Κυρτή συνάρτηση από ανισότητα

#1

Έστω $2hf(x)\leq \int_{-h}^{h}{f(x+t)dt}, h>0$ για κάθε διάστημα $[x-h,x+h]\subset (a,b)$ όπου

συνεχής στο (a,b)

. Να δείξετε ότι η

είναι κυρτή και αντιστρόφως.

#2

Λύση στο συνημμένο

dement · #3

Καλημερα. Εδω δινω τη δικη μου λυση.

Για το αντιστροφο:

Η ανισοτητα μπορει να γραφει ως $\displaystyle \int_0^h f(x) dt \leq \int_0^h \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2} dt$ . Λογω κυρτοτητας, η συναρτηση στο δεξιο μελος κατω απο το ολοκληρωμα ειναι παντα τουλαχιστον ιση με τη συναρτηση στο αριστερο μελος οποτε η ανισοτητα των ολοκληρωματων επεται.

Για το ευθυ:

Εστω οτι η

δεν ειναι κυρτη. Τοτε θα υπαρχουν σημεια $a < \xi < b$ με $\displaystyle f(\xi) > f(a) + (\xi - a) \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ . Οριζουμε τη συναρτηση $\displaystyle g(x) = f(x) - f(a) - (x - a) \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , για την οποια ισχυει $g(a) = g(b) = 0, \ g(\xi) > 0$ . Εστω $c \in (a,b)$ το σημειο οπου η (συνεχης)

εχει μεγιστο. Οριζοντας $\displaystyle p(x) = f(c) + (x - c) \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ παρατηρουμε οτι $p(x) \geq f(x)$ (λογω μεγιστου), με τουλαχιστον ενα σημειο οπου η ανισοτητα ειναι γνησια. Ετσι, μπορουμε να παρουμε καταλληλο

ετσι ωστε

$f(c) = p(c) = \displaystyle \frac{1}{2h} \int_{-h}^h p(c+t) dt > \frac{1}{2h} \int_{-h}^h f(c+t) dt$ οποτε η ανισοτητα μας δεν ισχυει.

Δημητρης Σκουτερης

Κυρτή συνάρτηση από ανισότητα

Κυρτή συνάρτηση από ανισότητα

Re: Κυρτή συνάρτηση από ανισότητα

Re: Κυρτή συνάρτηση από ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση