Όρια χωρίς περιορισμούς

KARKAR · #1

Υπολογίστε ( με όποιο τρόπο θέλετε ) , τα εξής δύο όρια :

1) $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left [(x^2-x)sin\frac{\pi x}{x-1}\right]$

2) $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left [(x-\sqrt{x})sin\frac{\pi x}{x-1}\right]$

#2

KARKAR έγραψε:Υπολογίστε ( με όποιο τρόπο θέλετε ) , τα εξής δύο όρια :

1) $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left [(x^2-x)sin\frac{\pi x}{x-1}\right]$

2) $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left [(x-\sqrt{x})sin\frac{\pi x}{x-1}\right]$

1) $\displaystyle{ f\left( x \right) = \left( {x^2 - x} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\pi x}} {{x - 1}}} \right) = \left( {x^2 - x} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\pi x - \pi + \pi }} {{x - 1}}} \right) = \left( {x^2 - x} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\pi \left( {x - 1} \right) + \pi }} {{x - 1}}} \right) = }$

$\displaystyle{ \left( {x^2 - x} \right) \cdot \sin \left( {\pi + \frac{\pi } {{x - 1}}} \right) = - \left( {x^2 - x} \right) \cdot \sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right) = - \left( {x^2 - x} \right) \cdot \frac{\pi } {{x - 1}} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}} = }$

$\displaystyle{ - x\left( {x - 1} \right) \cdot \frac{\pi } {{x - 1}} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}} \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = \left[ { - \pi x \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}}} \right]} }$

Είναι $\displaystyle{ \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \pi x} \right) = - \infty }:\left( 1 \right) }$ και $\displaystyle{ \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}}}\mathop = \limits^{u = \frac{\pi } {{x - 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } u = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{\pi } {{x - 1}} = \ldots 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sin u}} {u}\boxed{ = 1}:\left( 2 \right) }$

Από $\displaystyle{ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty } }$

2) $\displaystyle{ g\left( x \right) = \left( {x - \sqrt x } \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\pi x}} {{x - 1}}} \right) = \left( {x - \sqrt x } \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\pi x - \pi + \pi }} {{x - 1}}} \right) = \left( {x - \sqrt x } \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\pi \left( {x - 1} \right) + \pi }} {{x - 1}}} \right) = }$

$\displaystyle{ \left( {x - \sqrt x } \right) \cdot \sin \left( {\pi + \frac{\pi } {{x - 1}}} \right) = - \left( {x - \sqrt x } \right) \cdot \sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right) = - \left( {x - \sqrt x } \right) \cdot \frac{\pi } {{x - 1}} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}} = }$

$\displaystyle{ - \frac{{\pi \left( {x - \sqrt x } \right) \cdot \left( {x + \sqrt x } \right)}} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x } \right)}} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}} = - \frac{{\pi x\left( {x - 1} \right)}} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x } \right)}} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}} \Rightarrow \boxed{g\left( x \right) = \left[ { - \frac{{\pi x}} {{x + \sqrt x }} \cdot \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}}} \right]} }$

είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{{\pi x}} {{x + \sqrt x }}} \right)\mathop = \limits^{:x} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{\pi } {{1 + \frac{1} {{\sqrt x }}}}} \right)\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1} {{\sqrt x }} = 0} - \pi }$ και $\displaystyle{ \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {{x - 1}}} \right)}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}}}\mathop = \limits^{u = \frac{\pi } {{x - 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } u = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{\pi } {{x - 1}} = \ldots 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sin u}} {u}\boxed{ = 1} }$ άρα $\displaystyle{ \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = - \pi } }$

Στάθης

#3

Πολλή ωραία λύση. Το βήμα $\sin (\pi a )= -\sin ( \pi (a-1))$ είναι όλα τα λεφτά.

Ας προσθέσω ως παρατήρηση ότι το πρώτο όριο βγαίνει από το δεύτερο διότι

$\displaystyle (x^2-x)\sin\frac{\pi x}{x-1} = [ (x +\sqrt x) ] \left [ (x-\sqrt{x}) \sin\frac{\pi x}{x-1}\right]$

εκ των οποίων ο μεν πρώτος παράγοντας τείνει στο $+\infty$ και ο δεύτερος (όπως έδειξε ο Στάθης) στο $-\pi <0$ . Άρα το γινόμενό τους τείνει στο $- \infty$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

S.E.Louridas · #4

Μετά την όμορφη τεχνασματική λύση του Άριστου Στάθη και σε μία προσπάθεια μεθόδευσης μέσω αντικατάστασης, παίρνουμε:

$\begin{array}{*{20}c} 1)\ {x - 1 = t \Leftrightarrow t = x + 1,\;o\pi \dot o\tau \varepsilon \;\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } t = \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {x - 1} \right)\sin \frac{{\pi x}} {{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } t\left( {t + 1} \right)\sin \frac{{\pi \left( {t + 1} \right)}} {t} = } \\ {} \\ {\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \;\pi \left( {t + 1} \right)\frac{{\sin \frac{{\pi \left( {t + 1} \right)}} {t}}} {{\frac{\pi } {t}}} = \pi \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {t + 1} \right)\frac{{\sin \left( {\pi + \frac{\pi } {t}} \right)}} {{\frac{\pi } {t}}} = - \pi \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {t + 1} \right)\frac{{\sin \left( {\frac{\pi } {t}} \right)}} {{\frac{\pi } {t}}} = - \infty ,} \\ \end{array}$

αφού $\displaystale{\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {t + 1} \right) = \infty ,\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{\pi } {t} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\sin \frac{\pi } {t}}} {{\frac{\pi } {t}}} = 1.}$

$\displaystale{\begin{array}{*{20}c} {2)\;\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x - \sqrt x } \right)\sin \frac{{\pi x}} {{x - 1}} = \pi \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x - \sqrt x }} {{x - 1}} \cdot \frac{{\sin \frac{{\pi x}} {{x - 1}}}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}} = - \pi ,} \\ {} \\ {\kappa \alpha \theta \dot o\tau \iota \;\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x - \sqrt x }} {{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1 - \frac{1} {{\sqrt x }}}} {{1 - \frac{1} {x}}} = 1,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin \frac{{\pi x}} {{x - 1}}}} {{\frac{\pi } {{x - 1}}}} = -\pi .} \\ \end{array}}$

S.E.Louridas

Όρια χωρίς περιορισμούς

Όρια χωρίς περιορισμούς

Re: Όρια χωρίς περιορισμούς

Re: Όρια χωρίς περιορισμούς

Re: Όρια χωρίς περιορισμούς

Μέλη σε σύνδεση