Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(1)

#1

Με τι ισούται η παράσταση:
$\displaystyle{ \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

chris_gatos έγραψε:Με τι ισούται η παράσταση:
$\displaystyle{ \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
όταν φυσικά αυτή ορίζεται...

Η παράσταση είναι ένα τριώνυμο 2ου βαθμού, ας το πούμε $\displaystyle{f(x).}$

Είναι προφανώς $\displaystyle{f(a)=f(b)=f(c)=1,}$ δηλαδή παίρνει την ίδια τιμή τρείς φορές.

Άρα $\displaystyle{f(x)\equiv 1.}$

Γιώργος Απόκης · #3

H παράσταση είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού ως προς

και παρατηρούμε ότι για x=a,x=b,x=c

ισούται με

, άρα είναι σταθερή και ίση με

.

Εdit: Με πρόλαβε ο Θάνος!

#4

Και τώρα αρχίζουν τα ωραία:

Η σχέση

$\displaystyle{\frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}=1}$ ( $\displaystyle{\color{red}1}$ )

δεν ισχύει μόνο για πραγματικές τιμές των $\displaystyle{a,b,c,x}$ , αλλά για τυχούσες μιγαδικές.

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και ας είναι $\displaystyle{a,b,c}$ οι μιγαδικοί με εικόνες τα σημεία $\displaystyle{A,B,C.}$
Έστω $\displaystyle{M}$ τυχόν σημείο του επιπέδου του τριγώνου, το οποίο είναι η εικόνα του μιγαδικού $\displaystyle{x.}$

Είναι $\displaystyle{1=\Big|\frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\Big|\leq \Big|\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\Big|+\Big|\frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}}\Big|+\Big|\frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\Big|=}$

$\displaystyle{=\frac{MB\cdot MC}{bc}+\frac{MC\cdot MA}{ca}+\frac{MA\cdot MB}{ab},}$

κοινώς η ανισότητα Hayashi!!!

EDIT: Στην τελευταία σειρά χρησιμοποιώ (κακώς) τα $\displaystyle{a,b,c}$ ως τα μήκη των πλευρών του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$

Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(1)

Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(1)

Re: Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(1)

Re: Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(1)

Re: Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(1)

Μέλη σε σύνδεση