Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάκης Χατζόπουλος

Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος »

Μια άσκηση του βιβλίου (ασκ. 8/σελ.76) διατυπωμένη λίγο διαφορετικά:
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Έστω οι ευθείες 3x - 4y + 1 = 0 και 5x + 12y + 4 = 0

α) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω ευθείες τέμνονται

β) Να βρείτε τις δύο εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών, που σχηματίζουν οι παραπάνω ευθείες.

γ) Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι του (β) υποερωτήματος τέμνονται κάθετα. Την γνωρίζαμε αυτή την πληροφορία; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

δ) Ποια διχοτόμος από τις δύο του (β) ερωτήματος, αντιστοιχεί στην οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες; Δικαιολογήστε τον ισχυρισμό σας (υπάρχουν πολλές και όμορφες αποδείξεις και απαγορευμένοι τύποι)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ημερομηνία τερματισμού: 15/2/2012, ώρα 22:59
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Κορυφή
gregorynub
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Τετ Ιαν 25, 2012 3:51 pm

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gregorynub »

α){\lambda }_{1} =\frac{3}{4}

{\lambda }_{2} =\frac{-12}{5}

Αφού έχουν διάφορους συντελεστές θα τέμνονται .

β)d({\varepsilon }_{1}, D) = d({\varepsilon }_{2}, D)

Έστω D τυχαίο σημείο της διχοτόμου :D με συντεταγμένες (χ0,y0)

Ύστερα από πραξούλες βγαίνουν οι δύο ευθείες που διχοτομούν τις ε1 και ε2, που θα τις ονομάσω ε'1 και ε'2 (πρωτότυπο ε; :P )

{\varepsilon' }_{1} : 2{x}_{0}-16{y}_{0}-1=0

{\varepsilon' }_{2} : 64{x}_{0} + 8{y}_{0}+33= 0

γ) Αρκεί οι συντελεστές διεύθυνσής τους να έχουν γινόμενο -1.
\frac{1}{8}*\frac{-8}{1} = -1 και είμαστε έτοιμοι. ( Α, την γνωρίζαμε την πληροφορία, αφού οι διχοτόμοι παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα)

δ) Βρίσκοντας τα λ των ε'1 και ε'2 θέτω τα παρακάτω διανύσματα {\delta}_{1}= (8,1)\\ {\delta}_{2}= (1,-8) (αφού λ= y/x)

Θα τα συγκρίνω ως προς την ε1, την οποία θα γράψω ως διάνυσμα \Delta = (4,3)
Βρίσκουμε τα μέτρα τους, (βγαίνουν |δ1|=|δ2"=\sqrt{65} και |Δ|=5).
Μετά με τον τύπο του γινόμενου διανυσμάτων βρίσκω πρώτα το συν του δ1 με Δ. Βγάζει \frac{7}{\sqrt{65}}.
Όμοια κάνω το δ2 με Δ και βγαίνει \frac{-4}{\sqrt{65}} όμως το - δεν μας ενδιαφέρει! Είναι προφανές πως το συν του δ1 με το Δ είναι μεγαλύτερο του δ2 με το Δ. Άρα το δ1 με το Δ σχηματίζει μικρότερη γωνία. Από αυτό βγάζω συμπέρασμα πως η διχοτόμος που διχοτομεί την οξεία γωνία είναι η {\varepsilon' }_{1} : 2{x}_{0}-16{y}_{0}-1=0
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος gregorynub την Παρ Φεβ 03, 2012 3:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάκης Χατζόπουλος

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος »

gregorynub έγραψε:α){\lambda }_{1} =\frac{3}{4}

{\lambda }_{2} =\frac{-12}{5}

Αφού έχουν διάφορους συντελεστές θα τέμνονται .

β)d({\varepsilon }_{1}, D) = d({\varepsilon }_{2}, D)

Έστω D τυχαίο σημείο της διχοτόμου :D με συντεταγμένες (χ0,y0)

Ύστερα από πραξούλες βγαίνουν οι δύο ευθείες που διχοτομούν τις ε1 και ε2, που θα τις ονομάσω ε'1 και ε'2 (πρωτότυπο ε; :P )

{\varepsilon' }_{1} : 2{x}_{0}-16{y}_{0}-1=0

{\varepsilon' }_{2} : 64{x}_{0} + 8{y}_{0}+33= 0

γ) Αρκεί οι συντελεστές διεύθυνσής τους να έχουν γινόμενο -1.
\frac{1}{8}*\frac{-8}{1} = -1 και είμαστε έτοιμοι. ( Α, την γνωρίζαμε την πληροφορία, αφού οι διχοτόμοι παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα)

δ) Δεν είμαι σίγουρος, νομίζω αυτή που θα έχει το μεγαλύτερο συνημίτονο αν θέσουμε διανύσματα για να το βρούμε... Αλλά θα διαρκέσει πολύ και βαριέμαι :?
Πολύ όμορφη η παρουσίαση σου! Μέχρι το (γ) υποερώτημα όλα τέλεια, στο (δ) θέλω περισσότερες πληροφορίες, σκέψου το και μας ξαναλές την σκέψη σου, είμαι σίγουρος ότι θα το βρεις.

