ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#1

ΘΕΜΑ 1
Για τις διάφορες τιμές του φυσικού

να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)}$ όπου $\displaystyle{f(x)=\frac{{{x}^{k+8}}+2001}{4{{x}^{2k+4}}-{{x}^{12}}+2001}}$

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα $\displaystyle{\text{f}(\text{x}+y)=\text{f}(\text{x})\text{ }\sigma \upsilon \nu \text{y}+\text{f}(\text{y})\sigma \upsilon \nu \text{x}}$ για κάθε $\chi ,y\in \mathbb{R}$ Αν $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(h)}{h}=1$ , να αποδείξετε ότι :
α. η

είναι συνεχής στο

,
β. η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ ,
γ. Να βρείτε το $\displaystyle{\underset{x\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(x)}{x-\pi }}$ .

ΘΕΜΑ3
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα $\displaystyle{{{\text{f}}^{\text{2}}}(\text{x})\text{ }\text{-1}=\text{2lnxf}(\text{x})~}$ για κάθε x>0

.
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\text{g}(\text{x})\text{ }=\text{f}(\text{x})\text{-lnx}}$ διατηρεί πρόσημο στο $\displaystyle{(0\text{ },+\infty ).}$
β. Αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(1){{x}^{3}}+x-1}{{{x}^{2}}+x-1}=+\infty$ , τότε :
i). να βρείτε το f(1)

.
ii). να βρείτε τον τύπο της

iii). να υπολογίσετε τα όρια
$A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , $B=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$
Α= $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , Β= $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$

ΘΕΜΑ4
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

με $\displaystyle{\text{f}\left( \text{2} \right)=\text{6}}$ και
$\displaystyle{f\left( x \right)\cdot f\left( f\left( x \right) \right)=12}$ για x>0

.
α. Να αποδείξετε ότι f(6)=2

.
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ${{x}_{o}}$ ώστε f(xo)=4

.
γ. Να υπολογίσετε το f(4)

.
δ. Να βρείτε το πρόσημο της
ε. Αν η

είναι γνησίως μονότονη,
i) Nα βρείτε το είδος της μονοτονίας της

.
ii) Nα βρείτε το τύπο της

.

parmenides51 · #2

θέμα 3

Θωμάς Ποδηματάς · #3

Μία σκέψη στο ΘΕΜΑ 4

α. Η αρχική για x=2

δίνει αμέσως f(6)=2

.
β. Προφανές από ΘΕΤ αφού η

παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο

και το

.
γ. Στην αρχική όπου

το

και : $f(x_0)f \left(f \left(x_0 \right) \right)=12$ ή 4f(4)=12

ή

δ. Από την αρχική είναι φανερό ότι η

δεν μηδενίζεται (αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα είχαμε 0=12 άτοπο), άρα διατηρεί πρόσημο. Επειδή ακόμα f(2)=6>0

θα είναι $f(x)>0, \forall x>0$ .
ε.
i. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, θα είχαμε : $2<6 \Rightarrow f(2)<f(6) \Rightarrow 6<2$ , άτοπο. Δεδομένου ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
ii. Από την αρχική και αφού $f(x)>0, \forall x>0$ ,έχουμε : $\displaystyle{f \left( f \left(x \right)\right)= \frac{12}{f(x)}}$ . Θέτοντας τώρα f(x)=t>0

έχουμε τελικά $\displaystyle{ f(t)= \frac{12}{t},t>0}$ .

Ωραίο θέμα !

Στο τελευταίο ερώτημα (εii) δεν είδα να χρειάζεται κάπου η μονοτονία της

... ή έκανα λάθος;;;

#4

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Μία σκέψη στο ΘΕΜΑ 4

α. Η αρχική για δίνει αμέσως .
β. Προφανές από ΘΕΤ αφού η παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο και το .
γ. Στην αρχική όπου το και : $f(x_0)f \left(f \left(x_0 \right) \right)=12$ ή ή
δ. Από την αρχική είναι φανερό ότι η δεν μηδενίζεται (αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα είχαμε 0=12 άτοπο), άρα διατηρεί πρόσημο. Επειδή ακόμα θα είναι $f(x)>0, \forall x>0$ .
ε.
i. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, θα είχαμε : $2<6 \Rightarrow f(2)<f(6) \Rightarrow 6<2$ , άτοπο. Δεδομένου ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
ii. Από την αρχική και αφού $f(x)>0, \forall x>0$ ,έχουμε : $\displaystyle{f \left( f \left(x \right)\right)= \frac{12}{f(x)}}$ . Θέτοντας τώρα έχουμε τελικά $\displaystyle{ f(t)= \frac{12}{t},t>0}$ .

