο 0 είναι ίσο με το 1.
Υ.Γ=Άργησα να λύσω την άσκηση , επειδή πριν λίγες μέρες έκανα τον λογαριασμό και δεν την είδα.

Χρήστος96 · #3

Βασικά είναι 3 λύσεις.
1)πρεπει x^2 - 9x + 20 = 0

ΚΑΙ $x^2 -5x + 5 \neq 0$
Απο Διακρινουσα όντως έχουμε ότι $\Delta =\beta ^2 -4\alpha \gamma => \Delta =81 - 80 => \Delta =1$ άρα $x=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta } }{2\alpha } => x= \frac{9\pm 1 }{2}$ αρα x=5

ή

και ότι $x^2 -5x + 5 \neq 0$ και για τις δυο αυτές τιμές του

.
2)πρέπει x^2 - 5x + 5 = 1

και η τιμή του x^2 - 9x + 20

δεν μας ενδιαφέρει.
x^2 - 5x + 5 = 1 => x^2 - 5x + 4 = 0

άρα έχουμε : $\Delta =\beta ^2 -4\alpha \gamma => \Delta = 25 - 16 => \Delta = 9$ επομένως, $x=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta } }{2\alpha } => x= \frac{5 \pm 3}{2}$ άρα x=4

ή x=1 .
3)πρέπει x^2 - 5x + 5 = -1

και

να είναι άρτιος.
Έχουμε λοιπόν απτό πρώτο μέλος: x^2 - 5x + 6 = 0

άρα $\Delta =\beta ^2 -4\alpha \gamma = 25 -24 =1$
Δηλαδή: $x=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta } }{2\alpha } => x= \frac{5 \pm 1}{2}$ άρα x= 3

ή

.
Επαληθεύονται ως εξής:
α)για x=3

έχουμε:

(άρτιος)
β) για x=2

έχουμε :

(άρτιος)
Άρα απο 1,2,3 έχουμε x=5

ή

Αν μου ξέφυγε κάτι πείτε μου

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Χρήστος απλά άψογος!

Pellumbi έγραψε:Εύκολο. Βλέπουμε πως ο εκθέτης είναι τριώνυμο άρα θα βρούμε πρώτα την διακρίνουσα $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =(-9)^{2}-4.1.20=81-80=1$ άρα το χ έχει 2 λύσεις.

.......

Δες την πρώτη περίπτωση του Χρήστου, γνωρίζουμε ότι ${\alpha ^0}$ κάνει ένα, για κάθε πραγματικό αριθμό $\alpha$ ΑΛΛΆ πρέπει $\alpha \ne 0$ κάτι που ξεφεύγει από τους μαθητές και το ξεχνάνε να το αναφέρουν κάποιοι καθηγητές ! Και όλα αυτά γιατί η περίπτωση ${0^0}$ είναι Απροσδιόριστη μορφή, όπως το $\frac{0}{0}$ (ή πιο απλά δεν ορίζεται). Φυσικά έχεις χάσει άλλες δύο περιπτώσεις που ήταν και το δύσκολο σημείο της άσκησης.

Όπως θα είδες στο συνημμένο για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής $f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = 1$ μπορεί να ισχύει ένα από τα εξής:

$\bullet \,\,\,g\left( x \right) = 0$ και $f\left( x \right) \ne 0$

$\bullet \,\,\,\,f\left( x \right) = 1$ και $g\left( x \right) \in R$ (δηλαδή όπως αναφέρει και ο Χρήστος δεν μας ενδιαφέρει ποιες τιμές παίρνει)

$\bullet \,\,\,\,f\left( x \right) = - 1\,$ και $g\left( x \right) =$ άρτιος

Pellumbi · #5

Πραγματικά εξαιρετική η λύση του Χρήστου. Και ναι έπρεπε να πάρω και τις άλλες 2 περιπτώσεις, θα προσπαθήσω να ξαναλύσω την άσκηση.

