ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

dennys · #1

Ενα τετράγωνο τρ απέζι με ισα πόδια , ταλαντεύεται ως πρός δυο διαγώνια πόδια ,γιατί ειναι σε ενα σκεβρωμένο πάτωμα .
Να δείξετε οτι περιστρέφοντας , το τραπέζι σε λιγότερο απο ενα τεταρτοκύκλιο, υπάρχει σημείο στο οποίο το τραπέζι παυει
να ταλαντώνεται.
Ευχαριστώ dennys

k-ser · #2

dennys έγραψε:Ενα τετράγωνο τρ απέζι με ισα πόδια , ταλαντεύεται ως πρός δυο διαγώνια πόδια ,γιατί ειναι σε ενα σκεβρωμένο πάτωμα .
Να δείξετε οτι περιστρέφοντας , το τραπέζι σε λιγότερο απο ενα τεταρτοκύκλιο, υπάρχει σημείο στο οποίο το τραπέζι παυει
να ταλαντώνεται.
Ευχαριστώ dennys

Θεωρούμε ότι το τραπέζι περιστρέφεται και έστω $\displaystyle x$ το τόξο που διαγράφει το κάθε πόδι.
Το τραπέζι, κατά την περιστροφή του, θα πρέπει να στηρίζεται σε ένα τουλάχιστον ζευγάρι διαγωνίων ποδιών.
Έστω $\displaystyle f(x), g(x)$ οι μέγιστες αποστάσεις από το έδαφος δύο διαδοχικών ποδιών του τραπεζιού.
Θα ισχύει: $\displaystyle f(0)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)$ και $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=g(0)$ . Ακόμα, για κάθε $\displaystyle x$ θα είναι $\displaystyle f(x)=0$ ή $\displaystyle g(x)=0$ .

Έτσι, με τη βοήθεια της συνάρτησης $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x), x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ και του Bolzano, έχουμε το ζητούμενο.

Σημείωση: Υπάρχει ένα ερωτηματικό για τον ορισμό και την συνέχεια των παραπάνω συναρτήσεων, τα οποία είναι προφανή μόνο στην περίπτωση που υποθέσουμε ότι το κάθε πόδι μπορεί να ακουμπήσει στο δάπεδο μόνο με το κάτω άκρο του το οποίο θα πρέπει, επίσης, να υποθέσουμε ότι είναι σημείο!
Σε διαφορετική περίπτωση, λίγο δύσκολο να λυθεί το πρόβλημα μόνο με γνώσεις μαθηματικών Γ΄ Λυκείου!.

#3

Το συγκεκριμένο πρόβλημα μου του είχαν ρωτήσει στην συνέντευξη για το προπτυχιακό στο Κέιμπριτζ. Εννοείται ότι οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πράγματι ισχύει το αποτέλεσμα ήταν δευτερευούσης σημασίας. Το βασικό ήταν να δεις ότι εφαρμόζεται κάποιου είδους θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. [Μάλιστα για τους Άγγλους το πρόβλημα ήταν πιο δύσκολο μιας και τουλάχιστον όταν έδωσα εγώ τα Α Level στα μαθηματικά, το θεώρημα Bolzano δεν ήταν μέσα στην διδακτέα ύλη.]

dennys · #4

Καλησπέρα σε ολους .
Η ασκηση είναι απο το θεσσαλονικιό Μ. Καραμαυρο απο ενα βιβλίο ορια συνεχεια . Η προσεγγιση μου ηταν οπως του κ. Σερίφη ,οι συναρτησεις ειναι
συνεχεις , απλως θα ηθελα μια προσέγγιση με τοξα και γωνίες. Δυστυχως τα παλιά βιβλία δεν είχαν ουτε καν υποδείξεις.
Ευχαριστώ θερμά
dennys

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μέλη σε σύνδεση