Άθροισμα

vzf · #1

Να υπολογιστεί το άθροισμα 1^2+2^2+...+n^2.

#2

Ισχύει $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {k + 1} \right)}^3}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = {\left( {n + 1} \right)^3} - 1}$

Επίσης $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {k + 1} \right)}^3}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^3} - {k^3}} \right)} = 3\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} + 3\sum\limits_{k = 1}^n k + \sum\limits_{k = 1}^n 1 }$

Τότε $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \frac{1}{3}\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^3} - 1 - 3\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - n} \right) = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}}$

Είναι μια γενικότερη μέθοδος υπολογισμου αθροισμάτων της μορφής $\displaystyle{{1^k} + {2^k} + {3^k} + .. + {n^k}}$ .

#3

Σεραφείμ έγραψε:Είναι μια γενικότερη μέθοδος υπολογισμου αθροισμάτων της μορφής $\displaystyle{{1^k} + {2^k} + {3^k} + .. + {n^k}}$ .

Αυτά μπορεί κανείς να τα υπολογίσει και με την Euler Maclaurin Summation formula αφού από ένα σημείο και μετά οι προσθετέοι στα δεξιά θα είναι μηδέν. (η συνάρτηση που θα ολοκληρώνεται θα είναι πολυώνυμο.)

Άθροισμα

Άθροισμα

Re: Άθροισμα

Re: Άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση