7 Β - Κωνικές τομές.

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμε τον κύκλο : $C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ και το σημείο A(1,1)

. Ο κύκλος {C}'

με κέντρο ένα σημείο

του

και ακτίνα

τέμνει τον κύκλο

στα σημεία

και $\Gamma$ . Να αποδείξετε ότι όταν το σημείο

διαγράφει τον κύκλο

, η ευθεία $B\Gamma$ εφάπτεται σε ένα σταθερό κύκλο, τον οποίο να βρείτε.

#2

Ο κύκλος κέντρου $\displaystyle{M(x_o,y_o)}$ και ακτίνας ίσης με $\displaystyle{MA}$ έχει εξίσωση:
$\displaystyle (x-x_o)^2+(y-y_o)^2=(x_o-1)^2+(y_o-1)^2\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow x^2+y^2-2x_ox-2y_oy+2x_o+2y_o-2 \ \ (1)$
η τομή του με τον αρχικό $\displaystyle{x^2+y^2=4}$ δίνει δύο σημεία που ορίζουν το ριζικό άξονα που έχει εξίσωση:
$\displaystyle{ (e):x_ox+y_oy-x_o-y_o-1=0}$ .
Η απόσταση τώρα του σημείου $\displaystyle{A}$ από την ευθεία αυτή είναι:
$\displaystyle d(A,e)=\frac{\left|x_o+y_o-x_o-y_o-1 \right|}{\sqrt{x_o^2+y_o^2}}=\frac{1}{2}=ct$
Άρα η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle B, \Gamma$ εφάπτεται του κύκλου $\displaystyle{(A,\frac{1}{2})}$

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:
Θεωρούμε γνωστό ότι αν οι κύκλοι με εξισώσεις:
$\displaystyle c_1: x^2+y^2+A_1x+B_1y+\Gamma _1=0$
και
$\displaystyle c_2: x^2+y^2+A_2x+B_2y+\Gamma _2=0$
τότε ο ριζικός άξονας αυτών είναι η ευθεία:
$\displaystyle (e): (A_1-A_2)x+(B_1-B_2)y+(\Gamma _1-\Gamma _2)=0$

S.E.Louridas · #3

Ας μου επιτραπεί να διαπραγματευτώ το πρόβλημα στην πλέον γενική του μορφή με σκοπό να φανεί και με δεδομένο τις άλλες λύσεις, η Μαθηματική Ενοποίηση:

« Δίνεται κύκλος (O, R)

και σημείο, έστω

Θεωρούμε τυχόν σημείο του

. Έστω τώρα o κύκλος (M, MA)

(μεταβαλλόμενος) που τέμνει τον αρχικό δεδομένο στα σημεία B,C

. Να αποδειχθεί ότι η χορδή

ορίζει ευθεία που εφάπτεται σε σταθερό κύκλο τον οποίο και να προσδιορίσετε πλήρως».

Λύση:
Από την βασική πρόταση (viewtopic.php?f=22&t=22745):
""Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δυνάμεων σημείου ως προς δύο κύκλους ισούται με το διπλάσιο της διακέντρου τους επί την απόσταση του σημείου αυτού από τον ριζικό τους άξονα που εδώ βέβαια είναι η ευθεία

"" και επειδή Ταυτόχρονα έχουμε ότι η δύναμη σημείου της περιφέρειας κύκλου ως προς τον κύκλο αυτό είναι Μηδέν, λαμβάνουμε:
$|R^2 - AO^2| = 2R \cdot AA{'} \Rightarrow AA{'} ={ \frac{{\left| {R^2 - AO^2 } \right|}} {{2R}},$

όπου AA{'}

η απόσταση του

από την

.

Συνεπώς είναι ο κύκλος $\left( {A,\frac{{\left| {R^2 - AO^2 } \right|}} {{2R}}} \right).$

S.E.Louridas

giannis84 · #4

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμε τον κύκλο : $C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ και το σημείο . Ο κύκλος με κέντρο ένα σημείο του και ακτίνα τέμνει τον κύκλο στα σημεία και $\Gamma$ . Να αποδείξετε ότι όταν το σημείο διαγράφει τον κύκλο , η ευθεία $B\Gamma$ εφάπτεται σε ένα σταθερό κύκλο, τον οποίο να βρείτε.

Το σημείο

είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου γιατί ο κύκλος $C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ , (1)

έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και η ακτίνα του είναι

.
Έστω σημείο M(x_0,y_0)

σημείο του κύκλου

.
Η απόσταση

ισούται : $AM=\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-1)^2}$

O Κύκλος

αφού έχει κέντρο το σημείο M(x_0,y_0)

και ακτίνα $AM=\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-1)^2}$ είναι της μορφής:

$\displaystyle C': (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(x_0-1)^2+(y_0-1)^2$ , (2)

Αφού το σημείο M(x_0,y_0)

ανήκει στον κύκλο

έχουμε: $C:{{x_0}^{2}}+{{y_0}^{2}}=4$ , (3)

Αναπτύσουμε την σχέση (2) :

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(x_0-1)^2+(y_0-1)^2 \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow x^2+x_0^2-2xx_0+y^2-2yy_0+y_0^2=x_0^2-2x_0+1+y_0^2-2y_0+1$

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1), (3)

καταλήγουμε στην ευθεία: x_0x+y_0y-x_0-y_0=1

Υπολογίζουμε την απόσταση της ευθείας από το σημείο A(1,1)

$\displaystyle d=\frac{\left|x_0+y_0-x_0-y_0-1 \right|}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{1}{2}$

Άρα καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι απόσταση είναι σταθερή. Άρα η ευθεία $B\Gamma$ εφάπτεται του κύκλου με κέντρο A(1,1)

και ακτίνα $\frac{1}{2}$ : $(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}$

mathematica.gr

7 Β - Κωνικές τομές.

7 Β - Κωνικές τομές.

Re: 7 Β - Κωνικές τομές.

Re: 7 Β - Κωνικές τομές.

Re: 7 Β - Κωνικές τομές.

Μέλη σε σύνδεση