Τραπέζιο περιγεγραμμένο σε κύκλο

hsiodos · #1

Άσκηση

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ) περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ .
Αν Μ το μέσον της ΑΔ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΜ είναι ίσο με το $\frac{1}{8}$ του εμβαδού του τραπεζίου να αποδείξετε ότι

$A\Gamma ^2+\Gamma \Delta ^2=\delta (\delta +2\Gamma \Delta )$ , όπου δ το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.

Γιώργος

: per-trapezio.png (11.96 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

Ιστοσελίδα · #2

Η διάμεσος

διέρχεται από το

. Επίσης $AB+\Gamma \Delta=A\Delta+B\Gamma$ .
$(AOM)=\frac{1}{8}(AB\Gamma \Delta) \Rightarrow \dfrac{1}{2}OM\cdot \rho=\dfrac{1}{8}\dfrac{AB+\Gamma \Delta}{2}2\rho \Rightarrow \dfrac{AT+\Delta P}{4}=\dfrac{AB+\Gamma \Delta}{8} \Rightarrow 2A\Delta=A\Delta+B\Gamma \Rightarrow A\Delta=B\Gamma$ .
Από το θεώρημα Euler
$AB^2+B\Gamma^2+\Gamma \Delta ^2+A\Delta ^2=A\Gamma ^2+B\Delta ^2+4\left(\dfrac{\Gamma \Delta-AB}{2}\right)^2 \Rightarrow A\Delta ^2=A\Gamma ^2 -\Gamma \Delta \cdot AB \Rightarrow A\Gamma ^2+\Gamma \Delta ^2=A\Delta ^2+\Gamma \Delta ^2+\Gamma \Delta \cdot AB=\left(\dfrac{AB+\Gamma \Delta}{2}\right)^2 +\Gamma \Delta(\Gamma \Delta +AB)=\delta ^2+\Gamma \Delta\cdot 2\delta=\delta(\delta+2\Gamma\Delta)$ .

p_gianno · #3

Μία ακόμη αντιμετώπιση αυτής της άσκησης

Hsiodos.pdf: (72.41 KiB) Μεταφορτώθηκε 81 φορές

Π.Γ

hsiodos · #4

Καλησπέρα
Πολύ ωραίες οι λύσεις του Στρατή και του Παναγιώτη
Την ιδέα για την κατασκευή της άσκησης την πήρα από το παρακάτω θέμα από το πολύ καλό βιβλίο (Γεωμετρία Α΄ Λυκείου) του αγαπητού Αντώνη Κυριακόπουλου.
''Να δείξετε ότι η διάμεσος τραπεζίου, περιγεγραμμένου σε κύκλο, είναι ίση με το τέταρτο της περιμέτρου του τραπεζίου."(Άσκηση 698)

Γράφω την λύση όπως την είχα σκεφθεί.

Προφανώς για το ύψος υ του τραπεζίου ισχύει υ = 2ρ.Επίσης (ΑΒ+ΓΔ)/2 = δ και έτσι (ΑΒΓΔ) = δ.2ρ

$(AOM) = \frac{1}{2}AM\cdot OE=\frac{1}{4}A\Delta \cdot\rho$ , άρα $\frac{1}{4}A\Delta \cdot\rho =\frac{1}{8}\delta \cdot2\rho \Rightarrow A\Delta =\delta$

Το ΑΒΓΔ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο άρα $AB+\Gamma \Delta =A\Delta +B\Gamma \Rightarrow 2\delta =\delta +B\Gamma \Rightarrow B\Gamma =\delta$
Συνεπώς το τραπέζιο είναι ισοσκελές και άρα εγγράψιμο σε κύκλο.Από το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε:

$A\Gamma \cdot B\Delta = A\Delta \cdot B\Gamma +AB\cdot \Gamma \Delta \Rightarrow A\Gamma ^2=\delta ^2+\Gamma \Delta (2\delta -\Gamma \Delta)$ $\Rightarrow A\Gamma ^2+\Gamma \Delta ^2 =\delta (\delta +2 \Gamma \Delta )$

Γιώργος

: per.trap.png (13.1 KiB) Προβλήθηκε 1092 φορές

Τραπέζιο περιγεγραμμένο σε κύκλο

Τραπέζιο περιγεγραμμένο σε κύκλο

Re: Τραπέζιο περιγεγραμμένο σε κύκλο

Re: Τραπέζιο περιγεγραμμένο σε κύκλο

Re: Τραπέζιο περιγεγραμμένο σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση