Τριώνυμο

#1

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση 4 φορές παραγωγίσιμη με $f(x) \ge 0,\ \forall x \in \mathbb{R}$ και

$f^{(4)}(x) \le 0,\ \forall x \in \mathbb{R}$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν πραγματικοί a,b,c

ώστε $f(x)=ax^2+bx+c,\ \forall x \in \mathbb{R}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

air · #2

Μια προσπάθεια λύσης. Έστω $a\in\mathbb R$ τυχαίος, τότε από το θεώρημα Taylor προκύπτει η παρακάτω μορφή για τη

:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{\displaystyle f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{\displaystyle f'''(a)}{6}(x-a)^3+\frac{\displaystyle f^{(4)}(t)}{24}(x-a)^4$ ,

όπου

ανάμεσα στα x,a

.

Τώρα από τις δυο δοθείσες ανισότητες έχουμε ότι $f(x)\geq 0 , \frac{\displaystyle f^{(4)}(t)}{24}(x-a)^4\leq 0$ και άρα:

0 \leq f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{\displaystyle f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{\displaystyle f'''(a)}{6}(x-a)^3 \ \ \forall x\in\mathbb R Τώρα έστω

f'''(a)\neq 0 τότε παίρνοντας όρια για

+-\infty

f'''(a)=0

a\in\mathbb R τυχαίος προκύπτει ότι

f'''(x)=0 \ \ \forall x\in\mathbb R$ και τώρα ολοκληρώνοντας διαδοχικά 3 φορές προκύπτει το ζητούμενο.

#3

Ωραία λύση

Και μία διαφορετική αφιερωμένη στον Αχιλλέα Συνεφακόπουλο

Από την υπόθεση η συνάρτηση f{''}

είναι φθίνουσα, άρα υπάρχουν τα όρια

\lim{x \to \pm \infty}f{''}(x)

Από τον κανόνα L' Hospital έχουμε

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac {f(x)}{x^3}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac {f{'}(x)}{3x^2}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac {f{''}(x)}{6x}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac {f{''}(x)}{6}

και

\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac {f(x)}{x^3}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac {f{'}(x)}{3x^2}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac {f{''}(x)}{6x}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac {f{''}(x)}{6}

. Αλλά

f(x) \ge 0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {f(x)}{x^3} \ge 0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f{''}(x) \ge 0

(1) και

f(x) \ge 0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac {f(x)}{x^3} \le 0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f{''}(x) \le 0

(2)

Άρα, επειδή η f{''}

είναι φθίνουσα, έπεται ότι είναι σταθερή και από τα όρια

f{''}(x)=0,\ \forall x \in \mathbb{R}

, άρα το ζητούμενο είναι προφανές

Άσκηση των M. Radulescu και S. Radulescu

Τριώνυμο

Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση