Τετράγωνα και τετραγωνάκια (Δ. 8)

#1

Έστω $n \geqslant 17$ ακέραιος. Να δειχθεί ότι κάθε τετράγωνο μπορεί να διαμεριστεί σε

μικρότερα τετραγωνάκια

GVlachos · #2

Για

μπορούμε εύκολα να χωρίσουμε ένα τετράγωνο σε

ίσα τετράγωνα.
Αν καταφέρουμε να χωρίσουμε ένα τετράγωνο σε

τετράγωνα και ένα άλλο σε

τετράγωνα, τότε χωρίζουμε ένα τυχαίο τετράγωνο σε

μικρότερα και ένα από αυτά τα

σε

τετράγωνα, παίρνοντας μια διαμέριση σε m+(n-1)

τετράγωνα.
Άρα κάθε τετράγωνο μπορεί να διαμεριστεί σε 1+3k+8l

τετράγωνα, όπου k,l

φυσικοί.
Για l=0,1,2

παίρνουμε ότι ο 1+3k+8l

παίρνει όλες τις τιμές

με $n\geq17$ (αφού καλύπτει όλα τα υπόλοιπα (mod 3)).
Άρα κάθε τετράγωνο μπορεί να διαμεριστεί σε $n\geq17$ μικρότερα τετραγωνάκια

#3

Σωστά. Ας δούμε και την γενίκευση:

Για κάθε

υπάρχει

ώστε για κάθε $n \geqslant N(d)$ κάθε

-διάστατος κύβος να μπορεί να διαμεριστεί σε

κυβάκια.

#4

Επαναφορά.