ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
- Τηλέγραφος Κώστας
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1025
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
- Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
- Επικοινωνία:
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
ΘΕΜΑ 1
Για τις διάφορες τιμές του φυσικού να βρεθεί το όριο όπου
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε Αν , να αποδείξετε ότι :
α. η είναι συνεχής στο ,
β. η είναι συνεχής στο,
γ. Να βρείτε το .
ΘΕΜΑ3
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε .
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί πρόσημο στο
β. Αν , τότε :
i). να βρείτε το .
ii). να βρείτε τον τύπο της
iii). να υπολογίσετε τα όρια
,
Α=, Β=
ΘΕΜΑ4
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με και
για .
α. Να αποδείξετε ότι .
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ώστε .
γ. Να υπολογίσετε το .
δ. Να βρείτε το πρόσημο της
ε. Αν η είναι γνησίως μονότονη,
i) Nα βρείτε το είδος της μονοτονίας της .
ii) Nα βρείτε το τύπο της .
Για τις διάφορες τιμές του φυσικού να βρεθεί το όριο όπου
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε Αν , να αποδείξετε ότι :
α. η είναι συνεχής στο ,
β. η είναι συνεχής στο,
γ. Να βρείτε το .
ΘΕΜΑ3
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε .
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί πρόσημο στο
β. Αν , τότε :
i). να βρείτε το .
ii). να βρείτε τον τύπο της
iii). να υπολογίσετε τα όρια
,
Α=, Β=
ΘΕΜΑ4
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με και
για .
α. Να αποδείξετε ότι .
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ώστε .
γ. Να υπολογίσετε το .
δ. Να βρείτε το πρόσημο της
ε. Αν η είναι γνησίως μονότονη,
i) Nα βρείτε το είδος της μονοτονίας της .
ii) Nα βρείτε το τύπο της .
τελευταία επεξεργασία από Τηλέγραφος Κώστας σε Δευ Δεκ 05, 2011 7:52 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
Τηλέγραφος Κώστας
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 371
- Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
- Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας
Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Μία σκέψη στο ΘΕΜΑ 4
α. Η αρχική για δίνει αμέσως .
β. Προφανές από ΘΕΤ αφού η παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο και το .
γ. Στην αρχική όπου το και : ή ή
δ. Από την αρχική είναι φανερό ότι η δεν μηδενίζεται (αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα είχαμε 0=12 άτοπο), άρα διατηρεί πρόσημο. Επειδή ακόμα θα είναι .
ε.
i. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, θα είχαμε : , άτοπο. Δεδομένου ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
ii. Από την αρχική και αφού ,έχουμε : . Θέτοντας τώρα έχουμε τελικά .
Ωραίο θέμα !
Στο τελευταίο ερώτημα (εii) δεν είδα να χρειάζεται κάπου η μονοτονία της ... ή έκανα λάθος;;;
α. Η αρχική για δίνει αμέσως .
β. Προφανές από ΘΕΤ αφού η παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο και το .
γ. Στην αρχική όπου το και : ή ή
δ. Από την αρχική είναι φανερό ότι η δεν μηδενίζεται (αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα είχαμε 0=12 άτοπο), άρα διατηρεί πρόσημο. Επειδή ακόμα θα είναι .
ε.
i. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, θα είχαμε : , άτοπο. Δεδομένου ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
ii. Από την αρχική και αφού ,έχουμε : . Θέτοντας τώρα έχουμε τελικά .
Ωραίο θέμα !
Στο τελευταίο ερώτημα (εii) δεν είδα να χρειάζεται κάπου η μονοτονία της ... ή έκανα λάθος;;;
Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Αυτό που απέδειξες είναι ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι ο , αλλά μόνο για τα που είναι τιμές της συνάρτησης, δηλαδή για τα για τα οποία υπάρχει ώστεΘωμάς Ποδηματάς έγραψε:Μία σκέψη στο ΘΕΜΑ 4
α. Η αρχική για δίνει αμέσως .
β. Προφανές από ΘΕΤ αφού η παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο και το .
γ. Στην αρχική όπου το και : ή ή
δ. Από την αρχική είναι φανερό ότι η δεν μηδενίζεται (αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα είχαμε 0=12 άτοπο), άρα διατηρεί πρόσημο. Επειδή ακόμα θα είναι .
ε.
i. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, θα είχαμε : , άτοπο. Δεδομένου ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
ii. Από την αρχική και αφού ,έχουμε : . Θέτοντας τώρα έχουμε τελικά .
Ωραίο θέμα !
Στο τελευταίο ερώτημα (εii) δεν είδα να χρειάζεται κάπου η μονοτονία της ... ή έκανα λάθος;;;
Μάγκος Θάνος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Αν δεν γνωρίζαμε πως η είναι γνησίως μονότονη, τότε μια διαφορετική λύση θα ήταν η
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 371
- Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
- Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας
Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Καλημέρα στην εκλεκτή παρέα του
Σόρρυ για την καθυστερημένη απάντηση, αλλά χτες ήταν γιορτή στο Βόλο και το βράδυ έπαιζε η ομάδα μου... (άτιμοι Γερμανοί!)
Μια προσπάθεια να λύσω το θέμα που ΟΡΘΟΤΑΤΑ επεσήμανε ο Θάνος.
Το πρόβλημα έγκειται στο ότι δεν ξέρουμε ποιες τιμές παίρνει η . Πράγματι... Θα αποδείξω ότι η παίρνει όλες τις θετικές τιμές, αφού όπως αποδείξαμε νωρίτερα είναι .
Έστω ένας .
Τότε η αρχική για το δίνει
(1)
Αλλά από την αρχική έχουμε για το :
(2)
Από τις (1) και (2) εξισώνοντας τα πρώτα μέλη και αφού είναι , παίρνουμε
και επειδή είναι γνησίως μονότονη (όλα έχουν τελικά σημασία...)
θα είναι και '1-1', οπότε , δηλαδή η συνάρτηση παίρνει την τυχαία θετική τιμή στην θέση , δηλαδή το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το . (Οεδ)
Για τον τύπο τώρα της ο συλλογισμός που έκανα νωρίτερα νομίζω ότι ΤΩΡΑ είναι σωστός.
Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση θα ήταν η ακόλουθη :
Με ανάλογους συλλογισμούς, θέτοντας στην αρχική όπου το και εξισώνοντας πάλι τα και χρησιμοποιώντας το ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα "1-1", προκύπτει ότι
(3).
Αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική από την (3), παίρνουμε τελικά ότι :
.
Ευχαριστώ πολύ το Θάνο για την επισήμανση, τον Demetres για τη συνάρτηση τη μη μονότονη...
Ελπίζω ότι είναι ΟΚ τώρα η απόδειξη... Αν πάλι κάτι δεν πάει καλά, ας επισημανθεί.
Θωμάς
Σόρρυ για την καθυστερημένη απάντηση, αλλά χτες ήταν γιορτή στο Βόλο και το βράδυ έπαιζε η ομάδα μου... (άτιμοι Γερμανοί!)
Μια προσπάθεια να λύσω το θέμα που ΟΡΘΟΤΑΤΑ επεσήμανε ο Θάνος.
Το πρόβλημα έγκειται στο ότι δεν ξέρουμε ποιες τιμές παίρνει η . Πράγματι... Θα αποδείξω ότι η παίρνει όλες τις θετικές τιμές, αφού όπως αποδείξαμε νωρίτερα είναι .
Έστω ένας .
Τότε η αρχική για το δίνει
(1)
Αλλά από την αρχική έχουμε για το :
(2)
Από τις (1) και (2) εξισώνοντας τα πρώτα μέλη και αφού είναι , παίρνουμε
και επειδή είναι γνησίως μονότονη (όλα έχουν τελικά σημασία...)
θα είναι και '1-1', οπότε , δηλαδή η συνάρτηση παίρνει την τυχαία θετική τιμή στην θέση , δηλαδή το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το . (Οεδ)
Για τον τύπο τώρα της ο συλλογισμός που έκανα νωρίτερα νομίζω ότι ΤΩΡΑ είναι σωστός.
Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση θα ήταν η ακόλουθη :
Με ανάλογους συλλογισμούς, θέτοντας στην αρχική όπου το και εξισώνοντας πάλι τα και χρησιμοποιώντας το ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα "1-1", προκύπτει ότι
(3).
Αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική από την (3), παίρνουμε τελικά ότι :
.
Ευχαριστώ πολύ το Θάνο για την επισήμανση, τον Demetres για τη συνάρτηση τη μη μονότονη...
Ελπίζω ότι είναι ΟΚ τώρα η απόδειξη... Αν πάλι κάτι δεν πάει καλά, ας επισημανθεί.
Θωμάς
Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Μια λύση από το παλιό mathematica
- Συνημμένα
-
- 335_ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΕ ΤΑ ΠΙΟ SOS+ΛΥΣΕΙΣ_kostas20000gr.pdf
- (170.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 339 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες