Δύο εξισώσεις

Ιστοσελίδα · #1

Δύο εξισώσεις που προτείνονται από ένα φίλο -μηχανικο
Άσκηση 1
Να λυθεί η εξίσωση
$\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} - 1}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #2

Άσκηση 2
Να λυθεί η εξίσωση
$\sqrt {x - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} = x$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

perpant · #3

Καλησπέρα
ΑΣΚΗΣΗ 1

Αρχικά η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{x^2 - 1}}}$ ορίζεται για $\displaystyle{x \ge 1}$ . Τότε η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{x - 1}}\sqrt[6]{{x + 1}}}$ .

Θέτω $\displaystyle{\sqrt[6]{{x + 1}} = a \ge 0}$ και $\displaystyle{\sqrt[6]{{x - 1}} = b \ge 0}$ και η εξίσωση παίρνει τη μορφή $\displaystyle{a^2 - b^2 = ab \Leftrightarrow a^2 - ba - b^2 = 0}$ .

Θεωρούμενη ως τριώνυμο του $\displaystyle{a}$ παίρνουμε $\displaystyle{a = b\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} < 0}$ η οποία απορρίπτεται και $\displaystyle{a = b\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ . Τότε $\displaystyle{ a = b\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow a = b \cdot \phi \Leftrightarrow \sqrt[6]{{x + 1}} = \sqrt[6]{{x - 1}} \cdot \phi }$

Οπότε $\displaystyle{x + 1 = \left( {x - 1} \right)\phi ^6 \Leftrightarrow x = \frac{{\phi ^6 + 1}}{{\phi ^6 - 1}}}$

mathfinder · #4

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Άσκηση 2
Να λυθεί η εξίσωση
$\sqrt {x - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} = x$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Λύση: $x = \varphi$ όπου $\varphi = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$

Πρέπει $x\geq 1$ . Η τιμή x= 1

δεν είναι λύση της εξίσωσης .
Για x> 1

είναι $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\neq 0$ , οπότε πολλαπλασιάζοντας την αρχική εξίσωση παίρνουμε :
$x-\frac{1}{x}-1+\frac{1}{x}=x\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right)\Leftrightarrow \sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x} (2)$
Με πρόσθεση κατά μέλη της αρχικής και της (2)

έχουμε : $2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=1-\frac{1}{x}+x\Leftrightarrow \left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1 \right)^{2}=0\Leftrightarrow \sqrt{x-\frac{1}{x}}=1$ , απ΄όπου καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση που δίνει δεκτή λύση την $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$ , η οποία επαληθεύει και την αρχική .

Αθ. Μπεληγιάννης

Ιστοσελίδα · #5

Καλησπέρα

Περικλή και Θανάση Ευχαριστώ για την ενασχόληση αλλά και για τις κομψές λύσεις

Μ.

Δύο εξισώσεις

Δύο εξισώσεις

Re: Δύο εξισώσεις

Re: Δύο εξισώσεις

Re: Δύο εξισώσεις

Re: Δύο εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση