ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

perpant · #1

Να συνεχίσουμε την προσπάθεια των συλλογών με Διαφορικό Λογισμό.

perpant · #2

Μία απλή για αρχή
ΑΣΚΗΣΗ 71η
Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι ορισμένη στο R, συνεχής στο σημείο $\displaystyle{x_0 }$ και ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x_0 - 2h} \right)}}{h} = m \in R}$ . Να αποδείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{f'(x_0 ) = - \frac{m}{2}}$ .

STOPJOHN · #3

Λύση άσκηση 71
Θεωρούμε τη συνάρτηση
$g(h)=\frac{f(x_{0}-2h)}{h}\Leftrightarrow f(x_{0}-2h)=h.g(h) , \lim_{h\rightarrow 0}f(x_{0}-2h)=0$ Θέτουμε $x_{0}-2h=w, w\rightarrow x_{0}, \lim_{w\rightarrow x_{0}}f(w)=0=f(x_{0})$ Συνεπώς $\lim_{h_{1}\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h_{1})-f(x_{0})}{h_{1}}=\lim_{h_{1}\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h_{1})}{h_{1}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-2h )}{-2h}=\frac{-m}{2}$ Έγινε αλλαγή ματαβλητής $h_{1} -2h$

Γιάννης

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #4

ΑΣΚΗΣΗ 72

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ : $\displaystyle{R \to R}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις

$\bullet \displaystyle{f(2) = 2}$

$\bullet \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{\eta \mu 3x}} = 3}$

$\bullet \displaystyle{f''(x) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in (0,2)}$

α. Να δείξετε οτι $\displaystyle{f(0) = 0}$

β. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{f'(0) = 9}$

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{A(0,f(0))}$

δ. Να αποδείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{f'(x) = 0}$ δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(0,2)}$

ε. Να αποδείξετε οτι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (0,2)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = 2 - \xi }$

στ. Να αποδείξετε οτι υπάρχουν $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in (0,2)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(x_1 ) \cdot f'(x_2 ) = 1}$

Ι.Γαρατζιώτης & Π. Μάστακας (εκδόσεις Κέδρος)

perpant · #5

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ : $\displaystyle{R \to R}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις

$\bullet \displaystyle{f(2) = 2}$

$\bullet \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{\eta \mu 3x}} = 3}$

$\bullet \displaystyle{f''(x) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in (0,2)}$

α. Να δείξετε οτι $\displaystyle{f(0) = 0}$

β. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{f'(0) = 9}$

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{A(0,f(0))}$

δ. Να αποδείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{f'(x) = 0}$ δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(0,2)}$

ε. Να αποδείξετε οτι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (0,2)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = 2 - \xi }$

στ. Να αποδείξετε οτι υπάρχουν $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in (0,2)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(x_1 ) \cdot f'(x_2 ) = 1}$

Ι.Γαρατζιώτης & Π. Μάστακας (εκδόσεις Κέδρος)

α) Στη σχέση $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu 3x}} = 3}$ θέτω $\displaystyle{\frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu 3x}} = g\left( x \right)}$ με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 3}$ . Τότε $\displaystyle{f\left( x \right) = \eta \mu \left( {3x} \right)g\left( x \right)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\eta \mu \left( {3x} \right)g\left( x \right)} \right) = 0 \cdot 3 = 0}$ .

Αφού η $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{x_o = 0}$ (ως παραγωγίσιμη) έχουμε $\displaystyle{f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0}$

β)Έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu 3x}} = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}}}{{3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}}} = 3}$ (Σχέση 1)

Επιπλέον $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}} \right) = 3\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\eta \mu u}}{u} = 3}$ ( όπου $\displaystyle{u = 3x}$ ).

Τότε στη σχέση 1 θέτω $\displaystyle{\frac{{\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}}}{{3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}}} = h\left( x \right)}$ με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h\left( x \right) = 3}$ και $\displaystyle{\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = 3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}h\left( x \right)}$ .

Άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}h\left( x \right)} \right) = 3 \cdot 3 = 9 \in \Re }$ .

Οπότε $\displaystyle{f'\left( 0 \right) = 9}$

γ) Η εφαπτομένη της $\displaystyle{C_f }$ στο $\displaystyle{A\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)}$ έχει εξίσωση $\displaystyle{y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 9x}$

δ) Έστω ότι η εξίσωση $\displaystyle{f'\left( x \right) = 0}$ έχει δύο διαφορετικές ρίζες $\displaystyle{\rho _1 ,\rho _2 }$ στο διάστημα $\displaystyle{\left( {0,2} \right)}$ . Τότε $\displaystyle{f'\left( {\rho _1 } \right) = f'\left( {\rho _2 } \right) = 0}$ και επιπλέον η $\displaystyle{f'}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {\rho _1 ,\rho _2 } \right] \subset \left( {0,2} \right)}$ ως

παραγωγίσιμη (αφού η $\displaystyle{f}$ δύο φορές παραγωγίσιμη) και παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα. Από θεώρημα $\displaystyle{Rolle}$ λοιπόν, θα υπάρχει $\displaystyle{h \in \left( {\rho _1 ,\rho _2 } \right)}$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f''\left( h \right) = 0}$ . Άτοπο, αφού $\displaystyle{f''\left( x \right) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,2} \right)}$ . Συνεπώς η εξίσωση $\displaystyle{f'\left( x \right) = 0}$ δεν μπορεί να έχει δύο ρίζες στο $\displaystyle{\left( {0,2} \right)}$ .

ε) Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right) - 2 + x,x \in \left[ {0,2} \right]}$ . Η $\displaystyle{h\left( x \right)}$ συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {0,2} \right] }$ αφού η $\displaystyle{f}$ συνεχής και επιπλέον

$\displaystyle{h\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 2 = - 2 < 0}$ και

$\displaystyle{h\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - 2 + 2 = 2 > 0}$ .

Από θεώρημα $\displaystyle{Bolzano}$ , υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( {0,2} \right)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{h\left( \xi \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( \xi \right) - 2 + \xi = 0 \Leftrightarrow f\left( \xi \right) = 2 - \xi }$

στ) Η $\displaystyle{f}$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα $\displaystyle{\left[ {0,\xi } \right]}$ και $\displaystyle{\left[ {\xi ,2} \right]}$ , όπου $\displaystyle{ \xi }$ , το $\displaystyle{\xi }$ του ερωτήματος (ε) και συνεπώς υπάρχουν

$\displaystyle{x_1 \in \left( {0,\xi } \right)}$ και $\displaystyle{x_2 \in \left( {\xi ,2} \right)}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f'\left( {x_1 } \right) = \frac{{f\left( \xi \right) - f\left( 0 \right)}}{{\xi - 0}} = \frac{{2 - \xi }}{\xi }}$ και

$\displaystyle{f'\left( {x_2 } \right) = \frac{{f\left( 2 \right) - f\left( \xi \right)}}{{2 - \xi }} = \frac{{2 - \left( {2 - \xi } \right)}}{{2 - \xi }} = \frac{\xi }{{2 - \xi }}}$ .

Οπότε $\displaystyle{f'\left( {x_1 } \right) \cdot f'\left( {x_2 } \right) = \frac{{2 - \xi }}{\xi } \cdot \frac{\xi }{{2 - \xi }} = 1 }$

perpant · #6

ΑΣΚΗΣΗ 73η
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \left( {\frac{{x^3 }}{6} + \frac{{x^2 }}{2} + x + 1} \right)e^{ - x} ,\,\,\,\,\,x \in \Re }$ .

i) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

iii) Να δείξετε ότι $\displaystyle{e^x \ge \frac{{x^3 }}{6} + \frac{{x^2 }}{2} + x + 1,\,\,\,x \in \Re }$

iv) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{g:\Re \to \Re }$ για την οποία ισχύει ότι: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {e^{g\left( x \right)} - g\left( x \right) - \frac{{g^3 \left( x \right)}}{6}} \right) = 1}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 0}$

Edit: Μπαϊλάκης(εκδόσεις Σαββάλας)

pito · #7

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 73

a) Είναι $f'(x)=e^{-x}(\frac{x^{2}}{2}+x+1)-e^{-x}(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1)=-\frac{x^{3}}{6}e^{-x}$

Είναι $f'(x)<0\Rightarrow x^{3}>0\Rightarrow x>0, f'(x)>0\Rightarrow x<0$ , έτσι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0]$ κσι γνησίως φθίνουσα στο $[0,+\infty)$ και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x=0

το

Ακόμη $f''(x)=\frac{-1}{6}(3x^{2}e^{-x}-x^{3}e^{-x})=\frac{x^{2}e^{-x}}{6}(x-3)$
και $f''(x)>0\Rightarrow x>3, f''(x)<0\Rightarrow x<3$
Έτσι η

είναι κοίλη στο $(-\infty,3]$ και κυρτή στο $[3,+\infty)$ και παρουσιάζει καμπή στο σημείο $M(3,13e^{-3})$

β) Είναι $\Delta _{1}=(-\infty,0]\Rightarrow f(\Delta _{1})=(lim_{x\rightarrow -\infty}f(x),f(0)]=(-\infty,1]$ γιατί η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\Delta _{1}$ και
$lim_{x\rightarrow -\infty}(\frac{x^{3}}{6})=-\infty,lim_{x\rightarrow -\infty}e^{-x}=+\infty$

και $\Delta _{2}=[0,+\infty)\Rightarrow f(\Delta _{2})=(lim_{x\rightarrow +\infty}f(x),f(0)]=(0,1]$
γιατί η

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\Delta _{2}$ και
$lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1)'}{(e^{x})'}=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\frac{x^{2}}{2}+x+1)'}{(e^{x})'}=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x+1)'}{(e^{x})'}=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{e^{x}}=0$

Άρα $f(R)=f(\Delta _{1})\bigcup{f(\Delta _{2}})=(-\infty,1]$

γ) Η

παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(0)=1

άρα και
$f(x)\leq 1\Rightarrow (\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1)e^{-x}\leq 1\Rightarrow e^{x}\geq \frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1$

δ) Είναι ( από το (γ) ερώτημα):
$e^{g(x)}-\frac{g^{3}(x)}{6}-g(x)\geq \frac{g^{2}(x)}{2}+1\geq 1$

και από κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει $lim_{x\rightarrow 0}\frac{g^{2}(x)}{2}+1=1$ (1)

Θέτω $\varphi (x)=\frac{g^{2}(x)}{2}+1$ με $lim_{x\rightarrow 0}\varphi (x)=1$
και $|g(x)|=\sqrt{2(\varphi (x)-1)}\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}|g(x)|=0$

και αφού $-|g(x)|\leq g(x)\leq |g(x)|$ , από κριτήριο παρεμβολής είναι και
$lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0$

pito · #8

ΑΣΚΗΣΗ 74

Έστω

3 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο

τέτοια ώστε να ισχύει $f(x)\leq \frac{f(a)+f(\beta )}{2}$ για κάθε

πραγματικό.

α) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{1}\in (a,\beta )$ τέτοιο ώστε $f'(x_{1})=0$

β) Να δείξετε ότι $f'(a)=f'(\beta )=0$

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (a,\beta )$ τέτοιο ώστε $f'''(\xi )=0$ .

(Τσακουμάγκος, Μπαλωμένου- Ελληνοεκδοτική)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #9

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 74

Έστω 3 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο τέτοια ώστε να ισχύει $f(x)\leq \frac{f(a)+f(\beta )}{2}$ για κάθε πραγματικό.

α) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{1}\in (a,\beta )$ τέτοιο ώστε $f'(x_{1})=0$

β) Να δείξετε ότι $f'(a)=f'(\beta )=0$

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (a,\beta )$ τέτοιο ώστε $f'''(\xi )=0$ .

(Τσακουμάγκος, Μπαλωμένου- Ελληνοεκδοτική)

ΛΥΣΗ

α.
Έχουμε $\displaystyle{f(x) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2},\forall x \in R}$

Για $\displaystyle{x = \alpha }$ έχουμε $\displaystyle{f(\alpha ) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2} \Leftrightarrow f(\alpha ) \le f(\beta )}$ $\displaystyle{(1)}$

Ενώ για $\displaystyle{x = \beta }$ έχουμε $\displaystyle{f(\beta ) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2} \Leftrightarrow f(\beta ) \le f(\alpha )}$ $\displaystyle{(2)}$

Από $\displaystyle{(1)}$ , $\displaystyle{(2)}$ έχουμε $\displaystyle{f(\alpha ) = f(\beta )}$

$\bullet \displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta ]}$ , διότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet \displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$ , διότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet \displaystyle{f(\alpha ) = f(\beta )}$

Από θεώρημα $\displaystyle{Rolle}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{x_1 \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\boxed{f'(x_1 ) = 0}}$

β.

Έχουμε $\displaystyle{f(x) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2} = f(\alpha ) = f(\beta )}$ , $\displaystyle{\forall x \in R}$ $\displaystyle{(3)}$

Από την $\displaystyle{(3)}$ έχουμε οτι η $\displaystyle{f}$ λαμβάνει μέγιστο στις θέσεις $\displaystyle{x = \alpha }$ και $\displaystyle{x = \beta }$ .

Οπότε απο θεώρημα $\displaystyle{Fermat}$ έχουμε $\displaystyle{\boxed{f'(\alpha ) = f'(\beta ) = 0}}$

γ.

$\bullet \displaystyle{{f'}}$ συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,x_1 ]}$ διότι είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet \displaystyle{{f'}}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\alpha ,x_1 )}$ διότι είναι δυο φορες παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet \displaystyle{f'(\alpha ) = f'(x_1 ) = 0}$

Απο θεώρημα $\displaystyle{Rolle}$ υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi _1 \in (\alpha ,x_1 )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\boxed{f''(\xi _1 ) = 0}}$

$\bullet \displaystyle{{f'}}$ συνεχής στο $\displaystyle{[x_1 ,\beta ]}$ διότι είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet \displaystyle{{f'}}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(x_1 ,\beta )}$ διότι είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet \displaystyle{f'(\beta ) = f'(x_1 ) = 0}$

Απο θεώρημα $\displaystyle{Rolle}$ υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi _2 \in (x_1 ,\beta )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\boxed{f''(\xi _2 ) = 0}}$

$\bullet \displaystyle{{f''}}$ συνεχής στο $\displaystyle{[\xi _1 ,\xi _2 ]}$ διότι είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet\displaystyle{{f''}}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\xi _1 ,\xi _2 )}$ διότι είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

$\bullet\displaystyle{f''(\xi _1 ) = f''(\xi _2 ) = 0}$

Απο θεώρημα $\displaystyle{Rolle}$ υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi \in (\xi _1 ,\xi _2 )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\boxed {f'''(\xi ) = 0}}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #10

ΑΣΚΗΣΗ 75

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ με $\displaystyle{f^3 (x) + 3f(x) = x}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

α. Να μελετηθεί η μονοτονία της $\displaystyle{f}$

β. Να αποδείξετε οτι η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την $\displaystyle{f^{ - 1} }$

γ. Να βρεθεί το πρόσημο της $\displaystyle{f}$

δ. Να αποδείξετε οτι η $\displaystyle{f}$ έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το οποίο και να προσδιορίσετε

ε. Αν $\displaystyle{0 < \alpha < \beta }$ , να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\frac{{f(\alpha )}}{\alpha } > \frac{{f(\beta ) - f(\alpha )}}{{\beta - \alpha }}}$

στ. i. Να βρεθεί η μονοτονία της $\displaystyle{g(x) = f(x) - x}$
ii. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{f(x^2 - x) + x < x^2 }$

Κ.Ρεκούμης & Κ.Λαγός (εκδόσεις Μεταίχμιο)

pito · #11

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 75

α) Είναι ( από παραγώγιση της δοσμένης ) $3f^{2}(x)f'(x)+3f'(x)=1\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3f^{2}(x)+3}, f^{2}(x)+3>0\Rightarrow f'(x)>0$
και η

είναι γνησίως αύξουσα στο

.

β) Η

είναι

άρα και αντιστρέψιμη, αφού είναι γνησίως αύξουσα.
Θέτω $f(x)=y\Rightarrow x=f^{-1}(y)$ στην δοσμένη, άρα $y^{3}+3y=x\Rightarrow f^{-1}(x)=x^{3}+3x, x\in R$

Το σύνολο τιμών της

είναι το

γιατί αν θέσω f(x)=y

είναι και
$y^{3}+3y=x\Rightarrow f^{3}(x)+3f(x)-y^{3}-3y=0\Rightarrow (f(x)-y)(f^{2}(x)+f(x)y+y^{2})+3(f(x)-y)=0\Rightarrow (f(x)-y)(f^{2}(x)+f(x)y+y^{2}+3)=0$

Άρα ή f(x)=y

, ή $f^{2}(x)+f(x)y+y^{2}+3=0$ η οποία είναι αδύνατη γιατί $\Delta =-3y^{2}-12<0$ .

Έτσι λοιπόν $f(x)=y\Rightarrow f(R)=R\Rightarrow A_{f^{-1}}=R$

γ) Για x=0

στην αρχική είναι $f(0)(f^{2}(0)+3)=0\Rightarrow f(0)=0, f^{2}(0)+3\neq 0$
Για x>0

και αφού η

είναι γνησίως αύξουσα είναι $f(x)>f(0)\Rightarrow f(x)>0$
και για $x<0\Rightarrow f(x)<f(0)\Rightarrow f(x)<0$ και η

έχει μοναδική ρίζα το 0.

δ) Αν παραγωγίσω 2 φορές την αρχική σχέση είναι $6f(x)(f'(x))^{2}+3f^{2}(x)f''(x)+f''(x)=0 (2)$ .
Αν $M(x_{o},f(x_{0})$ σημείο καμπής της

θα πρέπει $f''(x_{o})=0$ , αφού η

είναι 2 φορές παραγωγίσιμη.

Έτσι για $x=x_{o}(2)\Rightarrow 6f(x_{o})(f'(x_{o}))^{2}=0\Rightarrow f(x_{o})=0$ , γιατί αν είχα
$f'(x_{o})=0\Rightarrow 3f^{2}(x_{o})f'(x_{o})+f'(x_{o})=1\Rightarrow 0=1$ , άτοπο΄.
Έτσι είναι $f(x_{o})=0=f(0)\Rightarrow x_{o}=0$ αφού η

είναι

.

Ακόμη για $f''(x)=\frac{-6f(x)(f'(x))^{2}}{3f^{2}(x)+1}$ , άρα για x>0

και αφού (από το (γ)) είναι f(x)>0

θα είναι και f''(x)<0

και για

θα είναι

.
Έτσι η

θα είναι κοίλη στο $[0,+\infty)$ και κυρτή στο $(-\infty,0], f''(0)=0$ .

Άρα το O(0,0)

είναι σημείο καμπής της

ε) Αρκεί να δείξω ότι $\frac{f(a)-f(0)}{a-0}>\frac{f(\beta )-f(a )}{\beta -a}$ (3)

Η

είναι συνεχής στο [0,a]

, παραγωγίσιμη στο (0,a)

και από ΘΜΤ υπάρχει
$\xi _{1}\in (0,a) \tau \omega f'(\xi _{1})=\frac{f(a)-f(0)}{a-0}$ και από ΘΜΤ στο $[a,\beta ]$ ΄
θα υπάρχει $\xi _{2}\in (a, \beta ) \tau \omega f'(\xi _{2})=\frac{f(\beta )-f(a )}{\beta-a }$

Έτσι $(3)\Leftrightarrow f'(\xi _{1})>f'(\xi _{2})\Leftrightarrow \xi _{1}<\xi _{2} (4)$ ( η

είναι γνησίως
φθίνουσα στο $[0,+\infty)$ από το (δ) ερώτημα)
Η (4) ισχύει γιατί $0<a<\beta$

ΣΤ) i) Είναι g'(x)=f'(x)-1

, όμως από το (α) είναι $f'(x)=\frac{1}{3f^{2}(x)+3}\Rightarrow f'(x)<1$ ΄
διότι $1<3f^{2}(x)+3\Leftrightarrow \Leftrightarrow 3f^{2}(x)+2>0$ , που ισχύει.

Έτσι και g'(x)<0

και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο

ii) $f(x^{2}-x)+x<x^{2}\Rightarrow f(x^{2}-x)-(x^{2}-x)<0\Rightarrow g(x^{2}-x)<g(0)\Rightarrow x^{2}-x>0$ ,
αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα στο

Άρα τελικά $x\in (-\infty,0)\bigcup{(1,+\infty)}$

EDIT: Είχα ξεχάσει να βρω το σύνολο τιμών της

. Ευχαριστώ τον κύριο Τηλέγραφο για την επισήμανση!

pito · #12

ΑΣΚΗΣΗ 76

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow R$ με την ιδιότητα $e^{y}f'(x)-2xe^{y}=f'(\frac{x}{e^{y}})-\frac{2x}{e^{y}} (1)$

για κάθε x>0

και

πραγματικό καθώς και f'(1)=-6, f(1)=3

.

a) Να βρείτε την f'(x)

για

.

β) Να βρείτε την f(x)

στο $(0,+\infty)$ .

γ) Να βρείτε το ελάχιστο της

.

δ) Να δείξετε ότι η

είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$ και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

στο σημείο A(1,f(1))

.

ε) Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,\beta ,\gamma$ ισχύει $a\beta \gamma =1$ και $a+\beta +\gamma =\frac{10}{3}$ , να δείξετε ότι $a^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}>1$ .

( Χρήστος Πατήλας, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)

#13

...στη χαρά της δημιουργίας...

ΑΣΚΗΣΗ 77

Έστω συνάρτηση $f:[0,\,\,+\infty )\to R$ που είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα, για την οποία ισχύει ότι

$f(x)+f(f(x))=2x,\,\,$ για κάθε $x\in [0,\,\,+\infty )$

α) Να δείξετε ότι $f(x)\ge 0$ για $x\in [0,\,\,+\infty )$ και ότι f(0)=0

.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{{{e}^{f(x)}}}{f(x)}+\frac{f(x)}{f(x)-1}=0}$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,\,\,1)$ .

γ)Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}=1$ να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

στο σημείο της $A(1,\,f(1))$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

chris · #14

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 76

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow R$ με την ιδιότητα $e^{y}f'(x)-2xe^{y}=f'(\frac{x}{e^{y}})-\frac{2x}{e^{y}} (1)$

για κάθε και πραγματικό καθώς και .

a) Να βρείτε την για .

β) Να βρείτε την στο $(0,+\infty)$ .

γ) Να βρείτε το ελάχιστο της .

δ) Να δείξετε ότι η είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$ και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο .

ε) Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,\beta ,\gamma$ ισχύει $a\beta \gamma =1$ και $a+\beta +\gamma =\frac{10}{3}$ , να δείξετε ότι $a^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}>1$ .

( Χρήστος Πατήλας, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)

α)
Η δοθείσα για x=1,y=-lnx

μιλώντας πάντα για θετικά

δίνει:
$\displaystyle -6e^{-lnx}-2e^{-lnx}=f'\left(\frac{1}{e^{-lnx}} \right)-\frac{2}{e^{-lnx}}\Rightarrow \boxed{f'(x)=2x-\frac{8}{x},x>0}$

β)
$\displaystyle f'(x)=2x-\frac{8}{x}=\left(x^2-8lnx \right)'\Leftrightarrow f(x)=x^2-8lnx+c,x>0$
και αφού f(1)=3

είναι τελικά c=2

και
$\displaystyle \boxed{f(x)=x^2-8lnx+2,x>0}$

γ)
$\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^2-4)}{x}=\frac{2\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}{x},x>0$

Για $x\geq 2$ είναι γνήσια αύξουσα και για $0<x\leq 2$ είναι γνήσια φθίνουσα(πινακάκι κτλ.) και άρα ολικό ελάχιστο στο x=2

το

.

δ)
$\displaystyle f''(x)=\frac{8}{x^2}+2>0$ άρα κυρτή!
Η εφαπτομένη:
$\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\Rightarrow (\varepsilon ):y=-6x+9$

ε)
$\displaystyle f(x)\geq y_{\varepsilon \phi }\Rightarrow f(a)+f(b)+f(c)\geq -6(a+b+c)+27\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 8\left(lna+lnb+lnc \right)+1=8ln(abc)+1=1$

Η ισότητα ισχύει μόνο στο σημείο επαφής άρα θα πρεπε: a=b=c=1

που είναι αδύνατο λόγω του αθροίσματος των τριών άρα:
a^2+b^2+c^2>1

.

perpant · #15

Μία βραδυνή, για να τη βρουν οι πρωινοί

ΑΣΚΗΣΗ 78η

Έστω οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ , όπου η f είναι παραγωγίσιμη, με $\displaystyle{f\left( 1 \right) = - 1}$ και $\displaystyle{f\left( e \right) = 0}$ , ώστε να ισχύει: $\displaystyle{ e^{f'\left( x \right)} = x + ce^{g\left( x \right)} }$ , για κάθε $\displaystyle{x > o,c \in R}$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\phi \left( x \right) = f\left( x \right) + x - x\ln x}$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {1,e} \right]}$

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, ώστε $\displaystyle{f'\left( \xi \right) = \ln \xi }$

γ) Να βρείτε την σταθερά $\displaystyle{c}$

δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$

Μπαϊλάκης- Εκδόσεις Σαβάλλα

#16

1. $\displaystyle{\phi }$ συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[1,e]}$ ως πράξεις συνεχών και παρσγωγισίμων
$\displaystyle{\phi (1)=-1+1-0=0,\phi (e)=0+e-e=0}$
υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (1,e):\phi '(\xi )=0}$

2. $\displaystyle{\phi '(x)=f'(x)+1-lnx-x\frac{1}{x}=f'(x)-lnx,\forall x>0}$ άρα $\displaystyle{0=\phi '(\xi )=f'(\xi )-ln(\xi )}$

3. $\displaystyle{e^{f'(\xi )}=\xi+ce^{g(\xi )}}$ οπότε $\displaystyle{\xi =\xi +ce^{g(\xi )}\Rightarrow c=0}$ αφου $\displaystyle{e^{g(\xi )}>0}$

4.Από το 3ο έχουμε $\displaystyle{e^{f'(x)}=x}$ ή $\displaystyle{f'(x)=lnx=(xlnx-x)',x>0}$ και επειδή $\displaystyle{f(1)=-1}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(x)=xlnx-x,x>0}$
εκανα μια μικρή διόρθωση της αρχικής συνθήκης f(1)=-1

STOPJOHN · #17

άσκηση 78
Έστελνα τη λύση της άσκησης αλλά την αποσύρω γιατί με πρόλαβε άλλος συνάδελφος βρήκα τη συνάρτηση f(x)=xlnx-x

φιλικά
Γιάννης

STOPJOHN · #18

Στο ερώτημα δ είναι $f'(x)=(xlnx-x)'\Leftrightarrow f(x)=xlnx-x+c_{1},x=e,c_{1}=0,f(x)=xlnx-x$

Γιάννης

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #19

ΑΣΚΗΣΗ 79η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{\displaystyle\ f(x) = xe^{\frac{1}{x}} ,x \in R^* }$

α. Να μελετήσετε την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

β. Να μελετήσετε την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς την κυρτότητα

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$

δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{e^{\frac{1}{x}} = \frac{\alpha }{x}}$ , για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\alpha \in R}$

ε. Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {f\left( {\frac{1}{x}} \right) - \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 }}} \right)}$

Α.Μπάρλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)

STOPJOHN · #20

Άσκηση 80
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ικανοποιεί τη συνθήκη $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+3h)-f(x_{0}-2h)}{h}=-10x_{0}e^{f(x_{0})}, x_{0}\varepsilon R, f(0)=0$ τότε
α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

β. Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα -κυρτά
γ. Να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής

(Από το βιβλίο Γεώργιος Κομπότης Θεματογραφία Μαθηματικών Γ Λυκείου)

Γιάννης Σταματογιάννης

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μέλη σε σύνδεση