Όριο 10

ghan · #1

Να υπολογισθεί το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{\ln x}}}$ .

#2

Μιά λύση με L' Hopital:

$\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }{({1+x})^{\frac{1}{\ln x}}}=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }{{e\,}^{{\frac{1}{\ln x}}\,\ln({1+x})}}={e\,}^{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }{\frac{\ln({1+x})}{\ln x}}}={e\,}^{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }{\frac{({\ln({1+x})})^{\prime}}{({\ln x})^{\prime}}}}=$

${e\,}^{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }{\frac{x}{x+1}}}={e\,}^{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }{\frac{({x})^{\prime}}{({x+1})^{\prime}}}}={e\,}^{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }{\frac{1}{1}}}=e^1=e\,.\quad\square$

#3

ghan έγραψε:Να υπολογισθεί το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{\ln x}}}$ .

$I=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{\ln x}}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}e^{\frac{ln(1+x)}{ln x}}}$

αλλά $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{ln(1+x)}{ln x}\stackrel{DLH}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{1+x}=1}$

αν $\displaystyle{\frac{ln(1+x)}{ln x}=u,\lim_{x\to +\infty} u=1,~~ I=\lim_{u\to 1}e^u=e}$

Sifis · #4

$\lim_{x\rightarrow \infty}\((1+x)^\frac{1}{lnx}=\lim_{x\rightarrow \infty}e^{ln(1+x)^\frac{1}{lnx}}=\lim_{x\rightarrow \infty}e^\frac{ln(1+x)}{lnx}=l$
θέτω $u=\frac{ln(1+x)}{lnx}$
οπότε $u_0=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ln(1+x)}{lnx}=lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{1+x}}{\frac{1}{x}}=lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{1+x}=lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{x}=1$
Άρα $l=\lim_{u\rightarrow 1}e^u=e$

Όριο 10

Όριο 10

Re: Όριο 10

Re: Όριο 10

Re: Όριο 10

Μέλη σε σύνδεση