Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

mathxl · #1

Να βρεθεί η τιμή του θετικού αριθμού κ ώστε να ελαχιστοποιείται το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sigma \upsilon \nu x - \kappa x} \right|dx} }$ .

Υπόδειξη: Καλό είναι να σκεφτούμε γραφικά ώστε να βοηθηθούμε στο ξεκίνημα
Θα δώσω την λύση με υποερωτήματα (για την ώρα σκέφτηκα 3 υποερωτήματα)

mathxl · #2

Η άσκηση γίνεται γήΐνη στην παρακάτω μετατροπή εκφώνησης αλλά΄έτσι, μάλλον μετατοπίζεται στον φάκελο ασκήσεις σε όλη την ύλη

: mathxl4.png (88.43 KiB) Προβλήθηκε 1485 φορές

Ωmega Man · #3

Με επιφύλαξη.

mathxl · #4

Σωστός στην διαδικασία με ένα λαθάκι στον υπολογισμό ολοκληρώματος όπου σου δίνει και το λανθασμένο κ

Ωmega Man · #5

Όταν τελείωσα το γράψιμο είδα ότι κ>0 και εκεί κατάλαβα ότι κάτι δεν πάει καλά.Για το λόγο αυτό το δημοσίευσα με επιφύλαξη.

#6

mathxl έγραψε:Να βρεθεί η τιμή του θετικού αριθμού κ ώστε να ελαχιστοποιείται το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sigma \upsilon \nu x - \kappa x} \right|dx} }$ .

Υπάρχει κατά τη γνώμη μου ένα λεπτό σημείο στην άσκηση.
Ζητάμε την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης $h:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $h(k)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\cos x-kx|\,dx$ . Στις λύσεις που αναρτήθηκαν, αυτό επιτυγχάνεται μέσω της ελαχιστοποίησης της συνάρτησης $g(\rho)=2\sin\rho-\rho\cos\rho+\frac{\pi^{2}\cos\rho}{8\rho}-1$ .
Δεδομένου ότι το $\rho$ είναι μια ποσότητα που εξαρτάται από το

, υπό ποιες συνθήκες η παραπάνω διαδικασία είναι ορθή;

Η πρόταση που σιωπηρά χρησιμοποιείται είναι η εξής:

Πρόταση
Έστω $g:A\longrightarrow B$ επί με $x\mapsto y=g(x)$ και $f:B\longrightarrow\mathbb{R}$ . Αν η

έχει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $b\in B$ και μόνο σε αυτό, τότε η $f\circ g$ έχει ολικό ελάχιστο σε κάθε $x\in A$ για το οποίο g(x)=b

και μόνο σε αυτά. Αν επιπλέον η

είναι και 1-1, τότε η $f\circ g$ έχει ολικό ελάχιστο στο $x=g^{-1}(b)$ και μόνο σε αυτό.

Στην περίπτωση τσι άσκησης έχουμε μια αντιστοίχιση που ορίζεται ως εξής:
$(0,+\infty)\ni k\stackrel{\rho}{\mapsto}\rho(\kappa)\in(0,\frac{\pi}{2}):\cos(\rho(k))-k\rho(k)=0$ .
Το ότι $\forall k$ η $f(x)=\cos x-kx$ έχει μοναδική ρίζα δείχνει ότι η απεικόνιση $\rho$ που ορίστηκε παραπάνω είναι συνάρτηση.
Σύμφωνα με τα παραπάνω, αυτό που απαραίτητα πρέπει να δειχθεί κατα τη γνώμη μου είναι και ότι η συνάρτηση, πλέον, $\rho:(0,+\infty)\to(0,\frac{\pi}{2})$ είναι επί, καθώς επίσης και ότι είναι 1-1 διότι από τη διατύπωση τσι εκφώνησης φαίνεται ότι το ζητούμενο

είναι μοναδικό.

Δίνω αρχικά δυο παραδείγματα που φανερώνουν γιατί τα παραπάνω δυο πράγματα πρέπει να αποδειχθούν:
1) Έστω $g:[-1,1]\to[0,1]$ με $g(x)=x^{2}$ και $f:[0,1]\to[0,1]$ με f(y)=1-y

.
Η

είναι επί, αλλά δεν είναι 1-1. Η

έχει ελάχιστο στο 1 αλλά η $f(g(x))=1-x^{2}$ έχει ελάχιστο στα δυο σημεία +1, -1, όπου $g(\pm1)=1$ , (δεν έχω μοναδικότητα)
2) Έστω $g:[0,1]\to[0,2]$ με $g(x)=x^{2}$ και $f:[0,2]\to[0,1]$ με $f(y)=1-\frac{1}{2}y$ .
Η

είναι 1-1, αλλά δεν είναι επί. Η

έχει ελάχιστο στο 2. Η $f(g(x))=1-\frac{1}{2}x^{2}$ έχει ελάχιστο στο 1 αλλά δεν υπάρχει $x\in[0,1]$ με g(x)=2

.

Συμπληρώνω λοιπόν τσοι λύσεις:

Η συνάρτηση $\rho$ είναι 1-1: Πρέπει αν $k_{1}\neq k_{2}$ , τότε $\rho(k_{1})\neq\rho(k_{2})$ . Έστω $k_{1}\neq k_{2}$ . Έχουμε $\cos(\rho(k_{1}))-k_{1}\rho(k_{1})=0=\cos(\rho(k_{2}))-k_{2}\rho(k_{2})$ . Είναι $\rho(k_{i})\neq0$ , αφού αλλιώς θα είχαμε 1=0, και $\frac{\cos(\rho(k_{1}))}{\rho(k_{1})}\neq \frac{\cos(\rho(k_{2}))}{\rho(k_{2})}$ . Αν όμως $\rho(k_{1})=\rho(k_{2})$ , τοτε θα ήταν $k_{1}=\frac{\cos(\rho(k_{1}))}{\rho(k_{1})}= \frac{\cos(\rho(k_{2}))}{\rho(k_{2})}=k_{2}$ , άτοπο.

Η συνάρτηση $\rho$ είναι επί: Θα πρέπει για κάθε $r\in(0,\frac{\pi}{2})$ , να υπάρχει $k\in(0,+\infty)$ με $\rho(k)=r$ , δηλαδή το

να είναι η μοναδική (έχει δειχθεί) ρίζα της εξίσωσης $\cos x-kx=0$ . Αρκεί λοιπόν $\cos r-kr=0$ για κάποιο $k\in(0,+\infty)$ . Θεωρούμε την $l(k)=\cos r-kr$ με $k\in(0,+\infty)}$ . Είναι $l^{\prime}(k)=-r<0$ , άρα η

είναι γ.φ. στο $(0,+\infty)$ . Είναι $\displaystyle\lim_{k\to0^{+}}l(k)=\cos r>0$ και $\displaystyle\lim_{k\to+\infty}l(k)=-\infty$ , άρα υπάρχει k>0

με $\cos r-kr=0$ .

Απόδειξη πρότασης:
Έστω $f(y)\geq f(b)$ για κάθε $y\in B$ και f(y)=f(b)

για κάποιο $y\in B$ $\Leftrightarrow y=b$ . Αν τώρα $x_{0}\in A$ με $g(x_{0})=b$ , θα είναι $f(y)\geq f(g(x_{0}))$ για κάθε $y\in B$ άρα, αφού ( $g(A)\subseteq B$ ), θα είναι και $f(g(x))\geq f(g(x_{0}))$ για κάθε $x\in A$ . Ακόμα, $(f\circ g)(x)=(f\circ g)(x_{0})$ για κάποιο $x\in A$ , $\stackrel{g \epsilon\pi i}{\Leftrightarrow}$ f(y)=f(b)

για κάποιο $y\in B$ $\Leftrightarrow$ y=b

$\Leftrightarrow$ g(x)=b

για κάθε x με g(x)=y

.
Αν επιπλέον η

είναι 1-1, τότε θα υπάρχει μοναδικό $x_{0}\in A$ με $g(x_{0})=b$ και αυτό είναι το $x_{0}=g^{-1}(b)$ .

Ισως έτσι να τοποθετείται η άσκηση έξω από τα σχολικά πλαίσια..δεν ξέρω..

#7

Αναστάσιε πολύ ωραία δουλειά!!

#8

chris_gatos έγραψε:Αναστάσιε πολύ ωραία δουλειά!!

