Ένα όμορφο ελάχιστο

spiros filippas · #1

Έστω $n\geq2$ ένας ακέραιος. Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

για τους θετικούς x_1,x_2,...,x_n

για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{x_i^2}=1$

$\displaystyle A=\frac{x_1^5}{x_2+x_3+...+x_n}+\frac{x_2^5}{x_1+x_3+...+x_n}+...+\frac{x_n^5}{x_1+x_2+...+x_n_-_1}$

Πότε λαμβάνεται η τιμή αυτή;

petros r · #2

Απο την ανισότητα των βαρών παίρνουμε ότι $\displaystyle \left (\sum{x_{i}^{3}} \right )^{2}\ge{\frac{1}{n}}$ . Στο $\displaystyle \frac{x_{1}^{5}}{x_{2}+....+x_{n}}$ πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με $x_{1}$ . Κάνουμε το αντίστοιχο για τα άλλα και εφαρμόζουμε Andreescu για την παράσταση

. Άρα ο παρονομαστής είναι $2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+......+x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+.....+x_{n-1}x_{n})\leq{\frac{n(n-1)}{\sqrt{n}}$ . Επομένως $A\ge{\frac{\sqrt{n}}{n^{2}(n-1)}}$
Υ.Γ έγινε η διόρθωση. Δεν είχα δει καλά το άθροισμα του παρονομαστή

spiros filippas · #3

Η λύση σου εξακολουθεί να είναι λανθασμένη.

spiros filippas · #4

Επαναφορά...

#5

Ας το τακτοποιήσουμε:

Καταρχάς, ας θέσουμε $\displaystyle{S=x_1+x_2+\cdots +x_n.}$

Από την ανισότητα $\displaystyle{n(x^2 _1+x^2 _2+\cdots +x^2 _n)\geq (x_1+x_2+\cdots x_n)^2}$ βρίσκουμε $\displaystyle{\boxed{S\leq \sqrt{n}}}$ (1)

Η προς απόδειξη ανισότητα είναι συμμετρική, οπότε υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $\displaystyle{x_1\geq x_2\geq ...\geq x_n.}$

Είναι τότε $\displaystyle{S-x_1\leq S-x_2\leq ...\leq S-x_n,}$ οπότε από την ανισότητα Chebyshev έχουμε

$\displaystyle{\boxed{A\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}x^5 _i}{n}\sum \frac{1}{S-x_i}}}$ (2)

Όμως, από την ανισότητα των δυνάμεων είναι $\displaystyle{\Big(\frac{\sum_{i=1}^{n}x^5 _i}{n}\Big)^{\frac{1}{5}}\geq \Big(\frac{\sum_{i=1}^{n}x^2 _i}{n}\Big)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{n}}}$ (3)

Επίσης, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε

$\displaystyle{\sum \frac{1}{S-x_i}\geq \frac{n^2}{(n-1)S}}$ (4)

Τελικά, από τις (1),(2),(3),(4) βρίσκουμε

$\displaystyle{\min A=\frac{1}{n(n-1)}}$ και η ελάχιστη τιμή πιάνεται για $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

spiros filippas · #6

Ωραία λύση!

matha έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Σπύρο, θεωρώ ότι είναι κομματάκι "τραβηγμένη" για juniors.

Ναί ίσως απλά πριν ανεβάσω την άσκηση είχα βρεί 2 διαφορετικούς τρόπους ίσως για κάποιους λίγο απλούστερους.

Ένα όμορφο ελάχιστο

Ένα όμορφο ελάχιστο

Re: Ένα όμορφο ελάχιστο

Re: Ένα όμορφο ελάχιστο

Re: Ένα όμορφο ελάχιστο

Re: Ένα όμορφο ελάχιστο

Re: Ένα όμορφο ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση