Απλοποιήστε την παράσταση

#1

Δεδομένου ότι: $\displaystyle{ ax + by + cz = 0 }$ να απλοποιήσετε την παράσταση:
$\displaystyle{ \frac{{ax^2 + by^2 + cz^2 }}{{bc(y - z)^2 + ca(z - x)^2 + ab\left( {x - y} \right)^2 }} }$

Γιώργος Απόκης · #2

Μάλλον όχι ο πιο ενδεδειγμένος τρόπος!

$\bullet$ Aν $a\ne 0$ , είναι $\displaystyle{x=-\frac{by+cz}{a}}$ . Aντικαθιστώντας στην παράσταση (έστω

), έχουμε :

$\displaystyle{P=\frac{\frac{(by+cz)^2}{a^2}+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca\frac{(az+by+cz)^2}{a^2}+ab\frac{(ay+by+cz)^2}{a^2}}=\frac{(by+cz)^2+a^2by^2+a^2cz^2}{a^2bc(y-z)^2+ca(az+by+cz)^2+ab(ay+by+cz)^2}$ .

O αριθμητής ισούται με : P_1=b^2y^2+2bycz+c^2z^2+a^2b^2y^2+a^2cz^2

και ο παρονομαστής ισούται με :

$\displaystyle{P_2=a^3by^2+2a^2b^2y^2+ab^3y^2+a^2bcy^2+ab^2cy^2+ab^2cy^2+2a^2bcyz+2ab^2cyz+2abc^2yz+a^3cz^2+a^2bcz^2+2a^2c^2z^2+abc^2z^2+ac^3z^2}$ .

Εδώ δυσκολεύτηκα στην παραγοντοποίηση και έτσι, "παίζοντας"

με συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων, είδα ότι (μάλλον) ισχύει :

$\displaystyle{P=\frac{1}{a+b+c}}$ και παρατήρησα ότι πράγματι : P_2=(a+b+c)P_1

, άρα $\displaystyle{P=\frac{P_1}{(a+b+c)P_1}=\frac{1}{a+b+c}}$ με $a+b+c\ne 0$ .

$\bullet$ Αν a=0

, τότε με παρόμοιο τρόπο προκύπτει $\displaystyle{P=\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b+c}}$

#3

Χαιρετίζω όσους δεν τους κολάει ο ύπνος

Ας δούμε και μια ακόμα λύση στην άσκηση του Χρήστου,

Ο Παρονομαστής του κλάσματος γράφεται:

$\displaystyle{bcy^{2}+bcz^{2}+caz^{2}+cax^{2}+abx^{2}+aby^{2}-2bcyz-2cazx-2abxy=}$

$\displaystyle{bcy^{2}+bcz^{2}+caz^{2}+cax^{2}+abx^{2}+aby^{2}+a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2}-2bcyz-2cazx-2abxy=}$

$\displaystyle{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}+bcy^{2}+bcz^{2}+caz^{2}+cax^{2}+abx^{2}+aby^{2}-(ax+by+cz)^{2}=}$

$\displaystyle{a^{2}x^{2}+abx^{2}+by^{2}(b+c)+cz^{2}(b+c)+caz^{2}+cax^{2}+aby^{2}-0=}$

$\displaystyle{(c+b)(by^{2}+cz^{2})+ax^{2}(c+b)+a(ax^{2}+cz^{2}+by^{2})=}$

$\displaystyle{(ax^{2}+by^{2}+cz^{2})(a+b+c)}$

Άρα το δοσμένο κλάσμα γράφεται :

$\displaystyle{K=\frac{1}{a+b+c}}$

Απλοποιήστε την παράσταση

Απλοποιήστε την παράσταση

Re: Απλοποιήστε την παράσταση

Re: Απλοποιήστε την παράσταση

Μέλη σε σύνδεση