Θένγκσ..!

mathxl · #9

Διδακτικά και χρήσιμα (περισσότερο από την άσκηση) τα παρακάτω

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Πρόταση
Έστω επί με και . Αν η έχει ολικό ελάχιστο σε κάποιο και μόνο σε αυτό, τότε η έχει ολικό ελάχιστο σε κάθε για το οποίο και μόνο σε αυτά. Αν επιπλέον η είναι και 1-1, τότε η έχει ολικό ελάχιστο στο και μόνο σε αυτό.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Δίνω αρχικά δυο παραδείγματα που φανερώνουν γιατί τα παραπάνω δυο πράγματα πρέπει να αποδειχθούν:
1) Έστω με και με .
Η είναι επί, αλλά δεν είναι 1-1. Η έχει ελάχιστο στο 1 αλλά η έχει ελάχιστο στα δυο σημεία +1, -1, όπου , (δεν έχω μοναδικότητα)
2) Έστω με και με .
Η είναι 1-1, αλλά δεν είναι επί. Η έχει ελάχιστο στο 2. Η έχει ελάχιστο στο 1 αλλά δεν υπάρχει με .

Για την άσκηση. Δεν είμαι ο κατασκευαστής (είναι από mathlinks, όπως την έχω ποστάρει στην αρχή, χωρίς υποερωτήματα) όμως είμαι ο δημιουργός των υποερωτημάτων
Να γράψω πως την σκέφτηκα :
1ον :Το αρχικό ολοκλήρωμα είναι συνάρτηση του κ
2ον : Το κ είναι συνάρτηση του ρ, $\displaystyle{\kappa \left( \rho \right) = \frac{{\sigma \upsilon \nu \rho }}{\rho }}$ η οποία είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα και έχει σύνολο τιμών το (0,+οο) για $\displaystyle{\rho \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ Αυτό νομίζω καλύπτει τα πάντα όλα

(δεν χρειαζόμαστε την έννοια του επί, θα βοηθούσε η εύρεση του συνόλου - αν και στην εκφώνηση δεν ζητείται το σύνολο τιμών). Έχει συνέπειες, η παράλειψη αυτή ως προς την ορθότητα του τελικού αποτελέσματος;Νομίζω όχι. Εσείς τι λέτε; Εδώ να σημειώσω ότι, την παράλειψη αυτή, δεν την είχα σκεφτεί στην κατασκευή των ερωτημάτων (ευτυχώς χωρίς συνέπειες) και εδώ είναι το + του Αναστάση.
3ον : Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, μπορούμε να σκεφτούμε το εμβαδό που ορίζεται από τις ευθείς χ=0, χ=π/2, την ψ=κχ και την ψ=συνχ. Μία πιθανή εκφώνηση θα μπορούσε να είναι η εξής: Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδό (όπως αυτό ορίζεται από τις παραπάνω ευθείες και συναρτήσεις). Από το συνημμένο φαίνεται η κλίση κ και η τετμημένη ρ του μοναδικου σημείου τομής κάθε φορά
4ον :Εύρεση ακρότατου μίας συνάρτησης με μια μεταβλητή - piece of cake

Απορία

1)Πρέπει να σκεφτούμε την κ(ρ) ή την ρ(κ)
2)Οι έπισημάνσεις του Ανη είναι αναγκαίες; Χρειάζεται αλλαγή η εκφώνηση;
ΥΓ: Δεν γραμμοσκίασα τα χωρία OGC , CDE για να μην χαθεί η δυναμικότητα του σχήματος. Μπορείτε να παίξετε με το σχήμα μετακινώντας το σημείο Β

#10

mathxl έγραψε:Διδακτικά και χρήσιμα (περισσότερο από την άσκηση) τα παρακάτω
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Πρόταση
Έστω επί με και . Αν η έχει ολικό ελάχιστο σε κάποιο και μόνο σε αυτό, τότε η έχει ολικό ελάχιστο σε κάθε για το οποίο και μόνο σε αυτά. Αν επιπλέον η είναι και 1-1, τότε η έχει ολικό ελάχιστο στο και μόνο σε αυτό.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Δίνω αρχικά δυο παραδείγματα που φανερώνουν γιατί τα παραπάνω δυο πράγματα πρέπει να αποδειχθούν:
1) Έστω με και με .
Η είναι επί, αλλά δεν είναι 1-1. Η έχει ελάχιστο στο 1 αλλά η έχει ελάχιστο στα δυο σημεία +1, -1, όπου , (δεν έχω μοναδικότητα)
2) Έστω με και με .
Η είναι 1-1, αλλά δεν είναι επί. Η έχει ελάχιστο στο 2. Η έχει ελάχιστο στο 1 αλλά δεν υπάρχει με .
Για την άσκηση. Δεν είμαι ο κατασκευαστής (είναι από mathlinks, όπως την έχω ποστάρει στην αρχή, χωρίς υποερωτήματα) όμως είμαι ο δημιουργός των υποερωτημάτων
Να γράψω πως την σκέφτηκα :
1ον :Το αρχικό ολοκλήρωμα είναι συνάρτηση του κ
2ον : Το κ είναι συνάρτηση του ρ, $\displaystyle{\kappa \left( \rho \right) = \frac{{\sigma \upsilon \nu \rho }}{\rho }}$ η οποία είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα και έχει σύνολο τιμών το (0,+οο) για $\displaystyle{\rho \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ Αυτό νομίζω καλύπτει τα πάντα όλα (δεν χρειαζόμαστε την έννοια του επί, θα βοηθούσε η εύρεση του συνόλου - αν και στην εκφώνηση δεν ζητείται το σύνολο τιμών). Έχει συνέπειες, η παράλειψη αυτή ως προς την ορθότητα του τελικού αποτελέσματος;Νομίζω όχι. Εσείς τι λέτε; Εδώ να σημειώσω ότι, την παράλειψη αυτή, δεν την είχα σκεφτεί στην κατασκευή των ερωτημάτων (ευτυχώς χωρίς συνέπειες) και εδώ είναι το + του Αναστάση.
3ον : Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, μπορούμε να σκεφτούμε το εμβαδό που ορίζεται από τις ευθείς χ=0, χ=π/2, την ψ=κχ και την ψ=συνχ. Μία πιθανή εκφώνηση θα μπορούσε να είναι η εξής: Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδό (όπως αυτό ορίζεται από τις παραπάνω ευθείες και συναρτήσεις). Από το συνημμένο φαίνεται η κλίση κ και η τετμημένη ρ του μοναδικου σημείου τομής κάθε φορά
4ον :Εύρεση ακρότατου μίας συνάρτησης με μια μεταβλητή - piece of cake

Απορία

1)Πρέπει να σκεφτούμε την κ(ρ) ή την ρ(κ)
2)Οι έπισημάνσεις του Ανη είναι αναγκαίες; Χρειάζεται αλλαγή η εκφώνηση;
ΥΓ: Δεν γραμμοσκίασα τα χωρία OGC , CDE για να μην χαθεί η δυναμικότητα του σχήματος. Μπορείτε να παίξετε με το σχήμα μετακινώντας το σημείο Β

Η συνάρτηση που ελαχιστοποιείται στη λύση της άσκησης είναι η συνάρτηση

ως προς τη μεταβλητή $\rho$ . Σε ποιό σύνολο όμως κινείται το $\rho$ ; Για να είμαστε σίγουροι, κατά τη μελέτη της

, ότι το $\rho$ που θα βρούμε ότι την ελαχιστοποιεί, θα μας δώσει και μια τιμή για το

, θα πρέπει η $\rho(k)$ να είναι επί του $(0,\frac{\pi}{2})$ , και για να είναι αυτή η τιμή και μοναδική, θα πρέπει να είναι και 1-1.
Δεν ξέρω αν συμφωνείς(-είτε)

#11

Eγω έχω αποκτήσει μια φοβία πλέον με τα ξi, ρi κτλ , όταν στις ασκήσεις ζητούνται όρια, ακρότατα γιατί κατανόησα πως δεν είναι και τόσο απλά τα πράγματα.Οι συναρτήσεις αυτές παραείναι ''απρόβλεπτες''...
Νομίζω πως οι επισημάνσεις του Αναστάση δινουν μια καλή λύση για να ψάχνουμε με έναν φακό και όχι στα σκοτάδια.

mathxl · #12

Καταλαβαίνω τι εννοείς Τάσο.
Σαν μαθηματικός και κατασκευαστής των υποερωτημάτων έπρεπε να το ελέγξω, ώστε να έχει νόημα και το ζητούμενο.Πράγμα που όπως είπα, δεν το έκανα.
Δεν είναι όμως αναγκαίο απότι βλέπω- δηλαδή διαφωνώ. Θα ψάξω το λινκ για να δω την λύση που έχουν δώσει τα αμερικανάκια και να δούμε εάν έχουν και αυτοί, τον έλεγχο αυτό.

mathxl · #13

Mχμχ..αυτοί είναι πιο περιγραφικοί στις λύσεις τους ... http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=211002

Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Re: Ακρότατο ολοκληρώματος και υπολογισμός παραμέτρου 4

Μέλη σε σύνδεση