Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #61

ΑΣΚΗΣΗ 84

Ένα κουτί περιέχει 5 κίτρινες, x πράσινες και y γαλάζιες μπάλες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα από το κουτί. Αν η πιθανότητα να πάρουμε πράσινη ή γαλάζια μπάλα είναι $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ , ενώ η πιθανότητα να πάρουμε κίτρινη ή γαλάζια είναι $\displaystyle{\frac{3}{5}}$ , τότε:

α) Να βρείτε τα x , y καθώς επίσης και πόσες μπάλες έχει το κουτί.

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να πάρουμε κίτρινη ή πράσινη μπάλα

απο φυλλάδιο Δ Αργυράκη & Γ Κουτσανδρέα

pito · #62

ΑΣΚΗΣΗ 84

Τα ενδεχόμενα Π: "επιλέγω πράσινη μπάλα", Κ:"επιλέγω κίτρινη μπάλα" και Γ: "επιλέγω γαλάζια μπάλα" είναι ασυμβίβαστα,
με πιθανότητες $P(\Pi )=\frac{N(\Pi )}{N(\Omega )}=\frac{x}{x+y+5}, P(K)=\frac{N(K)}{N(\Omega )}=\frac{5}{x+y+5}, P(\Gamma )=\frac{N(\Gamma )}{N(\Omega )}=\frac{y}{x+y+5}$ αντίστοιχα.

Είναι $P(\Pi \bigcup{\Gamma )}=\frac{3}{4}\Rightarrow P(\Pi )+P(\Gamma )=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{x}{y+5}+\frac{y}{x+y+5}=\frac{3}{4}\Rightarrow x+y=15 (1)$
και $P(K\bigcup{\Gamma )}=\frac{3}{5}\Rightarrow P(K)+P(\Gamma )=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{5}{x+y+5}+\frac{y}{x+y+5}=\frac{3}{5}\Rightarrow 3x-2y=10 (2)$

Λύνοντας το σύστημα των (1), (2) προκύπτει x=8, y=7

και άρα το κουτί περιέχει 20 μπάλες.

β) Ζητάμε την $P(K\bigcup{\Pi )}=P(K)+P(\Pi )=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$

dr.tasos · #63

Θεωρώ τα ενδεχόμενα A: να πάρω γαλάζια μπάλα, B : να πάρω πρασινη μπάλα και C: να πάρω κιτρινη μπάλα.
έχω $P(A \cup B )= \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{x+y}{x+y+5}=\frac{3}{5} \Leftrightarrow x+y=15 (1)$ Για το πλήθος όλων εχω $N(\Omega )= x+y+5=20$
επίσης έχω : $P( C \cup A ) = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{3}{5}= \frac{5+y}{20} \Leftrightarrow y=7$
αρα x=8

.
Τέλος : $P( C \cup B )= \frac{8+5}{20}=\frac{13}{20}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #64

ΑΣΚΗΣΗ 85

Aν Α , Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , με $\displaystyle{P(A) = \frac{1}{5},P(B) = \frac{2}{3}}$ και $\displaystyle{P(A \cap B) = \frac{1}{{12}}}$ ,να βρείτε την πιθανότητα:

α) Να μην πραγματοποιηθεί το Α .

β) Να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α , Β .

γ) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α , Β .

δ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α .

ε) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α , Β .

στ) Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α , Β

Ας την αφήσουμε για τον Τάσο (μαθητή Α΄ Λυκείου)

απο φυλλάδιο Δ Αργυράκη & Γ Κουτσανδρέα

dr.tasos · #65

α) $P(A')=\frac{4}{5}$
β) $P(A \cup B )=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Leftrightarrow P(A \cup B)=\frac{1}{5}+\frac{2}{3}-\frac{1}{12} \Leftrightarrow \\ P(A \cup B )=\frac{47}{60}$
γ) $P((A \cup B)')=\frac{13}{60}$
δ) $P(A-B)=P(A)-P(A \cap B) \Leftrightarrow P(A-B)=\frac{1}{5}-\frac{1}{12} \Leftrightarrow P(A-B)=\frac{7}{60}$
ε)
$P((A-B) \cup (B-A))=P(A)+P(B)-2P(A \cap B ) \Leftrightarrow P((A-B) \cup (B-A))= \frac{3+10}{15}-\frac{1}{6} \Leftrightarrow \\ P((A-B) \cup (B-A))=\frac{52-10}{60} \Leftrightarrow P((A-B) \cup (B-A))=\frac{21}{30}$
στ) $P((A \cap B)')=1-P(A \cap B ) \Leftrightarrow P((A \cap B)')=\frac{11}{12}$

Γιώργος Απόκης · #66

ΑΣΚΗΣΗ 86η

Μια μικρή συλλογή από ασκήσεις με ανισοτικές σχέσεις

1) Αν A,B

δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με

P(A)=k^2,~P(B)=5k^2-7k+3

, να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}\leq k \leq \frac{2}{3}}$ .

2) Αν

ενδεχόμενo ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με $\displaystyle{|2P(A)+3|-|2P(A)-5|=p}$ ,

να αποδείξετε ότι ισχύει $|p|\leq 2$ .

3) Αν A,B

δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με

$\displaystyle{P(A)>\frac{1}{9},~P(B)=\frac{4P(A)}{9P(A)-1}}$ , να βρείτε τις πιθανότητες P(A),~P(B)

.

dr.tasos · #67

Αποσυρω μεχρι να την λυσω.

Γιώργος Απόκης · #68

dr.tasos έγραψε:Απαντώ στην 2) Λοιπόν :
Έχω $P(A) \leq 1 < \frac{5}{2} \Leftrightarrow P(A) < \frac{5}{2}$ ετσι η δοσμένη γινεται :
$2P(A)\color{red}-\color{black}2P(A)+3-5=p \Leftrightarrow p=-2 \Leftrightarrow |p|=2$ άρα αφου ισχύει.

Kαλό μεσημέρι Τάσο. Η ιδέα αυτή είναι (να βγάλεις τα απόλυτα) αλλά σου έχει φύγει το κόκκινο πρόσημο, άρα αλλάζει από εκεί και μετά...

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #69

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 86η

Μια μικρή συλλογή από ασκήσεις με ανισοτικές σχέσεις

1) Αν δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με

, να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}\leq k \leq \frac{2}{3}}$ .

2) Αν ενδεχόμενo ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με $\displaystyle{|2P(A)+3|-|2P(A)-5|=p}$ ,

να αποδείξετε ότι ισχύει $|p|\leq 2$ .

3) Αν δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με

$\displaystyle{P(A)>\frac{1}{9},~P(B)=\frac{4P(A)}{9P(A)-1}}$ , να βρείτε τις πιθανότητες .

Ωραία άσκηση

1. Έχουμε $\displaystyle{0 \le P(A) \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \kappa ^2 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \kappa \le 1\begin{array}{*{20}c} {} & {(1)} \\ \end{array} }$

και $\displaystyle{ 0 \le P({\rm B}) \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 5\kappa ^2 - 7\kappa + 3 \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5\kappa ^2 - 7\kappa + 3 \ge 0 \\ 5\kappa ^2 - 7\kappa + 2 \le 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \kappa \in R \\ \frac{2}{5} \le \kappa \le 1 \\ \end{array} \right.\begin{array}{*{20}c} {} & {(2)} \\ \end{array} }$

Επίσης A,B

δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ έχουμε

$\displaystyle{{\rm P}({\rm A} \cup {\rm B}) = {\rm P}({\rm A}) + {\rm P}({\rm B}) = 6\kappa ^2 - 7\kappa + 3}$

με $\displaystyle{ 0 \le P(A \cup {\rm B}) \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 6\kappa ^2 - 7\kappa + 3 \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6\kappa ^2 - 7\kappa + 3 \ge 0 \\ 6\kappa ^2 - 7\kappa + 2 \le 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \kappa \in R \\ \frac{1}{2} \le \kappa \le \frac{2}{3} \\ \end{array} \right.\begin{array}{*{20}c} {} & {(3)} \\ \end{array} }$

Οπότε $\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{(1),(2),(3)} \frac{1}{2} \le \kappa \le \frac{2}{3}}$

2. $\displaystyle{0 \le P(A) \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 2{\rm P}({\rm A}) \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 2{\rm P}({\rm A}) + 3 \le 5}$

και $\displaystyle{0 \le P(A) \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 2{\rm P}({\rm A}) \le 2 \Leftrightarrow - 5 \le 2{\rm P}({\rm A}) - 5 \le - 3}$

Επομένως η σχέση γίνεται $\displaystyle{\left| {2{\rm P}({\rm A}) + 3} \right| - \left| {2{\rm P}({\rm A}) - 5} \right| = p \Leftrightarrow 2{\rm P}({\rm A}) + 3 - \left( {5 - 2{\rm P}({\rm A})} \right) = p \Leftrightarrow 2{\rm P}({\rm A}) + 3 - 5 + 2{\rm P}({\rm A}) = p \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{4{\rm P}({\rm A}) = p + 2 \Leftrightarrow {\rm P}({\rm A}) = \frac{{p + 2}}{4}}$

Όμως $\displaystyle{0 \le P(A) \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{p + 2}}{4} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le p + 2 \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le p \le 2 \Leftrightarrow \left| p \right| \le 2}$

3. Επειδή A,B

δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ έχουμε

$\displaystyle{{\rm P}({\rm A}) + {\rm P}({\rm B}) \le 1 \Leftrightarrow {\rm P}({\rm A}) + \frac{{4{\rm P}({\rm A})}}{{9{\rm P}({\rm A}) - 1}} \le 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\rm P}({\rm A}) > \frac{1}{9}} 9{\rm P}^2 ({\rm A}) - {\rm P}({\rm A}) + 4{\rm P}({\rm A}) \le 9{\rm P}({\rm A}) - 1 \Leftrightarrow 9{\rm P}^2 ({\rm A}) - 6{\rm P}({\rm A}) + 1 \le 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(3{\rm P}({\rm A}) - 1)^2 \le 0 \Leftrightarrow 3{\rm P}({\rm A}) - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm P}({\rm A}) = \frac{1}{3}}$

Οπότε $\displaystyle{{\rm P}({\rm B}) = \frac{{4{\rm P}({\rm A})}}{{9{\rm P}({\rm A}) - 1}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{9\frac{1}{3} - 1}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{2} = \frac{2}{3}}$

perpant · #70

ΑΣΚΗΣΗ 87η

Έστω $\displaystyle{\Omega = \left\{ {0,1,2,\omega _1 ,\omega _2 } \right\}}$ με $\displaystyle{\omega _1 < \omega _2 }$ ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και το ενδεχόμενο $\displaystyle{{\rm A} = \left\{ {\omega _1 ,\omega _2 } \right\}}$ , ώστε να ισχύουν: $\displaystyle{P\left( A \right) = \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{P\left( 0 \right) = 2P\left( 1 \right) = \frac{{P\left( 2 \right)}}{2} = P\left( {\omega _1 } \right)}$

Α. Να βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω

Β. Αν η καμπύλη της συνάρτησης $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{a}{3}x^3 - 4x^2 + 15x - 1}$ έχει εφαπτομένη στο $\displaystyle{x_o = 1}$ παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{\varepsilon :\,\,y = 8x}$ και τα $\displaystyle{ \omega _1 ,\,\,\,\omega _2 }$ είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της f, τότε:

i) Να βρείτε τα α, $\displaystyle{\omega _1 ,\,\,\,\omega _2 }$

ii) Για $\displaystyle{\alpha = 1,\,\,\,\omega _1 = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\omega _2 = 5}$

a) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{{\rm B} = \left\{ {\lambda \in \Omega :\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f''\left( x \right) + 4}}{{\sqrt {3x - 2} - 2}} = \lambda ^2 - 5\lambda + \frac{{26}}{3}} \right\}}$

b) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β

c) Να δείξετε ότι $\displaystyle{P\left( {A - B} \right) \le \frac{1}{2}}$

yeustathiou · #71

ΑΣΚΗΣΗ 88η

Για να κανω κι εγω μια προσπαθεια

Έστω Ω δειγματικός χώρος που αποτελείται από το σύνολο των ριζών της εξίσωσης (x-10)(x-11)...(x-20)=0 . Αν Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και λ ανηκει στο Ω , να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση y^2-8y+λ=0 να μην έχει πραγματικές ρίζες.

Γιάννης Ευσταθίου

apotin · #72

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 87η

Έστω $\displaystyle{\Omega = \left\{ {0,1,2,\omega _1 ,\omega _2 } \right\}}$ με $\displaystyle{\omega _1 < \omega _2 }$ ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και το ενδεχόμενο $\displaystyle{{\rm A} = \left\{ {\omega _1 ,\omega _2 } \right\}}$ , ώστε να ισχύουν: $\displaystyle{P\left( A \right) = \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{P\left( 0 \right) = 2P\left( 1 \right) = \frac{{P\left( 2 \right)}}{2} = P\left( {\omega _1 } \right)}$

Α. Να βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω

Β. Αν η καμπύλη της συνάρτησης $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{a}{3}x^3 - 4x^2 + 15x - 1}$ έχει εφαπτομένη στο $\displaystyle{x_o = 1}$ παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{\varepsilon :\,\,y = 8x}$ και τα $\displaystyle{ \omega _1 ,\,\,\,\omega _2 }$ είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της f, τότε:

i) Να βρείτε τα α, $\displaystyle{\omega _1 ,\,\,\,\omega _2 }$

ii) Για $\displaystyle{\alpha = 1,\,\,\,\omega _1 = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\omega _2 = 5}$

a) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{{\rm B} = \left\{ {\lambda \in \Omega :\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f''\left( x \right) + 4}}{{\sqrt {3x - 2} - 2}} = \lambda ^2 - 5\lambda + \frac{{26}}{3}} \right\}}$

b) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β

c) Να δείξετε ότι $\displaystyle{P\left( {A - B} \right) \le \frac{1}{2}}$

_____________________________________________________________________________

Α. Έστω $\displaystyle{P(0) = 2P(1) = \frac{1}{2}P(2) = P\left( {{\omega _1}} \right) = x}$
Είναι

$\displaystyle{\begin{array}{l} P\left( \Omega \right) = 1 \Leftrightarrow P(0) + P(1) + P(2) + P\left( {{\omega _1}} \right) + P\left( {{\omega _2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \\ P(0) + P(1) + P(2) + {\rm P}\left( {\rm A} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{1}{2}x + 2x + \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{7} \end{array}}$
Άρα $\displaystyle{P(0) = P\left( {{\omega _1}} \right) = \frac{1}{7}}$ , $\displaystyle{P(1) = \frac{1}{{14}}}$ και $\displaystyle{P(2) = \frac{2}{7}}$
Επίσης
$\displaystyle{P\left( A \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow P\left( {{\omega _1}} \right) + P\left( {{\omega _2}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{7} + P\left( {{\omega _2}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow P\left( {{\omega _2}} \right) = \frac{5}{{14}}}$
Β. i) Είναι $\displaystyle{f'(x) = \alpha {x^2} - 8x + 15}$
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της ${C_f}$ στο σημείο με τετμημένη 1 είναι $\lambda = f'(1) = \alpha + 7$ .

Άρα η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την y=8x αν-ν λ=8 $\Leftrightarrow$ α=1.
Τότε $\displaystyle{f'(x) = {x^2} - 8x + 15 = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)}$
Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατα στα 3 και 5.
Άρα αφού ${\omega _1} < {\omega _2} \Rightarrow {\omega _1} = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\omega _2} = 5$ .
Τότε έχουμε $\displaystyle{\Omega = \{ 0,1,2,3,5\} }$ και $\displaystyle{{\rm A} = \{ 3,5\} }$
B. ii) a) Είναι $\displaystyle{f''(x) = 2x - 8}$
Και
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f''(x) - 8}}{{\sqrt {3x - 2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 4}}{{\sqrt {3x - 2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + 2} \right)}}{{3\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2\left( {\sqrt {3x - 2} + 2} \right)}}{3} = \frac{8}{3}}$
τότε
$\displaystyle{{\lambda ^2} - 5\lambda + \frac{{26}}{3} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow {\lambda ^2} - 5\lambda + 6 = 0}$
Οπότε λ=2 ή λ=3
Άρα
$\displaystyle{{\rm B} = \{ 2,3\} \Rightarrow {\rm P}({\rm B}) = {\rm P}(2) + {\rm P}(3) = \frac{3}{7}}$
b) είναι $\displaystyle{{\rm A} \cup {\rm B} = \{ 2,3,5\} \Rightarrow {\left( {{\rm A} \cup {\rm B}} \right)^\prime } = \{ 0,1\} \Rightarrow {\rm P}\left( {{{\left( {{\rm A} \cup {\rm B}} \right)}^\prime }} \right) = \frac{3}{{14}}}$

c) είναι $\displaystyle{{\rm A} - {\rm B} = \{ 5\} \Rightarrow {\rm P}\left( {{\rm A} - {\rm B}} \right) = {\rm P}(5) = \frac{5}{{14}} < \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}}$

_____________________________________________________________________________

Απόστολος Τιντινίδης

Γιώργος Απόκης · #73

yeustathiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 88η
Για να κανω κι εγω μια προσπαθεια
Έστω Ω δειγματικός χώρος που αποτελείται από το σύνολο των ριζών της εξίσωσης (x-10)(x-11)...(x-20)=0 . Αν Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και λ ανηκει στο Ω , να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση y^2-8y+λ=0 να μην έχει πραγματικές ρίζες.
Γιάννης Ευσταθίου

Προφανώς $\Omega=\{10,11,12,...,20\}$ και $N(\Omega)=11$ . H εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν

για τη διακρίνουσα ισχύει $\Delta<0\Leftrightarrow 64-4\lambda<0\Leftrightarrow \lambda>16\overset{\lambda \in \Omega} \Rightarrow \lambda\in \{17,18,19,20\}}$ .

Aφού ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\displaystyle{\frac{4}{11}}$ .

parmenides51 · #74

Καλώς ήρθες Γιάννη, για το LaTeX δες εδώ κι εδω.

Ας συμπληρώσω ένα ερώτημα στην

yeustathiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 88η

Για να κάνω κι εγώ μια προσπάθεια

Έστω $\Omega$ δειγματικός χώρος που αποτελείται από το σύνολο των ριζών της εξίσωσης .
α) Αν ο $\Omega$ αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και $\lambda\in\Omega$ , να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση $y^2-8y+\lambda=0$ να μην έχει πραγματικές ρίζες.

Γιάννης Ευσταθίου

β) Να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση $y^2-8y+\lambda=0 ,\lambda\in\Omega$ να έχει ρητές (πραγματικές) ρίζες στην περίπτωση που ο δειγματικός χώρος $\Omega$ αποτελείται από απλά ενδεχόμενα με πιθανότητες ανάλογες των ενδείξεων τους , δηλαδή $P(i)=ki, k\in\mathbb{R} ,i\in\Omega$

Υ.Γ. Διόρθωση Κώδικα LaTeX του Γιάννη και αρίθμηση ερωτημάτων

hlkampel · #75

ΑΣΚΗΣΗ 89η

Μια ομάδα μαθητών αποτελείται από $\mu$ αγόρια και $\nu$ κορίτσια. Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους μαθητές της ομάδας.
Έστω

το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέχθηκε είναι αγόρι και

το ενδεχόμενο να είναι κορίτσι.
Για τους μαθητές της ομάδας γνωρίζουμε ακόμη ότι:
i. Η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών είναι

χρόνια.
ii. Η μέση τιμή της ηλικίας των $\mu$ αγοριών είναι 16 + 2x

χρόνια, ενώ η μέση τιμή της ηλικίας των $\nu$ κοριτσιών είναι $16 - \ln \left( {ex} \right)$ χρόνια.
iii. Το

είναι πραγματικός αριθμός με 0 < x < e

, για τον οποίο η πιθανότητα του ενδεχομένου

είναι η μέγιστη.
α. Δείξτε ότι ο λόγος των αγοριών προς τα κορίτσια, είναι $\frac{\mu }{\nu} = \frac{{\ln (ex)}}{{2x}}$ .
β. Δείξτε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α εκφράζεται από την συνάρτηση $f(x) = \frac{{\ln (ex)}}{{2x +\ln (ex)}}$
γ. Υπολογίστε τον αριθμό

.
δ. Δείξτε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου

είναι διπλάσια της πιθανότητας του ενδεχομένου

.

perpant · #76

ΑΣΚΗΣΗ 88
β) Να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση $y^2-8y+\lambda=0 ,\lambda\in\Omega$ να έχει ρητές (πραγματικές) ρίζες στην περίπτωση που ο δειγματικός χώρος $\Omega$

Αποσύρω την απάντηση γιατί δεν πρόσεξα ότι θέλει ρητές ρίζες και όχι όλες τις πραγματικές.
Ευχαριστώ τον parmenides51

perpant · #77

ΑΣΚΗΣΗ 88

β) Η εξίσωση $\displaystyle{y^2 - 8y + \lambda = 0}$ έχει πραγματικές ρίζες όταν $\displaystyle{\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \lambda \le 16}$ . Οι ρίζες είναι ρητές όταν η διακρίνουσα είναι τετράγωνο ακεραίου. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν $\displaystyle{\lambda \in \left\{ {12,15,16} \right\}}$

Τα απλά ενδεχόμενα έχουν πιθανότητες $\displaystyle{P\left( i \right) = ki,i \in \Omega }$ .
Τότε $\displaystyle{\sum\limits_{i = 10}^{20} {P\left( i \right)} = 1 \Leftrightarrow P\left( {10} \right) + P\left( {11} \right) + .. + P\left( {20} \right) = 1 \Leftrightarrow 10k + 11k + ... + 20k = 1 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{165}}}$

Οπότε αν $\displaystyle{A = \left\{ {12,15,16} \right\}}$ το ενδεχόμενο η εξίσωση $\displaystyle{y^2 - 8y + \lambda = 0}$ να έχει ρητές ρίζες, τότε $\displaystyle{ P\left( A \right) = P\left( {12} \right) + P\left( {15} \right) + P\left( {16} \right) = 12k + 15k + 16k = 43k = \frac{{43}}{{165}}}$

Υ.Γ. Ελπίζω τώρα να είναι εντάξει

perpant · #78

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 89η

Μια ομάδα μαθητών αποτελείται από $\mu$ αγόρια και $\nu$ κορίτσια. Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους μαθητές της ομάδας.
Έστω το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέχθηκε είναι αγόρι και το ενδεχόμενο να είναι κορίτσι.
Για τους μαθητές της ομάδας γνωρίζουμε ακόμη ότι:
i. Η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών είναι χρόνια.
ii. Η μέση τιμή της ηλικίας των $\mu$ αγοριών είναι χρόνια, ενώ η μέση τιμή της ηλικίας των $\nu$ κοριτσιών είναι $16 - \ln \left( {ex} \right)$ χρόνια.
iii. Το είναι πραγματικός αριθμός με , για τον οποίο η πιθανότητα του ενδεχομένου είναι η μέγιστη.
α. Δείξτε ότι ο λόγος των αγοριών προς τα κορίτσια, είναι $\frac{\mu }{\nu } = \frac{{\ln (ex)}}{{2x}}$ .
β. Δείξτε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α εκφράζεται από την συνάρτηση $f(x) = \frac{{\ln (ex)}}{{2x + \ln (ex)}}$
γ. Υπολογίστε τον αριθμό .
δ. Δείξτε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου είναι διπλάσια της πιθανότητας του ενδεχομένου .

α) Έστω $\displaystyle{\overline x }$ η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών, $\displaystyle{\overline a }$ και $\displaystyle{\overline k }$ οι μέσες τιμές των ηλικιών των αγοριών και των κοριτσιών αντίστοιχα. Τότε $\displaystyle{ \overline a = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^\mu {X_i } }}{\mu } \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^\mu {X_i } = \left( {16 + 2x} \right)\mu \,\,}$ και $\displaystyle{\overline k = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^\nu {X_i } }}{\nu } \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^\nu {X_i } = \left( {16 - \ln \left( {ex} \right)} \right)\nu \,\,}$ .
Οπότε $\displaystyle{\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^\mu {X_i } + \sum\limits_{i = 1}^\nu {X_i } }}{{\mu + \nu }} = \frac{{\left( {16 + 2x} \right)\mu + \left( {16 - \ln \left( {ex} \right)} \right)\nu }}{{\mu + \nu }}}$ \displaystyle{\displaystyle{ \Leftrightarrow 16 = \frac{{\left( {16 + 2x} \right)\mu + \left( {16 - \ln \left( {ex} \right)} \right)\nu }}{{\mu + \nu }} \Leftrightarrow 16\left( {\mu + \nu } \right) = \left( {16 + 2x} \right)\mu + \left( {16 - \ln \left( {ex} \right)} \right)\nu }} $\displaystyle{ \Leftrightarrow 16\mu + 16\nu = 16\mu + 2\mu x + 16\nu - \ln \left( {ex} \right)\nu \Leftrightarrow 2\mu x - \ln \left( {ex} \right)\nu = 0 \Leftrightarrow \frac{\mu }{\nu } = \frac{{\ln \left( {ex} \right)}}{{2x}}}$

β) Έχουμε $\displaystyle{P\left( A \right) = \frac{\mu }{{\mu + \nu }} = \frac{{\frac{\mu }{\nu }}}{{\frac{\mu }{\nu } + 1}} = \frac{{\frac{{\ln \left( {ex} \right)}}{{2x}}}}{{\frac{{\ln \left( {ex} \right)}}{{2x}} + 1}} = \frac{{\ln \left( {ex} \right)}}{{\ln \left( {ex} \right) + 2x}}}$ .
Άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου Α εκφράζεται από τη συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {ex} \right)}}{{2x + \ln \left( {ex} \right)}}}$ με $\displaystyle{0 < x < e}$

γ) Η $\displaystyle{f\left( x \right)}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left( {0,e} \right)}$ με $\displaystyle{f'\left( x \right) = 2\frac{{1 - \ln \left( {ex} \right)}}{{\left( {\ln \left( {ex} \right) + 2x} \right)^2 }}}$ . Η $\displaystyle{f'\left( x \right) }$ μηδενίζεται για $\displaystyle{x_o = 1}$ και είναι $\displaystyle{f'\left( x \right) > 0}$ για $\displaystyle{x \in \left( {0,1} \right)}$ και $\displaystyle{f'\left( x \right) < 0}$ για $\displaystyle{x \in \left( {1,e} \right)}$ . Η $\displaystyle{f\left( x \right)}$ λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,1]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[1,e)}$ και παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle{x = 1}$

δ) Έχουμε $\displaystyle{P\left( A \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{3}}$ . Επιπλέον $\displaystyle{P\left( A \right) + P\left( K \right) = 1}$ αφού τα δύο ενδεχόμενα είναι συμπληρωματικά. Άρα $\displaystyle{ P\left( A \right) + P\left( K \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( K \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{1}{3} = 2P\left( A \right)}$

perpant · #79

ΑΣΚΗΣΗ 90η

Α. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = x^4 + \left( {1 - x} \right)^4 ,\,0 \le x \le 1}$

i) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f'\left( x \right) = 4\left( {2x - 1} \right)\left( {x^2 - x + 1} \right)}$

ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f

Β. Αν Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{P^4 \left( A \right) + P^4 \left( {A'} \right) \ge \frac{1}{8}}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #80

ΑΣΚΗΣΗ 91

Από τους μαθητές ενός Λυκείου
• Το $\displaystyle{20\% }$ αυτών συμμετέχει στο διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε.
• Το $\displaystyle{85\% }$ δεν συμμετέχει στο διαγωνισμό της Ε.Ε.Φ
• Και το $\displaystyle{8\% }$ συμμετέχει και στους δύο διαγωνισμούς.

Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:
i. Γ: Ο μαθητής να μη συμμετέχει σε κανένα από τους δύο διαγωνισμούς.
ii. Δ: Ο μαθητής να συμμετέχει σ’ ένα μόνο διαγωνισμό.
iii. Ε: Ο μαθητής να συμμετέχει μόνο στο διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε.
iv. Ζ: Ο μαθητής να συμμετέχει το πολύ σ’ ένα διαγωνισμό.

Απο φυλλάδιο Δ. Αργυράκη & Γ.Κουτσανδρέα

Αν και υπάρχει αλύτη, την αφήνώ για να ασχοληθεί ο Τάσος.

Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μέλη σε σύνδεση