Ωραίο θέμα !

Στο τελευταίο ερώτημα (εii) δεν είδα να χρειάζεται κάπου η μονοτονία της ... ή έκανα λάθος;;;

Αυτό που απέδειξες είναι ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι ο $\displaystyle{f(x)=\frac{12}{x}}$ , αλλά μόνο για τα $\displaystyle{x}$ που είναι τιμές της συνάρτησης, δηλαδή για τα $\displaystyle{x}$ για τα οποία υπάρχει $\displaystyle{y}$ ώστε $\displaystyle{f(y)=x.}$

#5

Αν δεν γνωρίζαμε πως η

είναι γνησίως μονότονη, τότε μια διαφορετική λύση θα ήταν η $\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 6 & x \in [0,2) \\ 12/x & x \in [2,6] \\ 2 & x \in [6,+\infty) \end{cases}}$

parmenides51 · #6

μια παρόμοια με την εύρεση τύπου στο θέμα 4

Θωμάς Ποδηματάς · #7

Καλημέρα στην εκλεκτή παρέα του

Σόρρυ για την καθυστερημένη απάντηση, αλλά χτες ήταν γιορτή στο Βόλο και το βράδυ έπαιζε η ομάδα μου... (άτιμοι Γερμανοί!)

Μια προσπάθεια να λύσω το θέμα που ΟΡΘΟΤΑΤΑ επεσήμανε ο Θάνος.

Το πρόβλημα έγκειται στο ότι δεν ξέρουμε ποιες τιμές παίρνει η

. Πράγματι... Θα αποδείξω ότι η παίρνει όλες τις θετικές τιμές, αφού όπως αποδείξαμε νωρίτερα είναι f(x)>0

.

Έστω ένας y_0>0

.

Τότε η αρχική για

το $f\left(y_0\right)$ δίνει

$f\left(f\left(y_0\right)\right) f\left( f\left(f\left(y_0\right)\right)\right)=12$ (1)

Αλλά από την αρχική έχουμε για

το

:

$f\left(y_0\right) f\left(f\left(y_0\right)\right)=12$ (2)

Από τις (1) και (2) εξισώνοντας τα πρώτα μέλη και αφού είναι $f(x)>0, \forall x>0$ , παίρνουμε

$f\left(y_0\right)=f\left(f\left(f\left(y_0\right)\right)\right)$

και επειδή είναι γνησίως μονότονη (όλα έχουν τελικά σημασία...)

θα είναι και '1-1', οπότε $y_0=f\left( \boxed{f\left(y_0\right)}\right)$ , δηλαδή η συνάρτηση

παίρνει την τυχαία θετική τιμή y_0

στην θέση $f\left(y_0\right)$ , δηλαδή το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $\left(0,+ \infty\right)$ . (Οεδ)

Για τον τύπο τώρα της

ο συλλογισμός που έκανα νωρίτερα νομίζω ότι ΤΩΡΑ είναι σωστός.

Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση θα ήταν η ακόλουθη :

Με ανάλογους συλλογισμούς, θέτοντας στην αρχική όπου

το

και εξισώνοντας πάλι τα LHS

και χρησιμοποιώντας το ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα "1-1", προκύπτει ότι

$x=f\left(f\left(x\right)\right)$ (3).

Αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική από την (3), παίρνουμε τελικά ότι :

$\displaystyle{f(x)x=12 \Leftrightarrow f(x)=\frac{12}{x},x>0}$ .

Ευχαριστώ πολύ το Θάνο για την επισήμανση, τον Demetres για τη συνάρτηση τη μη μονότονη...

Ελπίζω ότι είναι ΟΚ τώρα η απόδειξη... Αν πάλι κάτι δεν πάει καλά, ας επισημανθεί.

Θωμάς

parmenides51 · #8

Μια λύση από το παλιό mathematica

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μέλη σε σύνδεση