μηδενική f

KapioPulsar · #1

Εαν

έιναι πραγματική συνάρτηση συνεχής στο [0,1]

και εάν $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(x) x^n dx =0$ και (n=0,1,2...)

τότε αποδείξτε οτι f=0

.

#2

Η

ως συνεχής,θα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [0,1]

ας είναι αυτές M,m

αντίστοιχα.
Τότε :

$\displaystyle{ m \le f(x) \le M,\forall x \in \left[ {0,1} \right]\mathop \Rightarrow \limits^{x^n \ge 0} mx^n \le f(x)x^n \le Mx^n ,\forall x \in \left[ {0,1} \right] }$
Ολοκληρώνοντας,έχω:
$\displaystyle{ m\int\limits_0^1 {x^n dx} \le \int\limits_0^1 {f(x)x^n dx} \le M\int\limits_0^1 {x^n dx} \Rightarrow \frac{m}{{n + 1}} \le \int\limits_0^1 {f(x)x^n dx} \le \frac{M}{{n + 1}} }$
Παίρνοντας όρια όταν το

τείνει στο άπειρο,λαμβάνουμε από το κριτήριο παρεμβολής το ζητούμενο.

#3

Την έχουμε δει εδώ.

#4

Φυσικά και η λύση που κάνω παραπάνω δεν αναφέρεται στην εκφώνηση της άσκησης.
Γι'αυτό μπέρδεψα και τον Δημήτρη!
Όπως βλέπετε εγώ δε χρησιμοποιώ ως δεδομένο το ότι $\displaystyle{ \int\limits_0^1 {f(x)x^n dx} = 0 }$ αλλά το αποδεικνύω!
Απίστευτο.
Παρακαλώ μην τη λαμβάνετε υπ'όψη.
Φυσικά και η πιό σωστή επιλογή είναι με χρήση του θεωρήματος Stone-Weierstrass.
Συγνώμη από όλους!

μηδενική f

μηδενική f

Re: μηδενική f

Re: μηδενική f

Re: μηδενική f

Μέλη σε σύνδεση