Κώστας Μαλλιάκας · #6

Επειδή έτυχε να παρακολουθήσω αυτή την εισήγηση ας μου επιτραπεί να έχω κάποιες ενστάσεις οι οποίες μου ήρθαν αυθόρμητα μόλις άκουσα την παρουσίαση και μάλιστα συγχρόνως έτυχε το ίδιο και σε άλλους δύο συναδέλφους που είναι και μέλη μας... και κοιταχτήκαμε ξαφνικά απορημένοι.
Νομίζω ότι η εκφώνηση της άσκησης "να λυθεί η εξίσωση" είναι "κάπως άστοχη" (επιεικώς) για την Α λυκείου αφού δεν έχουν τις απαραίτητες γνώσεις να αποδείξουν ότι αυτές είναι οι μόνες λύσεις αφού δεν γνωρίζουν την εκθετική συνάρτηση. Θα έπρεπε να ζητάνε από τους μαθητές να βρούν όσες περισσότερες λύσεις μπορούν. Εξάλλου και έτσι καλύπτουν τους στόχους τους που ήταν να δουν οι μαθητές με ποιους τρόπους μπορεί μια δύναμη να βγάζει αποτέλεσμα ίσο με ένα. Τέτοια άσκηση υπήρχε παλιά σε σχολικό Β λυκείου στην εκθετική συνάρτηση.
Δεν πρέπει λοιπόν να είμαστε σε συνέδρια τόσο απρόσεκτοι σε τέτοιου είδους θέματα. Μπορούσε και πιο απλά να ερευνήσει τις στάσεις των μαθητών με καλύτερη διατύπωση 'ομως της εκφώνησης ή και απλούστευση της δεδομένης ισότητας... Αυτή είναι η άποψη μου...

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Φίλε Κώστα δεν συμφωνώ!

Θεωρώ ότι δεν πρέπει να κατεβάσουμε το επίπεδο στις διατυπώσεις μας για να είμαστε κατανοητοί άρα και αρεστοί στους μαθητές μας, αλλά να κρατάμε την σωστή έκφραση και διατύπωση στις ασκήσεις σε όποια τάξη και αν τις υποβάλλουμε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θεωρώ δεδομένο ότι αυτά που αναφέρεις, δηλαδή οι απαραίτητες διευκρινήσεις, να έγιναν προφορικά, αφού όπως σωστά λες παραπέμπει σε άλλες γνώσεις και μονοπάτια, αλλά εμείς δεν μπορούμε να το ελέγξουμε αλλά να είμαστε καλοπροαίρετοι, αφού οι συνάδελφοι που παρουσίασαν το εν λόγω θέμα είναι εξαίρετοι και δεν μας αφήνουν αμφιβολίες για το αντίθετο, δεν συμφωνείς;

Καλημέρα στην Ρόδο!!

Κώστας Μαλλιάκας · #8

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Φίλε Κώστα δεν συμφωνώ!

Θεωρώ ότι δεν πρέπει να κατεβάσουμε το επίπεδο στις διατυπώσεις μας για να είμαστε κατανοητοί άρα και αρεστοί στους μαθητές μας, αλλά να κρατάμε την σωστή έκφραση και διατύπωση στις ασκήσεις σε όποια τάξη και αν τις υποβάλλουμε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δηλαδή αν σε μια άσκηση της Α΄ Λυκείου, αντί να πούμε να αποδείξετε ότι η γρ. παράσταση της συνάρτησης είναι γνησίως αύξουσα, θα τους λέγαμε να αποδείξουν ότι "ανεβαίνει";
Θεωρώ δεδομένο ότι αυτά που αναφέρεις, δηλαδή οι απαραίτητες διευκρινήσεις, να έγιναν προφορικά, αφού όπως σωστά λες παραπέμπει σε άλλες γνώσεις και μονοπάτια, αλλά εμείς δεν μπορούμε να το ελέγξουμε αλλά να είμαστε καλοπροαίρετοι, αφού οι συνάδελφοι που παρουσίασαν το εν λόγω θέμα είναι εξαίρετοι και δεν μας αφήνουν αμφιβολίες για το αντίθετο, δεν συμφωνείς;

Καλημέρα στην Ρόδο!!

Μάκη, με αυτά που έγραψα δεν σημαίνει ότι δεν είναι καλοί οι συνάδελφοι ή ότι δεν είναι καλή η εργασία τους που την διάβασα και όντως είναι καλή. Αλλά με αυτή την λεπτομέρεια αδίκησαν λίγο την δουλειά τους. Αν το πρόσεχαν και αυτό θα ήταν ακόμη καλύτερη. Προς Θεού, δεν ήθελα να μειώσω κανένα. Απλά τα μαθηματικά επιβάλλεται κάποιες φορές να είναι αυστηρά. Καλησπέρα στην Ζάκυνθο...

kalfokat · #9

Καλησπέρα από Θεσσαλονίκη.

Μπαίνω στην κουβέντα, όχι τόσο επειδή με αφορά άμεσα, όσο επειδή μου έστειλαν μήνυμα, σχεδόν ταυτόχρονα, δύο φίλοι για να με ενημερώσουν σχετικά με το θέμα...

Τιμή μας να συζητάτε τη διδακτική παρέμβαση που κάναμε σε ένα τμήμα της Α' Λυκείου. Αφού το κάνετε όμως θα πρέπει τουλάχιστον να δείτε ολόκληρο το πλαίσιο και ολόκληρο το φύλλο εργασίας που δόθηκε στους μαθητές κι όχι απομονωμένη την εξίσωση, η οποία δόθηκε στα παιδιά συνοδεία ενός επεξηγηματικού κειμένου, ενός κειμένου δηλαδή που "παρομοίαζε" κάποιες δύσκολες και άγνωστες καταστάσεις που αντιμετωπίζουμε στη ζωή με το ζητούμενο, να λυθεί δηλαδή αυτή η άγνωση και δύσκολη εξίσωση κλπ.
Η διδακτική παρέμβαση δεν απέβλεπε στο να ελεγχθούν οι υπάρχουσες γνώσεις των παιδιών, αλλά οι αντιδράσεις τους! Ναι, όπως το λέω ακριβώς. Οι αντιδράσεις τους απέναντι σε μια "άγνωστη και δύσκολη κατάσταση", που πήρε τη μορφή αυτής της συγκεκριμένης εξίσωσης και μέσω αυτών των αντιδράσεων να ελεγxθεί μερικώς η ικανόητατά τους να αξιοποιούν συνδυαστικά κάποιες θελεμιώδεις γνώσεις τύπου: α^0=1, για κάθε πραγματικό μη μηδενικό α. Αυτό το γνωρίζουν όλοι οι μαθητές στην Α'. Το "γνωρίζουν", όμως; 'Ή μήπως το μαθαίνουν ως μια σχέση χωρίς νόημα; Μπαίνουν πολλά ερωτήματα, που δεν είναι ούτε της ώρας, ούτε του ιστοτόπου!

Εν πάσει περιπτώση, το θέμα είναι ότι θεωρούμε πως η διδακτική μας παρέμβαση σημείωσε επιτυχία στο βαθμό που ανέδειξε διάφορα προβλήματα, τα οποία στο τυπικό μάθημα της άλγεβρας τα παραγκωνίζουμε, τρέχοντας να προλάβουμε την ύλη. Στην εν λόγω παρέμβαση τα παιδιά εργάστηκαν ανά δύο και με τη δική μου συνεχή παρακολούθηση.. Μου έθεταν ερωτήματα και τα καθοδηγούσα διακριτικά, χωρίς να απαντώ άμεσα στα ερωτήματά τους.
Τα ευρήματα ήταν πολλά, ενδιαφέροντα και αποτελούν υλικό περαιτέρω έρευνας για το τι -τελικά- αντιλαμβάνονται οι μαθητές μας (προσοχή δεν μιλώ για τους τρεις έως πέντε μαθητές κάθε τμήματος με τους οποίους έχουμε, ή νομίζουμε ότι έχουμε, πλήρη και σαφή επικοινωνία κατά τη διάρκεια του μαθήματος ή για τους χαρισματικούς μαθητές που είναι μέλη του mathematica.gr) μιλώ για το σύνολο των μαθητών ενός τμήματος και εν προκειμένω ενός τμήματος με μέσο όρο, στο ωριαίο του 1ου τετραμήνου και στα τρία τεστ άλγεβρας που προηγήθηκαν, ίσο με 10,5.

Θεωρώ ότι το λάθος (το μέγα λάθος) που κάνουμε όλοι εμείς που διδάσκουμε, ή σχεδόν όλοι τέλος πάντων, είναι να προσδοκούμε μια και μόνο απάντηση σε κάθε ερώτημα που θέτουμε στους μαθητές μας:τη σωστή!!!
Αγαπητοί μου φίλοι, προσωπικά βρίσκω πολύ ενδιαφέρουσες και διδακτικές τις λαθεμένες απαντήσεις και από αυτές, τις λαθεμένες απαντήσεις των παιδιών δηλαδή, διδάσκομαι η ίδια συχνά!
Μερικές φορές καταβάλω προσπάθεια να τις προκαλέσω με σκοπό μέσω του λάθους να οδηγηθούν στο σωστό, αφού πρώτα εξορκίσουν τα φαντάσματα του παρελθόντος!

Ένα τέτοιο παράδειγμα μπορείτε να δείτε εδώ http://mathandliterature.blogspot.com/2 ... st_23.html

Καλό σας απόγευμα
[Ευχαριστώ τον Μάκη για την τόσο θερμή υπεράσπιση. Μάκη, το πώς κάνουμε μαθηματικά είναι θέμα ιδιοσυγκρασίας του καθένα μας

]

#10

Με αφορμή αυτήν την εισήγηση είχα εκφράσει κι εγώ λίγο πριν τον Κώστα Μαλλιάκα κάποιες απορίες --->εδώ
αλλά η κουβέντα που περίμενα δεν έγινε ποτέ.
Τουλάχιστον βλέπω (με περίσσεια χαρά) πως απάντησε και ο Νίκος (Ο STOPJOHN είχε εκφραστεί τότε).
Να΄στε καλά...

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Κατερίνα πολύτιμη η παρέμβασή σου, νομίζω ότι έδωσες τις προεκτάσεις που ίσως κάποιοι αγνοούσαν...

Κώστας Μαλλιάκας · #12

Συμφωνώ ότι αυτές οι διευκρινήσεις καλύπτουν κάποιες ενστάσεις μου και επίσης τονίζω ότι η δουλειά των συναδέλφων είναι αξιόλογη καθώς και όλων όσων από μόνοι τους τολμούν να κάνουν ερευνητικές και πρωτότυπες δραστηριότητες με τα παιδιά. Απλώς, επειδή παρουσιάστηκε σε συνέδριο μαθηματικών πιστεύω ότι θα έπρεπε να προσεχτεί εκείνη η λεπτομέρεια. Ελπίζω να μην με παρεξηγήσατε, δεν είχα κακή πρόθεση να κατηγορήσω τους συναδέλφους αλλά να δείξω ότι στα μαθηματικά αξίζει να είμαστε αυστηροί στο μέτρο της λογικής για να τα αναδείξουμε περισσότερο καθώς και τους κόπους των συναδέλφων...

Μάκης Χατζόπουλος · #13

Κώστα κανείς δε σε παρεξήγησε, απλά διαφωνήσαμε! Να σαι καλά!!

kalfokat · #14

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε:Επειδή έτυχε να παρακολουθήσω αυτή την εισήγηση ας μου επιτραπεί να έχω κάποιες ενστάσεις οι οποίες μου ήρθαν αυθόρμητα μόλις άκουσα την παρουσίαση και μάλιστα συγχρόνως έτυχε το ίδιο και σε άλλους δύο συναδέλφους που είναι και μέλη μας... και κοιταχτήκαμε ξαφνικά απορημένοι.
Νομίζω ότι η εκφώνηση της άσκησης "να λυθεί η εξίσωση" είναι "κάπως άστοχη"...

Επιστρέφω, για να διευκρινίσω κάτι που, παρόλες τις κουβέντες που γίνονται γύρω από το θέμα, έχει μείνει στην αρχική του λάθος εκφορά και δεν ταιριάζει καθόλου στη "μαθηματική" μου ιδιοσυγκρασία να αφήνω τα λάθη -που αντιλαμβάνομαι- αδιόρθωτα, από όπου κι αν προέρχονται, ειδικά δε όταν αδικούν σοβαρούς ανθρώπους!
Ο Γιάννης Θωμαΐδης, που έχω την χαρά να τον έχω σχολικό σύμβουλο και να συνεργάζομαι σε κάποια θέματα διδακτικής μαζί του, είναι από τα πιο σοβορά και υπεύθυνα άτομα στον χώρο της διδακτικής των μαθηματικών!
Σ' αυτό δεν φαντάζομαι να έχετε αντιρρήσεις..
Πώς είναι δυνατόν ένα από τα πιο καταξιωμένα άτομα στον χώρο της διδακτικής να αστοχήσει τόσο εξώφθαλμα στη διατύπωση μιας άσκησης που σχεδιάστηκε για μια διδακτική παρέμβαση;
Μήπως θα έπρεπε να ξαναδιαβάσετε την εκφώνηση που δόθηκε στους μαθητές, για να καταλάβετε πως η παρανόηση έχει ξεκινήσει από αλλού...

Το φύλλο που δόθηκε στους μαθητές μετά την εξίσωση είχε τη φράση: "Μπορείτε να βρείτε τις τιμές του χ που την επαληθεύουν;"
Μάλιστα στη συγκεκριμένη διατύπωση καταλήξαμε μετά από διάφορα σχόλια του κυρίου Θωμαΐδη, πέρυσι τα Χριστούγεννα που σχεδιάζαμε την παρέμβαση, επειδή, όπως μου είχε πει, το "να λυθεί η εξίσωση", δεν συνάδει ούτε με το επίπεδο των μαθητών ούτε και με τον χαρακτήρα της δραστηριότητας!

Γιατί τα γράφω όλα αυτά τώρα; Πρώτον, επειδή τώρα έπεσαν στην αντίληψή μου κι όχι νωρίτερα και δεύτερον όχι για να "αποκαταστήσω" εμένα, πολύ δε περισσότερο τον κύριο Θωμαΐδη, που καμιά τέτοια ανάγκη δεν έχει άλλωστε, όσο, όπως ισχυρίστηκα και στην αρχή για να διορθώσω τη "λαθέμενη ανάγνωση" που έγινε τόσο στο φύλλο εργασίας που δόθηκε στους μαθητές, όσο και τη λαθεμένη ανάγνωση γενικότερα!
Και εμείς οι μαθηματικοί, με ελάχιστες εξαιρέσεις κύριε Μαυρογιάννη, μια τάση σε λάθος - ή έστω αποκλίνουσες - αναγνώσεις κειμένων την έχουμε εκ φύσεως..

Καλό σας απόγευμα.

Κατερίνα Καλφοπούλου

Κώστας Μαλλιάκας · #15

Για να κλείσω το θέμα από την μεριά μου.. Έχω καλυφθεί με την διατύπωση αυτή, δηλαδή να βρείτε τιμές του ώστε ... και όχι "να λυθεί η εξίσωση" ... οπότε εν μέρει συμφωνείτε και σεις μαζί μου. Απλώς ίσως εγώ δεν είχα προσέξει όλη την διατύπωση αλλά θυμάμαι ότι στο συνέδριο κόλλησα στην διατύπωση αυτή και γι΄αυτό εξάλλου απάντησα αυθόρμητα γιατί μόλις είχα μπει στο αμφιθέατρο με δύο συναδέλφους πέσαμε πάνω στην εκφώνηση αυτή.
Ακόμη ξέρω την αξία του κ. Θωμαίδη και δεν την αμφισβητώ γνωρίζοντας πόσο άξιος είναι.
Ευχαριστώ

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήνας

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήνας

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Άλγεβρα Α΄Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήνας

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Μια άσκηση από το συνέδριο της Αθήν

Μέλη σε σύνδεση