Εύρεση συνάρτησης

mathxl · #1

Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης f:(0,+oo)->(0,+oo)
ώστε να ισχύει xf΄(x) = f(x) ln[x f(x)] για κάθε χ θετικό

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Καλησπέρα
Βρίσκω την f(x) = 1/(ex) αλλά με αρκετές τσαχπινιές ...
θα περιμένω να δω και άλλες λύσεις

papel · #3

Δουλειες δεν εχεις σε φυτιλια μας βαζεις μεσα στην ζεστη.

Λοιπον εγω βρηκα την e^(x-1)/x .Αλλα διευρευνητικα θεωρησα την e^(bx+c)/x
και μετα πηρα b=1 και το c=-1.Eλπιζω να μην εκανα λαθος στις πραξεις.
Το προβλημα ειναι να διωξεις το γινομενο μεσα στο λογαριθμο.Επειτα it's OK.
Tough cookie though (

#4

θετω

αρα $xg^{\prime }(x)=1+\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}$
καταλήγουμε στην $xg^{\prime }(x)=1+g(x)$
θετω 1+g(x)=h(x)

καταλήγουμε στην $xh^{\prime}(x)=h(x)$ ... σχολική

papel · #5

Ροδολφε φανταζομαι οτι πολλα για σενα φανταζουν σχολικα αλλα τα 'σχολικα' αποτελεσαν βαλτοπεδιο
για πολλους αρκετες φορες.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #6

Καλησπέρα . Μου εμφανίζει κάποια μηνύματα dangerous στο latex οπότε ανεβάζω μία λύση σε συνημμένο .

mathxl · #7

Η δική μου αντιμετώπιση είναι παρόμοια του Ροδόλφου με βοηθητική συνάρτηση την g(x)=xf(x)(θέτω αυτό που με ενοχλεί)
Την άσκησh σκόπευα να την δώσω λίγο πριν τις εξετάσεις με επιπλέον ντύσιμο ασύμπτωτων κτλ

Με αρχική συνθήκη f(1)=1/e και αντικατάσταση στην δοσμένη g(x)=xf(x), $\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) = \frac{{xg^{\prime}\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{{x^2}}}}$ έχουμε τον μετασχηματισμό της στην
$\displaystyle{\begin{array}{l} g^{\prime}\left( x \right) - \frac{{g\left( x \right)}}{x} = \frac{{g\left( x \right)}}{x}\ln g\left( x \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x\frac{{g^{\prime}\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} - \ln g\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Leftrightarrow x{\left[ {\ln g\left( x \right)} \right]^\prime } - {\left( x \right)^\prime }\ln g\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{{x{{\left[ {\ln g\left( x \right)} \right]}^\prime } - {{\left( x \right)}^\prime }\ln g\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{\ln g\left( x \right)}}{x}} \right]^\prime } = {\left( { - \frac{1}{x}} \right)^\prime } \Leftrightarrow \frac{{\ln g\left( x \right)}}{x} = - \frac{1}{x} + c \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow xf\left( x \right) = {e^{cx - 1}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{e^{cx - 1}}}}{x} \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} x = 1:\frac{1}{e} = \frac{{{e^{c - 1}}}}{1} \Leftrightarrow c = 0 \\ f\left( x \right) = \frac{1}{{ex}} \\ \end{array}}$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #8

Sorry ...
H μορφή docx δεν ανοίγει σε όλους , οπότε ανεβάζω και σε pdf

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση