Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Aladdin · #1

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά
Αν θυμάμαι καλά, η απόδειξη της παραγώγου συνάρτησης της $\displaystyle{f(x) = {e^x}}$ στηρίζεται στην ανισότητα $\displaystyle{x + 1 \le {e^x} \le x{e^x} + 1}$ .
Έτσι είναι ; Αν ναι πως αποδεικνύoυμε την ανισότητα ;
Πέτρος

#2

Μαθηματικός έγραψε:Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά
Αν θυμάμαι καλά, η απόδειξη της παραγώγου συνάρτησης της $\displaystyle{f(x) = {e^x}}$ στηρίζεται στην ανισότητα $\displaystyle{x + 1 \le {e^x} \le x{e^x} + 1}$ .
Έτσι είναι ; Αν ναι πως αποδεικνύoυμε την ανισότητα ;
Πέτρος

Ένας τρόπος απόδειξης από την κυρτότητα της $\displaystyle{ f\left( x \right) = e^x \ldots \left( {f{'}{'}\left( x \right) = e^x > 0,\forall x \in R} \right) }$ με εφαπτόμενη της $\displaystyle{ C_f }$ στο

$\displaystyle{ M\left( {0,1} \right) \to \left( \varepsilon \right):y = x + 1 \Rightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} e^x \geqslant x + 1 \hfill \\ e^{ - x} \geqslant - x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} e^x \geqslant x + 1 \hfill \\ 1 \geqslant - e^x x + e^x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} e^x \geqslant x + 1 \hfill \\ e^x \leqslant 1 + xe^x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x + 1 \leqslant e^x \leqslant xe^x + 1} }$

Στάθης

Aladdin · #3

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παράγωγο της εκθετικής ; αφού αυτό θέλουμε να αποδείξουμε

#4

Μαθηματικός έγραψε:Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παράγωγο της εκθετικής ; αφού αυτό θέλουμε να αποδείξουμε

Έχεις απόλυτα δίκιο. Μάλλον δεν διάβασα καλά την εκφώνηση και επικεντρώθηκα στην απόδειξη της ανισοϊσότητας (ρούκ -ζούκ)

Φιλικά
Στάθης

#5

...Aν θυμάμαι καλά από τον απειροστικό οι φυσικοί λογάριθμοι εκφράζουν εμβαδά που προκύπτουν από την γραφική παράσταση της

$y=\frac{1}{x}$ με μήκη στο

σε αριθμητική πρόοδο $OA=1,\,\,OB=2,\,\,O\Gamma =4...$ και τα αντίστοιχα εμβαδά

των καμπυλόγραμμων τραπεζίων $ABK \Kappa,\,\,B\Gamma MN,\,\,$ που προκύπτουν είναι αριθμητική πρόοδος.

Βάσει αυτού προκύπτει η λογαριθμική ανισότητα $\frac{\theta -1}{\theta }<\ln \theta <\theta -1,\,\,\theta >0$

που εφαρμόζωντας για $\theta ={{e}^{t}}$ ισχύει $\frac{{{e}^{t}}-1}{{{e}^{t}}}<t<{{e}^{t}}-1,\,$

απ οπου παίρνουμε ότι $1+t\le {{e}^{t}}\le 1+t{{e}^{t}},\,\,t\in R$ και προκύπτει $\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{t}}-1}{t}=1$

οπότε $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{{{x}_{0}}}}}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{{{x}_{0}}}}\frac{{{e}^{x-{{x}_{0}}}}-1}{x-{{x}_{0}}}={{e}^{{{x}_{0}}}}$ ...

...όταν θα έχω χρόνο θα κάνω και σχήμα για την λογαριθμική ανισότητα,γιά περισσότερο κατανόηση.Πιστεύω να βοήθησα...

...ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ ΣΕ ΌΛΗ ΤΗΝ ΠΑΡΕΑ..

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Aladdin · #6

Ευχαριστώ, κατάλαβα

#7

Με χρήση ακολουθιών :

Από την ανισότητα Bernoulli προκύπτει $\displaystyle\Bigl({1+\dfrac{x}{\nu}}\Bigr)^{\nu}\geqslant1+\nu\,\frac{x}{\nu}$ .

$e^{x}=\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\to{+\infty}}{\Bigl({1+\dfrac{x}{\nu}}\Bigr)^{\nu}}\geqslant\mathop{\lim}\limits_{\nu\to{+\infty}}({1+x})=1+x\quad\Rightarrow\quad{e^{x}}\geq{1+x}$ (1).

Για x=-x

από την (1) προκύπτει ${e^x}\leqslant\dfrac{1}{1-x}$ .

Επομένως ισχύει $x\leqslant{e^x-1}\leqslant\dfrac{x}{x-1}$ για $x\in(-1,1)$ .

Για $x\in(-1,0)$ προκύπτει $1\geqslant\dfrac{e^x-1}{x}\geqslant\dfrac{1}{1-x}$ , ενώ για $x\in(0,1)$ προκύπτει $1\leqslant\dfrac{e^x-1}{x}\leqslant\dfrac{1}{1-x}$ .

Από το κριτήριο παρεμβολής για τα πλευρικά όρια προκύπτει $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\to0}{\frac{e^x-1}{x}}=1\,.\quad\square$

#8

Γεια σας και Χρόνια Πολλά
Το όλο θέμα σχετίζεται με το πως θα εισαγάγει κάποιος την εκθετική συνάρτηση.
Στα σχολικά Μαθηματικά το θέμα θεωρητικά δεν είναι βέβαια τακτοποιημένο:
Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται, περίπου, ως $a^{x}=\lim a^{x_{n}}$ όπου $(x_{n})$ είναι μία οποιαδήποτε ακολουθία ρητών που συγκλίνει στον

. Η εκθετική συνάρτηση e^x

που είναι μια πολύ ειδική εκθετική συνάρτηση "ξεχωρίζεται" από το σχολικό βιβλίο της Β' Τάξης ορίζοντας τον

ως $e=\lim \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}$ . Με αυτά μόνο τα δεδομένα μέσα στο σχολικό πλαίσιο μου φαίνεται πολύ δύσκολο (δεδομένου ότι δεν διδάσκονται ακολουθίες) να αποδειχθεί ότι
$\boxed{e^{x}\geq x+1}\,\,\,(1)$
Μάλιστα η ανισότητα αυτή χαρακτηρίζει το

αφού ο μόνος αριθμός

για τον οποίο ισχύει $a^x\geq x+1$ είναι ο

. Αν βέβαια η (1)

θεωρηθεί ως δεδομένη τότε θέτοντας όπου

to

έχουμε τις ανισότητες που θέλουμε για να αποδείξουμε ότι $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=\allowbreak 1$ από την οποία μπορούμε να αποδείξουμε τον τύπο $\left( e^{x}\right) ^{\prime }=e^{x}$ . Αυτό είναι κάτι που μπορεί να γίενι και στην τάξη και είναι πολύ διδακτικό.
Ένας από τους τρόπους εισαγωγής της εκθετικής συνάρτησης (γίνεται σε πολλά πανεπιστημιακά βιβλία) είναι μέσω της λογαρισθμικής αφού διαδαχθεί πρώτα το ολοκλήρωμα: $\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ . Είναι ο τρόπος στον οποίο αναφέρεται ο Βασίλης.
Μαυρογιάννης
Εdit 24 Δεκ 2011 20:55 Προηγήθηκε ο Γρηγόρης στο μήνυμα του οποίου φαίνεται πως μπορεί να χρησιμοποιηθούν οι ακολουθίες.

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Re: Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Re: Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Re: Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Re: Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Re: Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Re: Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Re: Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση