ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Ιστοσελίδα · #1

Ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Αν $\color{blue}\alpha ,\beta \in \Re ^ +$ , να αποδείξετε ότι :
$\color{blue}\frac{1}{{\alpha ^5 }} + \frac{1}{{\beta ^5 }} \le \frac{{\sqrt \alpha }}{{\beta ^5 \sqrt \beta }} + \frac{{\sqrt \beta }}{{\alpha ^5 \sqrt \alpha }}$

πότε ισχύει το ίσον;

#2

Η ισότητα ισχύει αν α=β.

#3

Παρατηρούμε ότι τα ζεύγη $\left(\displaystyle\frac{\sqrt{\alpha}}{\beta^5},\frac{\sqrt{\beta}}{\alpha^5}\right)$ και $\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\alpha}},\frac{1}{\sqrt{\beta}}\right)$ έχουν αντίθετη διάταξη $(\star)$

Άρα από την ανισότητα της αναδιάταξης (rearrangement inequality) $(\star\star)$ παίρνουμε

$\displaystyle\frac{\sqrt{\alpha}}{\beta^5}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\alpha}} +\displaystyle\frac{\sqrt{\beta}}{\alpha^5}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\beta}} \leq \displaystyle\frac{\sqrt{\alpha}}{\beta^5} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\beta}} + \displaystyle\frac{\sqrt{\beta}}{\alpha^5}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ .

Το οποίο είναι και το ζητούμενο. Η ισότητα ισχύει μόνο αν $\alpha=\beta$ .

$(\star)$ Λέμε ότι οι

-άδες $(a_1,a_2,\ldots, a_n)$ και $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ έχουν διαφορετική διάταξη (αντίστοιχα ίδια διάταξη) όταν

$\big(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ και $b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n\big)$ ή $\big(a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$ και $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\big)$ (αντίστοιχα ίδια διάταξη όταν $\big(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ και $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\big)$ ή $\big(a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$ και $b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n\big)$ )

$(\star\star)$ Ανισότητα Αναδιάταξης: Εάν οι οι

-άδες $(a_1,a_2,\ldots, a_n)$ και $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ έχουν διαφορετική διάταξη, και $c_1,c_2,\ldots, c_n$ είναι μία οποιαδήποτε μετάθεση των $b_1,b_2,\ldots,b_n$ , τότε

$a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \leq a_1c_1+a_2c_2+\cdots + a_nc_n \ \ (1)$

(Όμοια αν οι

-άδες έχουν ίδια διάταξη με μόνη διαφορά ότι η ανισότητα στη σχέση (1)

έχει αντίθετη φορά)

Αλέξανδρος

EDIT: Έγιναν κάποιες αλλαγές στον ορισμό της ίδιας & διαφορετικής διάταξης.

Ιστοσελίδα · #4

Μια άλλη προσέγγιση

Θέτουμε $\frac{1}{{\sqrt \alpha }} = x$ και $\frac{1}{{\sqrt \beta }} = y$ οπότε η δοθείσα σχέση γράφεται:

$x^{10} + y^{10} \le \frac{{x^{11} }}{y} + \frac{{y^{11} }}{x}$
αρκεί $\ x^{11} y + xy^{11} \le x^{12} + y^{12}$
αρκεί $\ 0 \le (x - y)(x^{11} - y^{11} )$
αρκεί $\ 0 \le (x - y)^2 (x^{10} + x^2 y + ... + y^{10} )$
η οποία προφανώς ισχύει

Το ίσον ισχύει όταν x = y δηλαδή όταν α = β >0

Υ.Σ
μετά την επισήμανση του δασκάλου μας του κυρ. Αντώνη διόρθωσα την άσκηση
δάσκαλε συγνώμη η δύναμη της συνήθειας είναι μεγάλη

Α.Κυριακόπουλος · #5

Αγαπητοί Σεραφείμ και Σπύρο.
•Θέλω να σας πω, εντελώς καλοπροαίρετα και χωρίς να με παρεξηγήσετε , ότι: Όταν ξεκινάμε από τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε, προχωρούμε με «αρκεί»( $\Leftarrow$ ) και όχι με ισοδυναμίες , μέχρι να φθάσουμε σε μια αληθή πρόταση ( βλ. Ο φάκελος του καθηγητή, Μαθηματική απόδειξη και λογική, ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΌΔΕΙΞΉΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,§§ 2.3 και2.4).
•Συγγνώμη, αλλά νομίζω ότι δεν πρέπει να περνάμε λανθασμένα μηνύματα στους νεότερους και στα παιδιά.
Με εκτίμηση και αγάπη.

paganini · #6

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητοί Σεραφείμ και Σπύρο.
•Θέλω να σας πω, εντελώς καλοπροαίρετα και χωρίς να με παρεξηγήσετε , ότι: Όταν ξεκινάμε από τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε, προχωρούμε με «αρκεί»( $\Leftarrow$ ) και όχι με ισοδυναμίες , μέχρι να φθάσουμε σε μια αληθή πρόταση ( βλ. Ο φάκελος του καθηγητή, Μαθηματική απόδειξη και λογική, ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,§§ 2.3 και2.4).
•Συγγνώμη, αλλά νομίζω ότι δεν πρέπει να περνάμε λανθασμένα μηνύματα στους νεότερους και στα παιδιά.
Με εκτίμηση και αγάπη.

Ισως ειναι περιττό αλλα δεν ειναι λαθος! Είναι;

Α.Κυριακόπουλος · #7

paganini έγραψε:Ισως ειναι περιττό αλλα δεν ειναι λαθος! Είναι;

Αγαπητέ paganini.
•Οι δεξιά συνεπαγωγές, με την κοινή λογική είναι περιττές. Όμως ,στα μαθηματικά, σύμφωνα με την έννοια της απόδειξης μιας πρότασης, είναι λάθος (να τις γράφουμε).
• Φαίνεται ότι δεν διάβασες προσεκτικά την παραπομπή που έχω γράψει και παρασύρθηκες από την κοινή Λογική ( η οποία δεν ταυτίζεται πάντοτε με την Μαθηματική Λογική). Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι ,αν στα μαθηματικά χρησιμοποιείς αποκλειστικά και μόνο την κοινή λογική, θα υπάρξουν πολλές περιπτώσεις που θα κάνεις λάθος χωρίς να το καταλάβεις. Και το άσχημο είναι ότι θα επιμένεις, χωρίς να έχεις δίκιο.
• Στα μαθηματικά όταν κάναμε την απόδειξη μιας πρότασης, δεν γράφουμε όλα όσα ισχύουν, αλλά όσα είναι απαραίτητα για να κάνουμε την αποδείξει, από εκείνα που ισχύουν.
• Στην περίπτωσή μας ,οι δεξιά συνεπαγωγές ισχύουν αλλά δεν χρειάζονται στην απόδειξη. Δεν έχουν σχέση με την απόδειξη. Γιατί λοιπόν να τις γράψουμε; Μόνο και μόνο επειδή ισχύουν; Τότε, θα έπρεπε να γράψουμε και το θεώρημα του Πυθαγόρα, και το θεώρημα του Fermat κτλ. Τι σχέση έχουν τα θεωρήματα αυτά με την απόδειξη που κάνουμε; Ακριβώς την ίδια που έχουν και οι δεξιά συνεπαγωγές. Πράγματι, οι δεξιά συνεπαγωγές ισχύον ,αλλά δεν χρειάζονται στην απόδειξη. Και τα θεωρήματα που ανέφερα ισχύουν, αλλά δεν χρειάζεται στην απόδειξη. Βλέπεις λοιπόν που έχουν ακριβώς την ίδια σχέση;
• Φαντάσου στην παραπάνω απόδειξη να ήταν γραμμένο κάπου ενδιάμεσα το θεώρημα του Πυθαγόρα. Είμαι σίγουρος ότι εσύ ο ίδιος θα έλεγες ότι κάνανε λάθος και θα το διέγραφες. Για τον ίδιο ακριβώς λόγο πρέπει , από την απόδειξη , να διαγράψεις τις δεξιά συνεπαγωγές.
Με αγάπη.

paganini · #8

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
paganini έγραψε:Ισως ειναι περιττό αλλα δεν ειναι λαθος! Είναι;
Αγαπητέ paganini. Είναι λάθος.
• Φαίνεται ότι δεν διάβασες προσεκτικά την παραπομπή που έχω γράψει και παρασύρθηκες από την κοινή Λογική ( η οποία δεν ταυτίζεται πάντοτε με την Μαθηματική Λογική). Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι ,αν στα μαθηματικά χρησιμοποιείς αποκλειστικά και μόνο την κοινή λογική, θα υπάρξουν πολλές περιπτώσεις που θα κάνεις λάθος χωρίς να το καταλάβεις. Και το άσχημο είναι ότι θα επιμένεις, χωρίς να έχεις δίκιο.
• Στα μαθηματικά όταν κάναμε την απόδειξη μιας πρότασης, δεν γράφουμε όλα όσα ισχύουν, αλλά όσα είναι απαραίτητα για να κάνουμε την αποδείξει, από εκείνα που ισχύουν.
• Στην περίπτωσή μας ,οι δεξιά συνεπαγωγές ισχύουν αλλά δεν χρειάζονται στην αποδείξει. Δεν έχουν σχέση με την απόδειξη. Γιατί λοιπόν να τις γράψουμε; Μόνο και μόνο επειδή ισχύουν; Τότε, θα έπρεπε να γράψουμε και το θεώρημα του Πυθαγόρα, και το θεώρημα του Fermat κτλ. Τι σχέση έχουν τα θεωρήματα αυτά με την απόδειξη που κάνουμε; Ακριβώς την ίδια που έχουν και οι δεξιά συνεπαγωγές. Πράγματι, οι δεξιά συνεπαγωγές ισχύον ,αλλά δεν χρειάζονται στην αποδείξει. Και τα θεωρήματα που ανέφερα ισχύουν, αλλά δεν χρειάζεται στην αποδείξει. Βλέπεις λοιπόν που έχουν ακριβώς την ίδια σχέση;
• Φαντάσου στην παραπάνω απόδειξη να ήταν γραμμένο κάπου ενδιάμεσα το θεώρημα του Πυθαγόρα. Είμαι σίγουρος ότι εσύ ο ίδιος θα έλεγες ότι κάνανε λάθος και θα το διέγραφες. Για τον ίδιο ακριβώς λόγο πρέπει , από την απόδειξη , να διαγράψεις τις δεξιά συνεπαγωγές.
Με αγάπη.

Kυριε Κυριακόπουλε,
ειναι αληθεια οτι πριν κανω το σχολιο δεν διαβασα την παραπομπη, αλλα μολις εκανα το σχολιο διαβασα τα οσα ωραια γραφετε.
Ομως, και το θεωρημα του Πυθαγόρα να είχε μια απόδειξη μεσα θα ήταν κάτι λάθος ή κάτι περιττό;
Το περιττό στα μαθηματικά ειναι και λάθος;
Ξερουμε οτι ενα μαθηματικο προβλημα επιδεχεται πολλές λυσεις. Για ενα προβλημα
για παραδειγμα μπορει να υπαρχουν δυο λύσεις: μία πεντασελιδη και μια λυση 2 γραμμων -συμβαινει συχνά αυτο-.Στη πεντασελιδη μπορει να αποδεικνυονται και επιπλεον θεωρηματα μπορει ακομα και να γινονται καποιοι κυκλοι,ομως τελικα οδηγουμαστε στη λυση. Ειναι αυτη η αποδειξη λανθασμενη;
Διαφωτίστε με.

Α.Κυριακόπουλος · #9

paganini έγραψε: Kυριε Κυριακόπουλε,
ειναι αληθεια οτι πριν κανω το σχολιο δεν διαβασα την παραπομπη, αλλα μολις εκανα το σχολιο διαβασα τα οσα ωραια γραφετε.
Ομως, και το θεωρημα του Πυθαγόρα να είχε μια απόδειξη μεσα θα ήταν κάτι λάθος ή κάτι περιττό;
Το περιττό στα μαθηματικά ειναι και λάθος;
Ξερουμε οτι ενα μαθηματικο προβλημα επιδεχεται πολλές λυσεις. Για ενα προβλημα
για παραδειγμα μπορει να υπαρχουν δυο λύσεις: μία πεντασελιδη και μια λυση 2 γραμμων -συμβαινει συχνά αυτο-.Στη πεντασελιδη μπορει να αποδεικνυονται και επιπλεον θεωρηματα μπορει ακομα και να γινονται καποιοι κυκλοι,ομως τελικα οδηγουμαστε στη λυση. Ειναι αυτη η αποδειξη λανθασμενη;
Διαφωτίστε με.

Αγαπητέ paganini.
•Στην προσπάθειά μου να σου εξηγήσω περισσότερο, συμπλήρωσα στο προηγούμενο μήνυμά μου, το εξής:
«Οι δεξιά συνεπαγωγές, με την κοινή λογική είναι περιττές. Όμως, στα μαθηματικά, σύμφωνα με την έννοια της απόδειξης μιας πρότασης, είναι λάθος (να τις γράφουμε)».
Δυστυχώς όμως δεν σε πρόφθασα και μου έστειλες το δεύτερο μήνυμα. Δεν πειράζει.
• Γράφεις: « Όμως, και το θεώρημα του Πυθαγόρα να είχε μια απόδειξη μέσα θα ήταν κάτι λάθος ή κάτι περιττό;». Επαναλαμβάνω: Με την κοινή λογική θα λέγαμε ότι είναι περιττό. Σύμφωνα όμως με την έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά, θα ήταν λάθος ( Μην μου πεις ότι το ίδιο κάνουν και τα σχολικά βιβλία. Στο σημείο αυτό -και όχι μόνο- κάνουν λάθος).
•Εσύ έχεις δίκιο να έχεις τέτοιες απορίες (και μπράβο σου, γιατί δείχνει ότι θέλεις να εμβαθύνεις στα μαθηματικά ) αφού δεν σου είπε ποτέ κανένας τον ορισμό της απόδειξης μιας πρότασης στα μαθηματικά. Δηλαδή, τι εννοούμε όταν λένε ότι θα αποδείξουμε μια πρόταση σε μια μαθηματική θεωρία (Γεωμετρία, Άλγεβρα, για να αναφέρω μόνο δύο κλάδους των μαθηματικών που ξέρεις). Αν σου είχε πει κάποιος την έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά , θα καταλάβαινες αμέσως ότι είναι λάθος να γράφουμε τις δεξιά συνεπαγωγές . Και αν σου πει κάποιος ότι αυτά δεν χρειάζονται και ότι αυτά είναι «φορμαλισμός», εσύ να συμπεράνεις ότι κάτι πάει να κρύψει. Γιατί δεν είναι φορμαλισμός. Και βέβαια θα τον ρωτήσεις: «Αφού δεν μου έχει πει ποτέ κανένας τι είναι απόδειξη μιας πρότασης , πώς θα κάνω εγώ αποδείξεις;». Μη μου ζητήσεις όμως να σου αναπτύξω αυτό το θέμα εδώ, γιατί αυτά τα πράγματα δεν μπορούν να γίνουν με μηνύματα. Ίσως αργότερα να γράψω ένα σχετικό άρθρο και να το βάλω στον φάκελο του καθηγητή.
• Κάθε λύση ενός προβλήματος, είτε είναι σύντομη, είτε είναι μακροσκελής, δεν πρέπει να περιέχει προτάσεις( σωστές ) που δεν χρησιμοποιούνται στη λύση που κάνουμε. Αν ένα πρόβλημα έχει σύντομη λύση και εμείς κάνουμε μια μακροσκελή λύση, δεν σημαίνει ότι η λύση έγινε μακροσκελής επειδή έχουμε γράψει προτάσεις που δεν χρειάζονται, δηλαδή που με την κοινή λογική θα λέγαμε ότι είναι περιττές. Όχι. Απλά, ο τρόπος που σκεφτήκαμε μας οδήγησε σε μια μακροσκελή λύση, χωρίς βέβαια να έχουμε γράψει τίποτα το περιττό. Και βέβαια η μακροσκελής λύση δεν είναι μία περιττή λύση, ούτε χάνει την αξία της, επειδή υπάρχει και σύντομη λύση. Όμως, είναι φυσικό, όταν κάναμε μια λύση να κοιτάμε μετά μήπως βρούμε καμιά συντομότερη λύση. Αλλά κάθε λύση έχει τη δική της αξία,αρκεί να είναι σωστή(από καθε άποψη).
Προσπάθησα να σε διαφωτίσω όσο μπορούσα. Δεν ξέρω αν τα κατάφερα.
Με αγάπη.

paganini · #10

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
paganini έγραψε: Kυριε Κυριακόπουλε,
ειναι αληθεια οτι πριν κανω το σχολιο δεν διαβασα την παραπομπη, αλλα μολις εκανα το σχολιο διαβασα τα οσα ωραια γραφετε.
Ομως, και το θεωρημα του Πυθαγόρα να είχε μια απόδειξη μεσα θα ήταν κάτι λάθος ή κάτι περιττό;
Το περιττό στα μαθηματικά ειναι και λάθος;
Ξερουμε οτι ενα μαθηματικο προβλημα επιδεχεται πολλές λυσεις. Για ενα προβλημα
για παραδειγμα μπορει να υπαρχουν δυο λύσεις: μία πεντασελιδη και μια λυση 2 γραμμων -συμβαινει συχνά αυτο-.Στη πεντασελιδη μπορει να αποδεικνυονται και επιπλεον θεωρηματα μπορει ακομα και να γινονται καποιοι κυκλοι,ομως τελικα οδηγουμαστε στη λυση. Ειναι αυτη η αποδειξη λανθασμενη;
Διαφωτίστε με.
Αγαπητέ paganini.
•Στην προσπάθειά μου να σου εξηγήσω περισσότερο, συμπλήρωσα στο προηγούμενο μήνυμά μου, το εξής:
«Οι δεξιά συνεπαγωγές, με την κοινή λογική είναι περιττές. Όμως, στα μαθηματικά, σύμφωνα με την έννοια της απόδειξης μιας πρότασης, είναι λάθος (να τις γράφουμε)».
Δυστυχώς όμως δεν σε πρόφθασα και μου έστειλες το δεύτερο μήνυμα. Δεν πειράζει.
• Γράφεις: « Όμως, και το θεώρημα του Πυθαγόρα να είχε μια απόδειξη μέσα θα ήταν κάτι λάθος ή κάτι περιττό;». Επαναλαμβάνω: Με την κοινή λογική θα λέγαμε ότι είναι περιττό. Σύμφωνα όμως με την έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά, θα ήταν λάθος ( Μην μου πεις ότι το ίδιο κάνουν και τα σχολικά βιβλία. Στο σημείο αυτό -και όχι μόνο- κάνουν λάθος).
•Εσύ έχεις δίκιο να έχεις τέτοιες απορίες (και μπράβο σου, γιατί δείχνει ότι θέλεις να εμβαθύνεις στα μαθηματικά ) αφού δεν σου είπε ποτέ κανένας τον ορισμό της απόδειξης μιας πρότασης στα μαθηματικά. Δηλαδή, τι εννοούμε όταν λένε ότι θα αποδείξουμε μια πρόταση σε μια μαθηματική θεωρία (Γεωμετρία, Άλγεβρα, για να αναφέρω μόνο δύο κλάδους των μαθηματικών που ξέρεις). Αν σου είχε πει κάποιος την έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά , θα καταλάβαινες αμέσως ότι είναι λάθος να γράφουμε τις δεξιά συνεπαγωγές . Και αν σου πει κάποιος ότι αυτά δεν χρειάζονται και ότι αυτά είναι «φορμαλισμός», εσύ να συμπεράνεις ότι κάτι πάει να κρύψει. Γιατί δεν είναι φορμαλισμός. Και βέβαια θα τον ρωτήσεις: «Αφού δεν μου έχει πει ποτέ κανένας τι είναι απόδειξη μιας πρότασης , πώς θα κάνω εγώ αποδείξεις;». Μη μου ζητήσεις όμως να σου αναπτύξω αυτό το θέμα εδώ, γιατί αυτά τα πράγματα δεν μπορούν να γίνουν με μηνύματα. Ίσως αργότερα να γράψω ένα σχετικό άρθρο και να το βάλω στον φάκελο του καθηγητή.
• Κάθε λύση ενός προβλήματος, είτε είναι σύντομη, είτε είναι μακροσκελής, δεν πρέπει να περιέχει προτάσεις( σωστές ) που δεν χρησιμοποιούνται στη λύση που κάνουμε. Αν ένα πρόβλημα έχει σύντομη λύση και εμείς κάνουμε μια μακροσκελή λύση, δεν σημαίνει ότι η λύση έγινε μακροσκελής επειδή έχουμε γράψει προτάσεις που δεν χρειάζονται, δηλαδή που με την κοινή λογική θα λέγαμε ότι είναι περιττές. Όχι. Απλά, ο τρόπος που σκεφτήκαμε μας οδήγησε σε μια μακροσκελή λύση, χωρίς βέβαια να έχουμε γράψει τίποτα το περιττό. Και βέβαια η μακροσκελής λύση δεν είναι μία περιττή λύση, ούτε χάνει την αξία της, επειδή υπάρχει και σύντομη λύση. Όμως, είναι φυσικό, όταν κάναμε μια λύση να κοιτάμε μετά μήπως βρούμε καμιά συντομότερη λύση. Αλλά κάθε λύση έχει τη δική της αξία,αρκεί να είναι σωστή(από καθε άποψη).
Προσπάθησα να σε διαφωτίσω όσο μπορούσα. Δεν ξέρω αν τα κατάφερα.
Με αγάπη.

καταλαβα!
Και καλό θα ηταν να κανετε αυτο που λετε,δηλαδη να γραψετε ενα αρθρο για το τι -πρεπει να- ειναι μια αποδειξη.
Και κάτι άλλο: Οταν εχουμε ενα προβλημα μαθηματικων που εντάσσεται σε εναν συγκεκριμενο κλαδο (π.χ. μιγαδικοι) η λυση πρεπει να χρησιμοποιει υποχρεωτικα μεθοδους και θεωρηματα αυτου του κλαδου;
Για παραδειγμα πολλές φορες σε προβληματα μιγαδικών η γεωμετρικη τους αναπαρασταση και η χρηση θεωρηματων της Ευκλειδιας Γεωμετριας κανει τα πραγματα πολυ πιο απλα. Ειναι όμως σωστη αυτη η αντιμετωπιση;
Ο καθηγητης μου στο σχολειο (το όνομα σβήστηκε καθώς απαγορεύεται σύμφωνα με τους κανονισμούς να κατηγορούμε δημόσια κάποιο) επεμενε πως δεν ηταν σωστη, Μαλιστα μας ελεγε περιπαικτικα " αυτος ο τροπος ειναι προιστορικος","τοτε να παρουμε και τη μεζουρα να μετρησουμε,ετσι δεν καναν παλια;","εγω κανω Μιγαδικη Αναλυση και οχι Ευκλειδια γεωμετρια".
Ακομα, μας ειχε πει -δεν ξερω αν ηταν αληθεια ή αν μας το πες για να κανουμε το δικο του- ότι οταν ηταν διορθωτης σε ενα προβλημ καποιος ειχε γραψει μια γεωμετρικη λυση και του δωσε 2/10,ετσι για την προσπαθεια,ενας αλλος διανυσματικη (ή αλλη δεν θυμαμαι) λυση και του δωσε 5/10 και μόνο σαυτον με την λύση που θεωρουσε αυτος σωστή εδωσε και τα 10 μορια.
edit: Μα εγω δεν κατηγορησα κανεναν,τα λεγομενα του μεταφερω. Αλλωστε σαυτον τον ανθρωπο χρωσταω πολλα παρολου που ηταν στρυφνος.

ανισότητα με ριζικά ΙΙ

ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Re: ανισότητα με ριζικά ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση