Διαγώνισμα

#1

Ύλη: Μιγαδικοί-Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

Διάρκεια: 3 ώρες

Θέμα 1

Α) Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο [a,b]

,

και $k \in (f(a),f(b))$ , να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0 \in (a,b)$

ώστε f(x_0)=k

(Μονάδες 10)

Β) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος κάθε μία από τις πιο κάτω προτάσεις:

1. $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac {\eta \mu x}{x}=0}$

2. $\displaystyle{\lim_{x \to 1}\frac {\eta \mu x}{x}=1}$

3. Υπάρχει συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ και σύνολο τιμών το $\{0,1\}$

4. Για να έχει νόημα το $\displaystyle{\lim_{x \to x_0}f(x)}$ , πρέπει απαραίτητα το x_0

να ανήκει στο πεδίο ορισμού της

5. Αν για τη συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , αληθεύει η σχέση f(xy)>f(x)

, για κάθε x>0

και για κάθε y>1

, τότε η

συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$ (Μονάδες $3 \times 5=15$ )

Θέμα 2

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xe^x=1

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0,1)

(Μονάδες 5)

Β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό

, ώστε η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \frac {\eta\mu x}{x} & x \neq 0 \\ a & x=0 \end{cases}}$ να είναι συνεχής στο

. (Μονάδες 10)

Γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta, \gamma$ , ώστε η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \frac {\sqrt{x+9}-3}{x}+\alpha &x>0\\ \beta &x=0\\ \frac {\eta\mu x+\gamma}{x} &x<0 \end{cases}}$ ,

να είναι συνεχής στο

. (Μονάδες 10)

Θέμα 3

Α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών

για τους οποίους αληθεύει η σχέση

$\left|z+3i\right|+\left|\overline{z}+3i\right|=8$ (Μονάδες 12)

Β)

είναι το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης $\left|z+1\right|=\left|z+2i\right|$ και

είναι το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης $\left|z-2\right|=\left|z-4i\right|$

Αν ο αριθμός

παίρνει τιμές από το σύνολο

και ο αριθμός

παίρνει τιμές από το σύνολο

,

τότε πιο είναι το ελάχιστο του $\left|a-b\right|$

Θέμα 4

Α) Η συνάρτηση

ορίζεται στο $(0,+\infty)$ , είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα και έχει σύνολο τιμών το $(0,+\infty)$ .

Να βρείτε

1. Τη μονοτονία της συνάρτησης $\displaystyle{g(x)=f\left(\frac {1}{x}\right), x >0}$ (Μονάδες 5)

2. Το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac {f^2\left(\frac {1}{x}\right)+2}{2f^2\left(\frac {1}{x}\right)+f\left(\frac {1}{x}\right)+5}}$ (Μονάδες 5)

3. Το $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \frac {\sqrt{f\left(\frac {1}{x}\right)+9}-3}{\sqrt{f\left(\frac {1}{x}\right)+4}-2}}$ (Μονάδες 5)

Β) Η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι 1-1.

Αν για κάθε x>0

αληθεύει η σχέση $\displaystyle{\left(x^4+1\right)\left(f\left(\frac {2x}{x+1}\right)-f\left(\frac {3x}{x+1}\right)\right)\right)=x}$ ,

να αποδείξετε ότι είναι ασυνεχής. (Μονάδες 10)

* Την ιδέα για το 4α θέμα την πήρα από ένα διαγώνισμα του Νίκου Ζανταρίδη

Μέχρι 27/12

Νασιούλας Αντώνης · #2

s.kap έγραψε: Θέμα 4

Β) Η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι 1-1.

Αν για κάθε αληθεύει η σχέση $\displaystyle{\left(x^4+1\right)\left(f\left(\frac {2x}{x+1}\right)-f\left(\frac {3x}{x+1}\right)\right)\right)=x}$ ,

να αποδείξετε ότι είναι ασυνεχής. (Μονάδες 10)

* Την ιδέα για το 4α θέμα την πήρα από ένα διαγώνισμα του Νίκου Ζανταρίδη

Μέχρι 27/12

Δίνω το τελευταίο που μου άρεσε ιδιαίτερα.
Γενικώς πολύ ωραία θέματα για σχολικό (?) διαγώνισμα. Ξεχώρισα επίσης το 5) από τα Σ-Λ.

Στα παρακάτω αναφέρομαι για x>0

.
Έστω ότι η

είναι συνεχής.

Ισχύει: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f\left(\frac {2x}{x+1}\right) =\lim_{u\rightarrow 2}f(u)=f(2)}$ , αφού η

συνεχής.

Επίσης, : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f \left(\frac {3x}{x+1}\right)\right) =\lim_{u\rightarrow 3}f(u)=f(3)}$ , αφού η

συνεχής.

Ακόμα, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{x^4+1}=0}$ .

Χρησιμοποιώντας τη δοθείσα, προκύπτει άμεσα ότι f(2)=f(3)

, άτοπο αφού η

είναι

.
Άρα η

είναι ασυνεχής.

Διαγώνισμα

Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Μέλη σε σύνδεση