Πολύ Καλή Άσκηση!!

FERMA · #1

Έστω η παράσταση $A\left(\theta \right)= 1-\alpha \sigma \upsilon \nu \theta -\beta \eta \mu \theta -A\sigma \upsilon \nu 2\theta -B \eta \mu 2 \theta$ όπου $\alpha,\beta,A,B$ σταθεροί πραγματικοί αριθμοί.
Αν $A\left(\theta \right)\geq 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\theta$ να αποδείξετε ότι

$\alpha ^2 +\beta ^2\leq 2$ και $A ^2 +B ^2\leq 1$

Την θεωρώ δύσκολη για εμάς τους μαθητές αν και λύνεται με ένα ωραίο κόλπο...

FERMA · #2

εως 10/12

dement · #3

ΠοΛΥ καλή άσκηση.

Ισχύει $T_1 (\theta) = a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\theta - \phi_1)$ (όπου $\phi_1$ σταθερό τόξο).

Ομοίως για $T_2 (\theta) = A \cos 2 \theta + B \sin 2 \theta = \sqrt{A^2 + B^2} \cos (2 \theta - \phi_2)$ .

Εστω διάστημα $I = [y, y + \pi]$ όπου $T_1 (\theta) \leq 0$ και έστω $x \in I$ σημείο όπου $T_2(x) = \sqrt{A^2 + B^2}$ . Τότε έχουμε

$1 - T_1(x) - T_2 (x) = 1 - T_1(x) - \sqrt{A^2 + B^2} \geq 1 - \sqrt{A^2 + B^2} \geq 0$ οπότε $A^2 + B^2 \leq 1$ .

Τώρα, αν a^2 + b^2 > 2

θα υπάρχει διάστημα με μήκος μεγαλύτερο του $\pi / 2$ στο οποίο $\displaystyle T_1 > 1$ . Μέσα σε αυτό το διάστημα θα υπάρχει (λόγω μήκους)

με

και κατά συνέπεια 1 - T_1 (x) - T_2(x) < 0

(άτοπο). Αρα $a^2 + b^2 \leq 2$ .

FERMA · #4

Ίδιο περίπου σκεπτικό έχει η δική μου λύση.

Έστω $\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}=\xi$ , τοτε $\left(\frac{\alpha }{\xi } \right)^2+\left(\frac{\beta }{\xi } \right)^2=1$

Άρα υπάρχει γωνια ω, τέτοια ώστε $\frac{\alpha }{\xi }=\sigma \upsilon \nu \omega$ και $\frac{\beta }{\xi }=\eta \mu \omega$

Οποτε
$\alpha \sigma \upsilon \nu \theta +\beta \eta \mu \theta =\xi \left(\frac{\alpha }{\xi } \right\sigma \upsilon \nu \theta+\frac{\beta }{\xi }\eta \mu \theta )=\xi \left(\sigma \upsilon \nu \omega \sigma \upsilon \nu \theta +\eta \mu \omega \eta \mu \theta \right)=\xi \sigma \upsilon \nu \left(\theta -\omega \right)$

Ομοίως αν θέσουμε $\sqrt{A^2+B^2}=\varrho$ και $\frac{a}{\varrho }=\sigma \upsilon \nu 2\phi ,\frac{B}{\varrho }=\eta \mu 2\phi$

παίρνουμε ότι $A\sigma \upsilon \nu 2\theta +B\eta \mu 2\theta =\varrho \left(\frac{A}{\varrho }\sigma \upsilon \nu 2\theta+\frac{B}{\varrho }\eta \mu 2\theta \right)=\varrho \left(\sigma \upsilon \nu 2\phi \sigma \upsilon \nu 2\theta+\eta \mu 2\phi \eta \mu 2\theta \right) =\varrho \sigma \upsilon \nu 2\left(\theta -\phi \right)$

Επομένως η (1) γίνεται

$A\left(\theta \right)=1-\xi \sigma \upsilon \nu \left(\theta -\omega \right) -\varrho \sigma \upsilon \nu 2\left(\theta -\phi \right)$

Για $\theta =\omega +\frac{\pi }{4}$ και $\theta =\omega -\frac{\pi }{4}$ (2)
παίρνουμε από τη (2)
$A\left(\omega +\frac{\pi }{4} \right)=1-\frac{\xi }{\sqrt{2}}-\rho \sigma\upsilon \nu 2\left(\omega -\phi +\frac{\pi }{4} \right)$ (3)

$A\left(\omega -\frac{\pi }{4} \right)=1-\frac{\xi }{\sqrt{2}}-\rho \sigma\upsilon \nu 2\left(\omega -\phi -\frac{\pi }{4} \right)$ (4)

Αν $\xi \succ \sqrt{2}$ , τοτε $1-\frac{\xi }{\sqrt{2}}\prec 0$ και επειδή $2\left(\omega -\phi +\frac{\pi }{4} \right)-2\left( \omega -\phi -\frac{\pi }{4} \right)=\pi$ τα $\sigma \upsilon \nu 2\left(\omega -\phi +\frac{\pi }{4} \right) , \sigma \upsilon \nu 2(\left( \omega -\phi -\frac{\pi }{4} \right)$ θα έχουν αντίθετα πρόσημα και μια από τις παραστάσεις $\varrho \sigma \upsilon \nu 2\left(\omega -\phi +\frac{\pi }{4} \right) , \varrho \sigma \upsilon \nu 2(\left\omega -\phi -\frac{\pi }{4} \right)$ θα είναι θετική.Έτσι συμπεραίνουμε ότι το δεύτερο μέλος μίας των εξισώσεων (3) και (4) θα ειναι αρνητικό και άρα και μια απο τις τιμές $A\left(\omega +\frac{\pi }{4} \right), A\left(\omega -\frac{\pi }{4} \right)$ θα είναι αρνητική.Αυτό όμως αντίκειται στην υπόθεση.

FERMA έγραψε:Έστω η παράσταση $A\left(\theta \right)= 1-\alpha \sigma \upsilon \nu \theta -\beta \eta \mu \theta -A\sigma \upsilon \nu 2\theta -B \eta \mu 2 \theta$ όπου $\alpha,\beta,A,B$ σταθεροί πραγματικοί αριθμοί.
Αν $A\left(\theta \right)\geq 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\theta$ να αποδείξετε ότι

$\alpha ^2 +\beta ^2\leq 2$ και $A ^2 +B ^2\leq 1$

Επομένως $\xi ^2=\alpha ^2+\beta ^2\leq 2$
Ομοίως βρίσκουμε τις τιμές της παράστασης Α στα φ και φ+π
$A\left(\phi \right)=1-\xi \sigma \upsilon \nu \left(\phi -\omega \right)-\varrho$
$A\left(\phi \right)=1-\xi \sigma \upsilon \nu \left(\phi -\omega +\pi \right)-\varrho$
Αν $\varrho \succ 1$ τοτε $1-\varrho \prec 0$ .Επισης, $\left(\phi -\omega +\pi \right) -\left(\phi -\omega \right)=\pi$ .Με ανάλογο σκεπτικό καταλήγουμε σε άτοπο. Αρα $\varrho ^2=A^2+B^2\leq 1$

Πολύ Καλή Άσκηση!!

Πολύ Καλή Άσκηση!!

Re:Πολύ Καλή Άσκηση!!

Re: Πολύ Καλή Άσκηση!!

Re: Πολύ Καλή Άσκηση!!

Μέλη σε σύνδεση