Συνεχής συνάρτηση

#1

Έστω συνάρτηση $f;(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ ώστε για κάθε x,y>0

να αληθεύει η

$min\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot max\{f(x),f(y)\} \le max\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot min\{f(x),f(y)\}$

Να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής.

air · #2

Καλή χρονιά! (εγκαινιάζω αυτή τη υποσυζήτηση για το 2012

)

Ισχύει ότι $max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2},min(a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$ .

Λαμβάνοντας υπόψην το πεδίο ορισμού της συναρτησιακής σχέσης και το σύνολο τιμών της

προκύπτει τότε από την αρχική ότι:

$|f(x)-f(y)|\leq (\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}-|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}-1)\frac{f(x)+f(y)-|f(x)-f(y)|}{2}$

Παρατηρώ ακόμα ότι $f(x)+f(y)-|f(x)-f(y)| \leq 2f(x)$ και άρα $|f(x)-f(y)|\leq (\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}-|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}-1)f(x)$ .

Για $y \to x$ προκύπτει το ζητούμενο.

#3

s.kap έγραψε:Έστω συνάρτηση $f;(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ ώστε για κάθε να αληθεύει η

$min\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot max\{f(x),f(y)\} \le max\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot min\{f(x),f(y)\}$

Να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής.

Αλλιώς: Για σταθερό

έχουμε από την υπόθεση ότι

$\displaystyle{f(x) \le \max (f(c),f(x)) \le \frac {\max\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \min\{f(c),f(x)\} \le$

$\displaystyle{ \le \frac {\max\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c)$

και όμοια $\displaystyle {f(x) \ge \frac {\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c)$ .

Με άλλα λόγια $\displaystyle{ \frac {\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c) \le f(x) \le \frac {\max\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c) }$

Παίρνουμε τώρα όριο

τείνοντος στο

. Από ισοσυγκλίνουσες, δεδομένου ότι $\displaystyle{\lim _{x\to c} \frac {\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} =\lim _{x\to c} \frac {\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} =1 }$ (ένας τρόπος να το δούμε είναι με πλευρικά όρια αλλά γίνεται και αλλιώς) έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Και άλλη μια:

Η σχέση γράφεται ισοδύναμα:

$ln\left(min\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\right)+ln\left(max\{f(x),f(y)\}\right) \le ln\left(max\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\right)+ln\left(min\{f(x),f(y)\}\right)$

$\Leftrightarrow min\left(ln(\sqrt{x}),ln(\sqrt{y})\right)+max\left(lnf(x),lnf(y)\right) \le$
$max\left(ln(\sqrt{x}),ln(\sqrt{y})\right)+min\left(lnf(x),lnf(y)\right)$

(γιατί $ln\left(max\{x,y\}\right)=max\{lnx,lny\}$ και $ln\left(min\{x,y\}\right)=min\{lnx,lny\}$ )

$\Leftrightarrow max\{lnf(x),lnf(y)\}-min\{lnf(x),lnf(y)\} \le max\{\frac {lnx}{2},\frac {lny}{2}\}-min\{\frac {lnx}{2},\frac {lny}{2}\}$

$\Leftrightarrow \left|lnf(x)-lnf(y)\right| \le \frac {1}{2} \left|lnx-lny\right|$ (1)

Η (1) για x=e^x

και

δίνει

$\left|lnf(e^x)-lnf(e^y)\right| \le \frac {1}{2} \left|x-y\right|,\ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Συνεπώς η g(x)=lnf(e^x)

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ (Lipschitz), άρα και η

$h(x)=f(e^x)=e^{g(x)}$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , άρα και η

f(x)=h(lnx)

είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$

Συνεχής συνάρτηση

Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Re: Συνεχής συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση