Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Pla.pa.s · #1

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x\eta\mu x$ με $x\in \mathbb R$ .

1) Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)}$ .

2) Να βρεθεί το $\displaystyle{F(\mathbb R)}$ όπου $\displaystyle{F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Επαναφορά

#3

Καλησπέρα.
Απλά εκφράζω τους ενδοιασμούς μου για το πόσο ''σχολικά''
μπορεί να αντιμετωπιστεί η συγκεκριμένη άσκηση.
Καλό βράδυ.
Y.ΓΑν δε βρεθεί πάντως λύση με σχολικά μέσα, καλό θα ήταν να μεταφερθεί.

parmenides51 · #4

Το πρώτο ερώτημα με μη λυκειακά μαθηματικά εδώ

#5

Pla.pa.s έγραψε:Έστω η συνάρτηση $f(x)=x\eta\mu x$ με $x\in \mathbb R$ .

1) Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)}$ .

....

Μια προσπάθεια για το 1) που ελπίζω να μπορεί να θεωρηθεί "σχολική":

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty}$ , τότε θα έπρεπε η

να ήταν γνησίως θετική σε ένα διάστημα της μορφής $(a,+\infty)$ ,
που είναι άτοπο αφού $f(n\pi)=0$ για κάθε ακέραιο

.

Ομοίως, δεν μπορεί να είναι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty}$ .

Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}}$ .

Τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \sin x=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x+2\pi)-f(x)}{2\pi}=\dfrac{L-L}{2\pi}=0}$ .

Επιπλέον,

$\displaystyle{f(x+\frac{\pi}{2})=x\cos x +\frac{\pi}{2}\cos x}$ ,

οπότε

$\displaystyle{f(x+2\pi+\frac{\pi}{2})=f(x+\frac{\pi}{2})+2\pi\cos x}$ ,

κι άρα

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \cos x=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x+2\pi+\frac{\pi}{2})-f(x+\frac{\pi}{2})}{2\pi}=\dfrac{L-L}{2\pi}=0}$

Συνεπώς,

$\displaystyle{1=\lim_{x\to +\infty} \sin^2 x+\cos^2 x=0^2+0^2=0}$ ,

άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

parmenides51 · #6

Pla.pa.s έγραψε:Έστω η συνάρτηση $f(x)=x\eta\mu x$ με $x\in \mathbb R$ .

1) Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)}$ .

Νομίζω πως μπορεί να αποδειχθεί λυκειακά και χρησιμοποιώντας ανάλογο συλλογισμό με του Σωτήρη εδώ

Αντιγράφω τον παραπάνω συλλογισμό και τον προσαρμόζω στην παρούσα άσκηση

$\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1} {{x }} = 0} \right) \wedge (\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sin x = \ell \in \mathbb{R}) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = 0\,(*),$ άτοπο.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x \sin x = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\pi + x} \right)\sin (\pi + x) = + \infty \Rightarrow - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\pi + x}}{x}} \right) x \sin x = + \infty \Rightarrow-\infty=+\infty,$
άτοπο. Όμοια αν
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = - \infty .$

(*) Θεώρησα την μη ύπαρξη του $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x$ δεδομένη, αφού και αυτής η απόδειξη γίνεται, ως γνωστό, και χωρίς ακολουθίες.

edit: Από τα κόκκινα γράμματα και κάτω

gtk1994 · #7

Στην αντιμετώπιση του κ.Αχχιλέα....Όταν καταλήγετε ότι το όριο του ημχ στο $+\infty$ είναι 0, δεν μπορούμε να πούμε κατευθείαν άτοπο ?

Γιώργος

#8

gtk1994 έγραψε:Στην αντιμετώπιση του κ.Αχχιλέα....Όταν καταλήγετε ότι το όριο του ημχ στο $+\infty$ είναι 0, δεν μπορούμε να πούμε κατευθείαν άτοπο ?

Γιώργος

Θα μπορούσαμε, αν, λ.χ.,θεωρήσουμε ως δεδομένο ότι το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\sin x}$ δεν υπάρχει
(όπως στην απάντηση πριν από το μήνυμά σου)

Η άσκηση, όμως, μας δίνει τα εργαλεία να καταλήξουμε σε άτοπο χωρίς να το θεωρήσουμε δεδομένο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

gtk1994 · #9

Σας ευχαριστώ.. Πάντως φαντάζομαι ότι αν κάτι τέτοιο έμπαινε σε εξετάσεις θα μπορούσαμε να το πάρουμε σα δεδομένο, εφόσον το λέει το σχολικό.Σωστά ?

Γιώργος

#10

gtk1994 έγραψε:Σας ευχαριστώ.. Πάντως φαντάζομαι ότι αν κάτι τέτοιο έμπαινε σε εξετάσεις θα μπορούσαμε να το πάρουμε σα δεδομένο, εφόσον το λέει το σχολικό.Σωστά ?

Γιώργος

Δυστυχώς, δε γνωρίζω αν το λέει ή πως το λέει το σχολικό βιβλίο.

Καταλληλότερος να απαντήσει σε αυτήν την ερώτηση, λοιπόν,
είναι κάποιος που είναι πιο κοντά στις εξετάσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Re: Και μία που... ανεβοκατεβαίνει!

Μέλη σε σύνδεση