Μια υπόδειξη: Το μεγαλύτερο συνημίτονο αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη γωνία;
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Κορυφή
gregorynub
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Τετ Ιαν 25, 2012 3:51 pm

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gregorynub »

Όχι, όταν λέω μεγαλύτερο συνημίτονο εννοώ πως θα έχει την μικρότερη γωνία άρα θα είναι και η διχοτόμος της οξείας γωνίας. Θα την απαντήσω σε λίγο με λεπτομέρειες :coolspeak:

Ενημέρωση: έγραψα την απάντηση στην προηγούμενη ανάρτηση!
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Γιώργος Απόκης

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης »

Αφού απάντησε ο gregory, δίνω και το σχήμα
Συνημμένα
dixotomoi.png
dixotomoi.png (35.33 KiB) Προβλήθηκε 1222 φορές
Γιώργος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάκης Χατζόπουλος

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος »

gregorynub έγραψε:Όχι, όταν λέω μεγαλύτερο συνημίτονο εννοώ πως θα έχει την μικρότερη γωνία άρα θα είναι και η διχοτόμος της οξείας γωνίας. Θα την απαντήσω σε λίγο με λεπτομέρειες :coolspeak:

Ενημέρωση: έγραψα την απάντηση στην προηγούμενη ανάρτηση!
Αποκαταστάθηκε η λύση και σε ευχαριστώ!

Φυσικά όποιος θέλει να προσπαθήσει και με άλλο τρόπο είναι ελεύθερος!!

Γιώργο σε ευχαριστούμε για το σχήμα.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ερώτηση: Αν οι μαθητές έκανα το σχήμα, πιάνεται ως λύση η γεωμετρική εποπτεία; Κάπου το έχουμε ξαναδεί αυτό το θέμα...
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN »

Καλησπέρα το θέμα αυτό το συζητήσαμε στην τάξη πριν είκοσι ημέρες .Πιστεύω ότι και με την εποπτεία μπορούνε οι μαθητές να απαντήσουν .Ακόμη και στις πανελλαδικές εξετάσεις εφόσον είναι βασικές θεωρητικές γνώσεις δηλαδή ευθείες ,συναρτήσεις(υπερβολή ,παραβολή κ.λ.π)
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Γιώργος Απόκης

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης »

Ένας άλλος τρόπος για τη διχοτόμο της οξείας.

Θεωρούμε ένα συγεκριμένο σημείο M μιας από τις δύο ευθείες και υπολογίζουμε τις αποστάσεις του

από τους φορείς των διχοτόμων. Η μικρότερη απόσταση αντιστοιχεί στη διχοτόμο της οξείας.

Πράγματι, από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων KAM,KBM έχουμε ότι MA<MB\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \hat{K_1}<\hat{K_2}\Leftrightarrow 2\hat{K_1}<2\hat{K_2}.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, θεωρούμε το σημείο \displaystyle{M\left(0,\frac{1}{4}\right)} της 3x+4y-1=0 και έχουμε

\displaystyle{MA=\frac{\big|0-16\cdot \frac{1}{4}-1\big|}{\sqrt{4+256}}=\frac{5}{\sqrt{260}}=\frac{5}{2\sqrt{65}}=\frac{20}{8\sqrt{65}}} και

\displaystyle{MB=\frac{\big|0+8\cdot \frac{1}{4}+33\big|}{\sqrt{64^2+8^2}}=\frac{35}{\sqrt{8^2(8^2+1)}}=\frac{35}{8\sqrt{65}}>MA}
Συνημμένα
dixotomoi-2.png
dixotomoi-2.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές
Γιώργος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάκης Χατζόπουλος

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος »

Άσκηση 2
Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με {\rm A}\left( {1, - 2} \right),{\rm B}\left( {5,4} \right),\Gamma \left( { - 2,0} \right). Να βρεθεί η εξίσωση της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας {\hat {\rm A}}

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Σημείωση: Η περίπτωση αυτή είναι λίγο διαφορετική από την προηγούμενη, ας δούμε λύση και την συζητάμε μετά. Ημερ. λήξης: 15/2/2012
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6238
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία parmenides51

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 »

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 2
Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με {\rm A}\left( {1, - 2} \right),{\rm B}\left( {5,4} \right),\Gamma \left( { - 2,0} \right). Να βρεθεί η εξίσωση της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας {\hat {\rm A}}
ίδιο σκεπτικό άλλα νούμερα εδώ
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάκης Χατζόπουλος

Re: Ποια είναι "μέσα" και ποια "έξω"; Β Λυκείου (Κατέ)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος »

Παρμ έχεις ξανά δίκιο!

Αλλά ας την αφήσουμε για τους μαθητές ως προπόνηση, αφού κάποιες από τις λύσεις που βλέπω εδώ μπορεί να μην ταιριάζουν! Καλό είναι όσοι δεν γνωρίζουν αυτό το είδος ασκήσεων, να κοιτάξουν πρώτα την παραπομπή και μετά να προσπαθήσουν.
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης