Πως εξηγούμε στους μαθητές την έννοια της παραμέτρου;

[STOPJOHN]

Το θέμα προέρχεται από διάσπαση του θέματος
viewtopic.php?f=28&t=21405
που κρίθηκε αναγκαία για να διευκολυνθεί η συζήτηση.
Γ.Σ.

Καλησπέρα ,στα μέλη του mathematica πιστεύω ότι η συζήτηση με προσωπική αντιπαράθεση δεν βοηθάει τους προβληματισμούς για τη διδασκαλεία των Μαθηματικών.Οι τίτλοι που έχει ο καθένας ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ ΑΝΑΓΚΑΊΑ ΚΑΙ ΙΚΑΝΉ ΣΥΝΘΉΚΗ για να είμαστε καλοί δάσκαλοι . Απαραίτητα και άλλα στοιχεία Παιδαγωγικών και Διδακτικής και το σημαντικότερο να κάνουμε τη δουλειά μας με μεράκι , χωρίς μεγαλοστομίες . Για να ξεφύγουμε λίγο ,αν μου επιτρέπεται, θα πω ένα άλλο θέμα που με είχε απασχολήσει .Στη διδασκαλεία της Άλγεβρας Α Λυκείου και στην ενότητα παραμετρικές εξισώσεις ,πρωτοβάθμιες , πως εξηγούμε στους μαθητές την έννοια της παραμέτρου; Αφού λύνουμε απλές η σύνθετες ασκήσεις ,χωρίς ,παράμετρο το επόμενο βήμα είναι η παραμετρική εξίσωση .
Τι είναι η παράμετρος ; ένα γράμμα που καθορίζει τη λύση της άσκησης και πόσες λύσεις έχει.Στη συνέχεια παραδείγματα και εφαρμογές . Ερώτηση μαθητή (μέτριος) Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΑ ΠΟΥ ΕΠΕΣΕ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΥΡΑΝΟ ΚΑΙ ΛΕΕΙ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΟΣ; Αιφνιδιάστηκα από την πολύ καλή ερώτηση ,δεν είχα χρόνο και του υποσχέθηκα στο επόμενο μάθημα να συζητηθεί.
Το παραπάνω πρόβλημα είναι γενικότερο και συσχετίζεται με τις εφαρμογές των Μαθηματικών και τι έννοιες ....το αφήνω να αιωρείται......
Καλό βράδυ
Γιάννης

[kalfokat]

.......
Τι είναι η παράμετρος ; ένα γράμμα που καθορίζει τη λύση της άσκησης και πόσες λύσεις έχει.Στη συνέχεια παραδείγματα και εφαρμογές . Ερώτηση μαθητή (μέτριος) Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΑ ΠΟΥ ΕΠΕΣΕ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΥΡΑΝΟ ΚΑΙ ΛΕΕΙ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΟΣ; Αιφνιδιάστηκα από την πολύ καλή ερώτηση ,δεν είχα χρόνο και του υποσχέθηκα στο επόμενο μάθημα να συζητηθεί.
Το παραπάνω πρόβλημα είναι γενικότερο και συσχετίζεται με τις εφαρμογές των Μαθηματικών και τι έννοιες ....το αφήνω να αιωρείται......
Καλό βράδυ
Γιάννης

Μερικές φορές η φαντασία των παιδιών "οπτικοποιεί" με πολύ ενδιαφέρων τρόπο τα αλγεβρικά εργαλεία.
Ως μαθήτρια γυμνασίου, το "χ εν ερ" που άκουγα από τον καθηγητή μου το φανταζόμουν σαν τον Πήγασο..Τον έβλεπα να καλπάζει ασταμάτητα πάνω σε μια ευθεία σιδηροτροχιά, που χανόταν σε ένα ομιχλώδες τοπίο κι από τις δυο κατευθύνσεις..
Φανταστική εικόνα και πολύ δυνατή για να εκφράζει έναν πραγματικό αριθμό που μεταβάλλεται πάνω στον άξονα.
Στις εξισώσεις της Α' πιστεύω ότι πρώτα θα έπρεπε να εξηγηθεί στοιχειωδώς για ποιο λόγο μαθαίνουμε να λύνουμε τις εξισώσεις. Προσωπικά αφιερώνω λίγο χρόνο, ένα εισαγωγικό μάθημα, για να εξηγήσω πώς φτάνει κανείς να λύνει εξισώσεις.. όχι βέβαια επειδή δεν έχει κάτι άλλο να κάνει, αλλά επειδή στο βάθος ενδιαφέρεται για τις συναρτήσεις που περιγράφουν με κάποιον τρόπο σχεδόν ό,τι μας περιβάλλει αλλά και ό,τι εμείς κάνουμε..
Μετά με τη βοήθεια της , που περιγράφει, ας πούμε, τα χρήματα που θα πληρώσω για μηνύματα σε μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας που έχει πάγιο και κόστος λεπτά/μήνυμα, γίνεται σχεδόν σαφής ο διαφορετικός ρόλος της μεβλητής και της παραμέτρου που είναι ένα άλλο είδος "μεταβλητής" για τις τιμές της οποίας δεν αποφασίζω εγώ αλλά η εταιρεία της κινητής τηλεφωνίας.
Γενικά είμαι της άποψης πως πριν αρχίσει η εκμάθηση της διαδικασίας, δηλαδή το "πώς;" πρέπει να γίνεται σαφές το "τι;" και το "γιατί;". Κι όχι μόνο στην Α', που σίγουρα είναι πολύ "ευαίσθητη" τάξη, αλλά και στη Β'.
Δυστυχώς τίποτα δεν είναι σαφές και αυτονόητο ή γνωστό από προηγούμενες τάξεις παρά μόνο για ελάχιστους μαθητές..
Το παρήγορο είναι πως πάντα βρίσκονται κάποια παιδιά που ρωτούν να μάθουν κάτι περισσότερο, σαν τον μαθητή που αναρωτήθηκε από πού το ήρθε ουρανοκατέβατη η παράμετρος! Εγώ θα του έλεγα, επηρεασμένη από τα παραδείγματα που δίνω συνήθως με την κινητή τηλεφωνία, πως είναι ένα γράμμα για τις τιμές του οποίου αποφασίζει κάποιος Κόκκαλης!

Καλό βράδυ
Κ.Κ.

[Α.Κυριακόπουλος]

Η δημοσίευση προέρχεται από διάσπαση δημοσίευσης που έγινε στο θέμα
viewtopic.php?f=28&t=21405
Γ.Σ.

Μερικές φορές η φαντασία των παιδιών "οπτικοποιεί" με πολύ ενδιαφέρων τρόπο τα αλγεβρικά εργαλεία.
Ως μαθήτρια γυμνασίου, το "χ εν ερ" που άκουγα από τον καθηγητή μου το φανταζόμουν σαν τον Πήγασο..Τον έβλεπα να καλπάζει ασταμάτητα πάνω σε μια ευθεία σιδηροτροχιά, που χανόταν σε ένα ομιχλώδες τοπίο κι από τις δυο κατευθύνσεις..
Φανταστική εικόνα και πολύ δυνατή για να εκφράζει έναν πραγματικό αριθμό που μεταβάλλεται πάνω στον άξονα.
Στις εξισώσεις της Α' πιστεύω ότι πρώτα θα έπρεπε να εξηγηθεί στοιχειωδώς για ποιο λόγο μαθαίνουμε να λύνουμε τις εξισώσεις. Προσωπικά αφιερώνω λίγο χρόνο, ένα εισαγωγικό μάθημα, για να εξηγήσω πώς φτάνει κανείς να λύνει εξισώσεις.. όχι βέβαια επειδή δεν έχει κάτι άλλο να κάνει, αλλά επειδή στο βάθος ενδιαφέρεται για τις συναρτήσεις που περιγράφουν με κάποιον τρόπο σχεδόν ό,τι μας περιβάλλει αλλά και ό,τι εμείς κάνουμε..
Μετά με τη βοήθεια της y=ax+β, που περιγράφει, ας πούμε, τα χρήματα που θα πληρώσω για χ μηνύματα σε μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας που έχει πάγιο β και κόστος a λεπτά/μήνυμα, γίνεται σχεδόν σαφής ο διαφορετικός ρόλος της μεβλητής και της παραμέτρου που είναι ένα άλλο είδος "μεταβλητής" για τις τιμές της οποίας δεν αποφασίζω εγώ αλλά η εταιρεία της κινητής τηλεφωνίας.
Γενικά είμαι της άποψης πως πριν αρχίσει η εκμάθηση της διαδικασίας, δηλαδή το "πώς;" πρέπει να γίνεται σαφές το "τι;" και το "γιατί;". Κι όχι μόνο στην Α', που σίγουρα είναι πολύ "ευαίσθητη" τάξη, αλλά και στη Β'.
Δυστυχώς τίποτα δεν είναι σαφές και αυτονόητο ή γνωστό από προηγούμενες τάξεις παρά μόνο για ελάχιστους μαθητές..
Το παρήγορο είναι πως πάντα βρίσκονται κάποια παιδιά που ρωτούν να μάθουν κάτι περισσότερο, σαν τον μαθητή που αναρωτήθηκε από πού το ήρθε ουρανοκατέβατη η παράμετρος! Εγώ θα του έλεγα, επηρεασμένη από τα παραδείγματα που δίνω συνήθως με την κινητή τηλεφωνία, πως είναι ένα γράμμα για τις τιμές του οποίου αποφασίζει κάποιος Κόκκαλης!
Καλό βράδυ
Κ.Κ.

1) Δεν είναι σωστό να περνάμε στους μαθητές το μήνυμα ότι φθάνουμε να λύνουμε εξισώσεις επειδή στο βάθος ενδιαφερόμαστε για τις συναρτήσεις!!! (πρώτα μαθαίνουμε την έννοια της συνάρτησης και μετά την έννοια της εξίσωσης).
2) Δεν είναι σωστό να συγχέουμε την έννοια των συντελεστών και μιας γραμμικής συνάρτησης: με την έννοια της παραμέτρου σε μια εξίσωση!!! ( πρόκειται για δύο τελείως διαφορετικές έννοιες).
3) Δεν είναι σωστό να περνάμε στους μαθητές το μήνυμα ότι: « παράμετρος σε μια εξίσωση είναι ένα γράμμα τις τιμές του οποίου αποφασίζει κάποιος κύριος Κ!!!». Τότε, για παράδειγμα ,για να απαντήσουμε αν η εξίσωση: έχει πραγματικές ρίζες και πόσες ,θα πρέπει να ρωτάμε τον κύριο Κ ποια τιμή έχει αποφασίσει να δώσει στην παράμετρο !!! Άντε και τον ρωτάμε. Για τις άλλες τιμές του δεν μπορούμε να απαντήσουμε;

[Γιώργος Ρίζος]

1) Δεν είναι σωστό να περνάμε στους μαθητές το μήνυμα ότι φθάνουμε να λύνουμε εξισώσεις επειδή στο βάθος ενδιαφερόμαστε για τις συναρτήσεις!!! (πρώτα μαθαίνουμε την έννοια της συνάρτησης και μετά την έννοια της εξίσωσης).

Στην Α Γυμνασίου Διδάσκονται εξισώσεις, όχι όμως συναρτήσεις!
Η Β΄ Γυμνασίου ξεκινά με εξισώσεις και οι συναρτήσεις εισάγονται στο 3ο κεφάλαιο
Η Γ΄ Γυμνασίου έχει στο 2ο κεφάλαιο εξισώσεις και στο 4ο συναρτήσεις
Η Α΄ Λυκείου έχει στο 3ο κεφάλαιο εξισώσεις (σελ 79) και στο 6ο Συναρτήσεις (σελ 145)

Νόμιζα ότι πρώτα διδάσκονται οι εξισώσεις. Κάτι δεν κατάλαβα καλά;

2) Δεν είναι σωστό να συγχέουμε την έννοια των συντελεστών και μιας γραμμικής συνάρτησης: με την έννοια της παραμέτρου σε μια εξίσωση!!! ( πρόκειται για δύο τελείως διαφορετικές έννοιες).

Συχνά χρησιμοποιώ ασκήσεις όπως η παρακάτω στην τάξη:

Η τρέχουσα τιμή της μονάδας της εταιρείας που μού παρέχει υπηρεσίας κινητής τηλεφωνίας είναι 0,05 ευρώ. Το πάγιο είναι ευρώ.

Πλήρωσα ευρώ (δίχως φόρο κι άλλες προσαυξήσεις). Πόσες μονάδες έγραψε ο μετρητής μου;

Ποια συνάρτηση δίνει το τρέχον κόστος για κατανάλωση μονάδων δίχως φόρο κι άλλες προσαυξήσεις της παραπάνω εταιρείας;

Η τρέχουσα τιμή της μονάδας και το πάγιο εξαρτώνται από τον αριθμό των μονάδων που καταναλώνω ή μεταβάλλονται ανεξάρτητα αυτού;

Μπορώ να επιλύσω την εξίσωση γραφικά, χρησιμοποιώντας τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και , δίνοντας στις παραμέτρους τις τρέχουσες τιμές των τιμολογίων και στο το κόστος που (π.χ.) δεν θα ήθελα να υπερβώ; (Μάλιστα χρησιμοποιούμε και τις δυνατότητες του Geogebra, πειραματιζόμανοι με διάφορες τιμές).

Η παραπάνω διατύπωση περί σύγχυσης των εννοιών των συντελεστών μιας συνάρτησης και των παραμέτρων μιας εξίσωσης με προβληματίζει. Θα ζητήσω περισσότερες διευκρινήσεις καθώς και σχολιασμό της άσκησης που χρησιμοποιώ στην τάξη.

3) Δεν είναι σωστό να περνάμε στους μαθητές το μήνυμα ότι: « παράμετρος σε μια εξίσωση είναι ένα γράμμα τις τιμές του οποίου αποφασίζει κάποιος κύριος Κ!!!». Τότε, για παράδειγμα ,για να απαντήσουμε αν η εξίσωση: έχει πραγματικές ρίζες και πόσες ,θα πρέπει να ρωτάμε τον κύριο Κ ποια τιμή έχει αποφασίσει να δώσει στην παράμετρο !!! Άντε και τον ρωτάμε. Για τις άλλες τιμές του δεν μπορούμε να απαντήσουμε;

Θα το μπορούσαμε να το πούμε στα παιδιά αλλιώς: Ο κύριος Κ. έχει Ιώβεια υπομονή. Μπορούμε να του κάνουμε πολλές ερωτήσεις και μάς απαντά σε όλες! Αυτό σημαίνει διερευνώ τις τιμές της παραμέτρου καθώς διατρέχει το Σύνολο στο οποίο ορίζεται.
Οπότε: Αν ή έχει δύο διακριτές πραγματικές ρίζες, αν δεν έχει καμμία, ενώ αν ή έχει μία διπλή ρίζα.

Ας παραβλέψω την υποβόσκουσα ειρωνεία που διαπερνά το υποθετικό ερώτημα περί κυρίου Κ. σημειώνοντας το εξής:
Άλλο πράγμα ΠΡΩΤΟΠΑΡΟΥΣΙΑΖΩ την έννοια της παραμέτρου στα παιδιά κι άλλο λύνω Δευτεροβάθμια εξίσωση με Παράμετρο στην Α΄ Λυκείου. Υπάρχει μεταξύ τους χρονική διαδρομή ικανή, ώστε αλλιώς να δουλεύουμε όταν φτάσουμε εκεί.

[STOPJOHN]

Καλησπέρα ,στα μέλη του mathematica που μετέχουν στην ενδιαφέρουσα συζήτηση για την έννοια της παραμέτρου και πως διδάσκεται
Δυστυχώς, δεν έχω την εμπειρία από τα Μαθηματικά του Γυμνασίου για να γνωρίζω τις προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών μου της Α Λυκείου. Πιστεύω ότι στο Λύκειο η έννοια της παραμέτρου πρέπει υποχρεωτικά να παρουσιάζεται από πραγματικά προβλήματα π.χ από τη Φυσική ένας τύπος της ταχύτητας κρατάμε σταθερό το διάστημα μέ άγνωστη την ταχύτητα τι ρόλο παίζει ο χρόνος; με αριθμητικά παραδείγματα θα είναι διαφωτιστική η έννοια της παραμέτρου. Υπάρχουν πολλά παρόμοια προβλήματα που δείχνουν το ρόλο των Μαθηματικών και είναι πολύ σημαντικά να τα πούμε στα παιδιά .Τώρα θα ρωτήσει κάποιος εσύ πως τα έχεις διδάξει στην τάξη σου; Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΟΥ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΣΠΑΝΙΟΤΑΤΑ ΕΧΩ ΔΩΣΕΙ ΤΕΤΟΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΟΥς ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΟΥ .Γιατί ; Δουλεύω στην Τάξη φορμαλιστικά και τυποποιημένα και δεν έχω τον χρόνο να τελειώσω την ύλη της Α Τάξης Λυκείου και το σημαντικότερο οι καθηγητές μου (οι καλοί) ποτέ δεν έκανα τέτοια ανοίγματα στην ύλη που για μένα είναι απαραίτητα . Κάτι τελευταίο που θεωρώ σημαντικό .Είχα ρωτήσει καθηγητή στο Πανεπιστήμιο τον Κ.Ζαχαρίου για τις εφαρμογές των Μαθηματικών και μου έδωσε σοφή απάντηση : Υπάρχει ένα πρόβλημα στη ζωή μας και δημιουργούμε τις Μαθηματικές θεωρίες για να το λύσουμε π.χ θέλω να υπολογίσω το εμβαδόν τραπεζίου έχω την αντίστοιχη θεωρία ; Όχι; να την δημιουργήσουμε .....(πήγα πολύ πίσω στους Αρχαίους Αιγύπτιους και όχι μόνο ) Έχω την αίσθηση,αλλά δεν είμαι σίγουρος ότι η Κατερίνα Καλφόπουλου προσπάθησε με κάποιο παρόμοιο τρόπο να εξηγήσει την έννοια της παραμέτρου ,η ίδια μπορεί να μας πει.

φιλικά
Γιάννης

[bilstef]

Θα παρακαλούσα τον Αγαπητό Αντώνη να απαντήσει στην
"Ερώτηση μαθητή (μέτριος) Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΑ ΠΟΥ ΕΠΕΣΕ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΥΡΑΝΟ ΚΑΙ ΛΕΕΙ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΟΣ;"

Αναμένω όλος αυτιά -μάτια και με πολύ ενδιαφέρον ως μαθητούδι
Φιλικά

[S.E.Louridas]

Μία άποψη από το λεξικό, θα μπορούσε να γίνει κατ' αρχήν μία τέτοια αναφορά;
Προσωπικά με έχουν ρωτήσει αρκετές φορές φοιτητές, μαθητές, αλλά και συνάδελφοι σε σεμηνάρια επιμόρφωσης που είχα την τύχη να συντονήσω, γιατί την τάδε Μαθηματική έννοια την ονομάσαμε έτσι;

Παράμετρος:
Μεταβλητό μέγεθος με τιμές που χρησιμεύουν για τη διάκριση των στοιχείων κάποιου συνόλου μεταξύ τους.


S.E.Louridas

[ghan]

Η συνεργασία Φιλολόγων και Μαθηματικών είναι αναγκαία.

Λεξικό ΙΩΑΝ. ΣΤΑΜΑΤΑΚΟΥ.

Παράμετρος: ποσότης χρησιμοποιουμένη ως μέτρον προς σύγκρισιν (παραμέτρησιν) άλλων ποσοτήτων.
Μαθ.: ποσότης δι’ ής ορίζεται συνάρτησίς τις εν τη αναλυτική παραστάσει (εξισώσει, ολοκληρώματι κ.τ.ό.).

[Α.Κυριακόπουλος]

Θα παρακαλούσα τον Αγαπητό Αντώνη να απαντήσει στην
"Ερώτηση μαθητή (μέτριος) Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΑ ΠΟΥ ΕΠΕΣΕ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΥΡΑΝΟ ΚΑΙ ΛΕΕΙ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΟΣ;"
Αναμένω όλος αυτιά -μάτια και με πολύ ενδιαφέρον ως μαθητούδι
Φιλικά

Αγαπητέ Βασίλη.
Στον ουρανό δεν υπάρχουν γράμματα, ούτε άλλα σύμβολα. Αυτά που υπάρχουν στη γη εμείς καθορίζουμε με σαφήνεια το ρόλο που τους αναθέτουμε να παίξουν στα μαθηματικά και όχι μόνο. Δεν έχουμε λοιπόν παρά να πούμε στους μαθητές απλά, σωστά και κατανοητά ποιο ρόλο τους αναθέτουμε να παίζουν κάθε φορά. Να είσαι σίγουρος ότι οι μαθητές θα καταλάβουν.
Φιλικά.

[Α.Κυριακόπουλος]

Η συνεργασία Φιλολόγων και Μαθηματικών είναι αναγκαία.
Λεξικό ΙΩΑΝ. ΣΤΑΜΑΤΑΚΟΥ.
Παράμετρος: ποσότης χρησιμοποιουμένη ως μέτρον προς σύγκρισιν (παραμέτρησιν) άλλων ποσοτήτων.
Μαθ.: ποσότης δι’ ής ορίζεται συνάρτησίς τις εν τη αναλυτική παραστάσει (εξισώσει, ολοκληρώματι κ.τ.ό.).

Από τα λεξικά και τις εγκυκλοπαίδειες θα μάθουμε τις μαθηματικές έννοιες; Τις περισσότερες φορές αυτοί που τα γράφουν δεν είναι καν μαθηματικοί!!!

[bilstef]

Αγαπητέ Αντώνη
εξακολουθώ να αναζητώ την Βοήθειά σου-απάντησή σου στην ερώτηση του ΜΑΘΗΤΗ -ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΤΗ
" Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΑ ΠΟΥ ΕΠΕΣΕ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΥΡΑΝΟ ΚΑΙ ΛΕΕΙ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΟΣ;"
Αναμένω όλος αυτιά -μάτια και με πολύ ενδιαφέρον ως μαθητούδι
Φιλικά

[S.E.Louridas]

Μεταφορά της αρχικής άποψης μου γιά την διδασκαλία της έννοιας της παραμέτρου (πάντα υπό κρίση), εδώ μετά από προτροπή των Γενικών συντονιστών (και σωστά).

Τελεια, τέλεια, τέλεια γιατί τώρα αρχίζει ο διάλογος ουσίας και πρέπει να συνεχιστεί για να βρεθεί καποια άκρη.
Και για να βρεθεί κάποια άκρη θα πρέπει οι συμμετέχοντες να κάνουν ένα big delete στην πιθανή υποβόσκουσα μέσα τους εντύπωση, ότι οι ίδιοι παρ' όλo που έχουν και μερικές ατέλειες (άνθρωποι γάρ) τα έχουν τακτοποιήσει όλα και επομένως αρκεί οι άλλοι να πειστούν.
Άν ο κάθε ένας από τους συμμετέχοντες πιστεύει έτσι, τότε κυκλικά έρχεται η απάντηση της μή απάντησης και τελικά της γραφικότητας.
Και επειδή το θέμα τελικά πρέπει να επικεντρωθεί στην ειδική διδακτική (δεν θεωρώ προσωπικά ότι υπάρχει λόγος για να το αποφεύγουμε) ας επαναφέρουμε το ειδικό ερώτημα προς συζήτηση, στην εδώ κουβέντα μας:
ΠΩΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΓΝΩΜΗ ΣΑΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΕΡΑΣΟΥΜΕ ΔΙΔΑΚΤΙΚΑ ( ΧΩΡΙΣ Η ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΑΥΣΤΗΡΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΣΗΜΑΣΙΑΣ) ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ, ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΙΚΡΕΣ ΕΩΣ ΤΙΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΣ ΤΑΞΕΙΣ, ΩΣΤΕ ΝΑ ΑΓΓΙΞΟΥΜΕ ΣΤΗΝ ΠΟΡΕΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ;
Μία πρώτη προσωπική μου άποψη είναι να ξεκινήσουμε από την ερμηνεία της λέξης που αποδίδει την αντίστοιχη Μαθηματική έννοια (γιατί επιλέξαμε αυτή τη λέξη;) που δίνει ένα σοβαρό λεξικό (ή και περισσότερα) και να κτίσουμε από εκεί. Φανταστείτε τι μπορεί να συμβεί άν οι Μαθηματικές έννοιες δεν είναι συμβατές (δεν μιλούμε για ταυτοσημότητα) με την γλώσσα που χρησιμοποιούμε γιά να τις αποδώσουμε.

S.E.Louridas

[kalfokat]

Καλησπέρα ,στα μέλη του mathematica που μετέχουν στην ενδιαφέρουσα συζήτηση για την έννοια της παραμέτρου και πως διδάσκεται...
Είχα ρωτήσει καθηγητή στο Πανεπιστήμιο τον Κ.Ζαχαρίου για τις εφαρμογές των Μαθηματικών και μου έδωσε σοφή απάντηση : Υπάρχει ένα πρόβλημα στη ζωή μας και δημιουργούμε τις Μαθηματικές θεωρίες για να το λύσουμε π.χ θέλω να υπολογίσω το εμβαδόν τραπεζίου έχω την αντίστοιχη θεωρία ; Όχι; να την δημιουργήσουμε .....(πήγα πολύ πίσω στους Αρχαίους Αιγύπτιους και όχι μόνο ) Έχω την αίσθηση,αλλά δεν είμαι σίγουρος ότι η Κατερίνα Καλφόπουλου προσπάθησε με κάποιο παρόμοιο τρόπο να εξηγήσει την έννοια της παραμέτρου ,η ίδια μπορεί να μας πει.

φιλικά
Γιάννης

Καλησπέρα!

Δεν νομίζω ότι πήγατε πολύ πίσω! Η μέθοδος αυτή της επινόησης δεν αφορά μόνο τους Αρχαίους Αιγύπτιους ή τους Σουμέριους και τους Βαβυλώνιους κλπ. Αφορά την ίδια την επινόηση. Όταν όλα τα προβλήματα είναι λυμένα δεν χρειάζεται να επινοούμε τίποτα. Η πολιτισμική πίεση, όπως και άλλα είδη πιέσεων, ωθούν το πνεύμα σε αναζήτηση νέων εργαλείων (υλικών ή πνευματικών) και εναλλακτικών μεθόδων. Ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης στο 27ο Συνέδριο της ΕΜΕ στη Χαλκίδα, έκανε σαφές ότι βρίσκονται (οι επιστήμονες του κλάδου του) σε φάση που δεν τους αρκούν τα "μαθηματικά εργαλεία" που διαθέτουν. Την ίδια θέση άκουσα σε μια άλλη ομιλία από τον στατιστικό Γιάννη Κοντογιάννη. Η διαχείριση της πληροφορίας έχει φτάσει σε ένα σημείο, όπου απαιτούνται νέα μαθηματικά για να προχωρούσουν παρά πέρα. Σπρώχνουν οι καταστάσεις τις επιστήμες και οι επιστήμες τις καταστάσεις..
Αυτά τα λέω στους μαθητές μου με κάθε ευκαιρία. Σήμερα ρώτησα (6η ώρα, Γεωμετρία Β Λυκείου, με αφορμή μια άσκηση εμβαδών με διάμεσο τριγώνου), αν θα μπορούσαν με αναδιπλώσεις να χωρίσουν μια κόλλα Α4 σε οκτώ ίσα μέρη. Το βρήκαν όλοι και χάρηκαν. Μετά ρώτησα αν μπορούν να τη διπλώσουν και να πάρουν δώδεκα ίσα μέρη. Άρχισαν να μαλώνουν μεταξύ τους. Άλλοι έλεγαν γίνεται άλλοι δεν γίνεται. Κάποιοι επέμεναν "στη μέση και ξανά στη μέση και μετά πάλι στη μέση..." Τέλος ζήτησε ένας μαθητής μειωμένης γενικά απόδοσης που σχεδόν ποτέ δεν συμμετέχει να σηκωθεί να μας δείξει τη λύση του στον πίνακα. Του είπα να σηκωθεί. Εφάρμοσε τη γνωστή μέθοδο των παραλλήλων για τον χωρισμό ενός ευθύγραμμου τμήματος σε ν ίσα μέρη και χώρισε έτσι την υποτιθέμενη βάση του ορθογωνίου (του υποτιθέμενου Α4, που είχε ζωγραφίσει στον πίνακα) σε 12 ίσα μέρη. Μετά γύρισε και μου είπε: ε, τώρα άμα φέρω τις κάθετες στα σημεία αυτά, τότε θα έχω δώδεκα ίσα ορθογώνια. Είχα πει να λύσουν το πρόβλημα με αναδιπλώσεις του χαρτιού ή, σε περίπτωση που πιστεύουν ότι δεν λύνεται έτσι, να απαντήσουν αρνητικά και προς στιγμήν αναρωτήθηκα πως να αντιμετωπίσω την - κατά τα άλλα σωστή - λύση του μαθητή. Εννοείται πως, εν τέλει τον επιβράβευσα για την επινοητικότητά του και τους εξήγησα πως γινόμαστε επινοητικοί ( εφόσον διαθέτουμε τα προσόντα: γνώσεις, ευφυία, ενόραση, διαλακτικότητα κλπ) μπροστά σε προβλήματα που καλούμαστε να λύσουμε. Κι αυτό συμβαίνει, τηρουμένων των αναλογιών, είτε είμαστε αρχαίοι αιγύπτιοι είτε νεαροί και (συνήθως αμέτοχοι στο μάθημα της Γεωμετρίας) μαθητές της Β'.

Και για να επιστρέψω στις "παραμέτρους" που είναι το θέμα της συζήτησης, πρέπει να πω ότι τα "γράμματα", εν γένει, στα Μαθηματικά αποτελούν μια συνεχή δυσκολία στους μαθητές είτε είναι στην Α΄ Λυκείου είτε ακόμη παραπάνω.
Οι μεταβλητές, οι παράμετροι, οι γενικευμένοι αριθμοί, τα αντικείμενα (π.χ. α, β, γ πλευρές τριγώνου) που μπορεί να δηλώνουν δεν γίνονται εύκολα κατανοητά στους μαθητές και σε κάποιους δεν γίνονται ποτέ κατανοητά.
Γι' αυτό, κύριε Σταματογιάννη, εγώ προσωπικά αφότου άρχισα να διδάσκω σε Δημόσιο Λύκειο εγκατέλειψα σταδιακά την αφοσίωσή μου στον φορμαλισμό, αυτήν που με διακατείχε όσο δίδασκα στο φροντιστήριο σε υποψήφιους.
Αρκετοί μαθητές μαθαίνουν τη διαδικασία, π.χ. επίλυσης παραμετρικών εξισώσεων, αλλά είτε λόγω multitasking είτε λόγω ελειμματικής κατανόησης του ρολου των γραμμάτων που περιέχονται σ'αυτές, δεν τη θυμούνται για πολύ. Το παρατηρούμε συνεχώς στην τάξη μας. Γι΄ αυτό, αποφεύγω να βάλω τον φορμαλισμό στη ζωή τους, αν δεν βάλω πρώτη ... τη ζωή τους στο φορμαλισμό! Εννοώ αν δεν προσπαθήσω να δώσω στα γράμματα εικόνες από την καθημερινότητά τους, όπως το κινητό τους για παράδειγμα, που ωραία και εκτενώς αναλύει και ο κος Ρίζος πιο πάνω.
Εκτός από την κινητή τηλεφωνία, χρησιμοποιώ και παραδείγματα από το βενζινάδικο, οι τιμές της αμόλυβδης, της απλής, του πετρελαίου κίνησης, παράμετροι, τα λίτρα της βενζίνης μεταβλητή..
(Γιατί στον βενζινά λέμε 'βάλτε μου 30 ευρώ', ενώ στον μανάβη λέμε "δώστε μου τρία κιλά πορτοκάλια"; Ποιος αποφασίζει την τιμή του λίτρου της βενζίνης; Και τέτοια διάφορα, ανάλογα με την ώρα και το τμήμα.)
Αλλά αν αυτά τα βρίσκετε απλοϊκά ή παιδαριώδη για μαθητές της Α', τότε σας προτείνω να κάνετε το εξής πείραμα:
Γράψτε στον πίνακα, σε ένα τμήμα της Β' Λυκείου, την ώρα της Άλγεβρας y=ax+β και "ρωτήστε" τι είναι τα a, β, x, y.
Ύστερα ρωτήστε τι θα προκύψει αν μηδενίσουν το a. Μην διακόψετε τα σχόλια και τις απαντήσεις τους, αφήστε τους να το αναπτύξουν. Μετά πιάστε το από την αρχή και ζητήστε να μηδενίσουν το x. Ρωτήστε τι προκύπτει. Αν δεν είσαστε ο τύπος του καθηγητή που απαιτεί από την αρχή τη μία και μόνη σωστή απάντηση, αλλά αφήνετε περιθώριο να ακουστούν οι διάφορες εκδοχές των διάφορων μαθητών, χωρίς να σχολιάζετε το σωστό και το λάθος (με την ανέκφραστη φάτσα ενός μυθιστορηματικού χαρτοπαίκτη δηλαδή ), τότε - από το πείραμα αυτό - θα καταλάβετε ότι πολύ συχνά δεν έχουμε ιδέα ποιος είναι ο Γιάννης που καλούμαστε να του διδάξουμε Μαθηματικά στο Λύκειο, μέσα σε μια τριαντάρα τάξη, όπου υπάρχει κάθε είδους μαθητή και κάθε είδους προσωπικότητα.

Ίσως αυτό το τελευταίο να είναι που δίνει ακόμη περισσότερη γοητεία στη δουλειά μας.
Καλό απόγευμα

[STOPJOHN]

Καλησπέρα,στα μέλη του mathematica που παρακολουθούν τη συζήτηση για την έννοια της παραμέτρου. Το πρόβλημα μας είναι πως θα βοηθήσουμε τους μαθητή μας αποτελεσματικά στην κατανόηση της έννοιας παράμετρος στα Μαθηματικά.Πιστεύω ότι το καθοριστικό σημείο είναι να γίνουν συγκεκριμένα παραδείγματα από την καθημερινή μας ζωή και στη συνέχεια να πάμε στο φορμαλιστικό μέρος του προβλήματος .'Έχουνε ,ήδη αναφερθεί προβλήματα αυτο'υ του ε'ιδους . Ο φορμαλισμός ε'ιναι απαραίτητος στα Μαθηματικά εφόσον οι μαθητές έχουνε κατανοήσει τις έννοιες . Νομίζω ότι είμαι ακριβής στις θέσεις μου .Η κατάχρηση του φορμαλισμού δεν βοηθάει τους μαθητές μας αλλ'α κ.Καλφόπουλου έχω ήδη γράψει τις αιτίες που μας αναγκάζουν να χρησιμοποιούμε τον φορμαλισμό.Η λογική μου ε'ιναι να ελαχιστοποιώ την τυποποίηση ΔΕΝ ΤΟ ΠΕΤΥΧΑΊΝΩ ΠΆΝΤΟΤΕ ΕΊΝΑΙ ΤΟ ΜΕΙΟΝΈΚΤΗΜΑ ΜΟΥ .Δεν πιστεύω ΄ότι υπάρχει στους Μαθηματικούς η λογική της μιας μόνο σωστής απάντησης , ο'υτε υπάρχουνε παιδαριώδη παραδείγματα ΄όπως άστοχα τονίστηκε.΄εδ'ω είμαστε για να πο'υμε τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα στη διδασκαλεία της συγκεκριμένης ενότητας ΑΝ ΌΧΙ ....ΚΆΛΟ ΒΡΆΔΥ ...

Γιάννης Σ

[S.E.Louridas]

Για την Παράμετρο, με βάση τη νοοτροπία του ερωτήματος που έθεσε ο Βασίλης (bilstef):

Κατ’ αρχήν πιστεύω ακράδαντα ότι κάποιος που δεν δύναται να λειτουργήσει τις λέξεις και τα αντίστοιχα νοήματα που εκφράζουν και δεν μπορεί να συνθέσει τα νοήματα αυτά δεν είναι δυνατό να κατανοήσει τα Μαθηματικά (και όχι μόνο).
Άρα ο διδάσκων θα πρέπει να συζητά στο Μαθηματικό περιβάλλον με λιτότητα και ακρίβεια και να έχει στο μυαλό του την διαδρομή που έχει ακολουθηθεί μέχρι την έννοια που καλείται να διδάξει και βέβαια να θυμηθεί που και ό ίδιος, τότε δυσκολεύτηκε. Δηλαδή να παρουσιάζει την πλήρη ουσία με τις ελάχιστες δυνατές λέξεις και αυτό επειδή θα πρέπει νε επιδιώκει μιλά σωστά (με την έννοια της λειτουργικότητας της λογικής των λέξεων και των προτάσεων, χωρίς βέβαια την νοοτροπία των νομικών ή άλλων συναφών αφού αυτό το στυλ δεν μας κάνει εδώ στα Μαθηματικά μας).
Ένα πιθανό λάθος που γίνεται στην ειδική διδακτική είναι ότι επιχειρούμε να διδάξουμε ένα Μαθηματικό γίγνεσθαι χωρίς να λάβουμε υπ’ όψη τις προαπαιτούμενες μέχρι εκεί αναγκαίες γνώσεις, δηλαδή το μέχρι εκεί επαγωγικό κτίσιμο.
Στην εδώ κουβέντα μας, προσωπικά θα καταθέτω τις απόψεις μου με βάση και την εμπειρία μου, όντας πάντοτε έτοιμος να τις αλλάξω εν μέρει ή καθ’ ολοκληρία, αρκεί η αναγκαιότητα αυτή της πιθανής αλλαγής να είναι αποτέλεσμα ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ (απολύτως ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ και μόνο).

Προσωπικά την έννοια της ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ θα την εισήγαγα ως εξής, αφού βέβαια θα προσπαθούσα να καλύψω τα πιθανά ουσιαστικά κενά σε βασικά προαπαιτούμενα για να γίνει αυτό:
Θα έκανα μία μικρή εκλαϊκευμένη αναφορά στην λέξη «Παράμετρος» σαν λέξη και μόνο.
Στη συνέχεια θα επαναλάμβανα γρήγορα αλλά όχι σε βάρος της ουσίας πώς λύνουμε πρωτοβάθμια εξίσωση του τύπου μέσα από παραδείγματα με αριθμούς μόνο που θα συνόδευαν την μεταβλητή , για παράδειγμα θα λύναμε στην τάξη ας πούμε τις εξισώσεις που δίνουν αντίστοιχες λύσεις τις
Εκεί θα έβαζα το ερώτημα: Θα μπορούσαμε αυτές τις εξισώσεις να τις αντικαταστήσουμε από την με την συμφωνία το να είναι υποχρεωμένο να παίρνει τις τιμές από τη συλλογή μας {2, 5, 4};
Χωρίς βέβαια στην αρχή να αναφερθώ στην λεκτική απόδοση: « Να παίρνει τιμές από το σύνολο {2, 5, 4}», αυτό το αφήνω για άλλη ώρα. Ακολουθούν παραδείγματα και μία παρότρυνση να κατασκευάσουν και οι μαθητές παρόμοια πράγματα.
Έπειτα και σε πρώτη φάση θα τους μιλούσα για την παράμετρο ............


(*) Και μία άποψη από έναν «πεπειραμένο» παλιό τεχνίτη του είδους, από το "μαγαζί " του οποίου (και πού το "μαγαζί" αυτό υπάρχει "κυκλοφορεί" ακόμα) βγήκαν χιλιάδες τεχνίτες συνεχιστές του ίδιου είδους. Όμως τα σωστά πατήματα ανοίγουν ταυτόχρονα και τον δρόμο της εξέλιξης.

Ο Πέτρος Τόγκας, στο βιβλίο του «ΑΛΓΕΒΡΑ και ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ»,
Ημερομηνία έκδοσης, 10 – 10 – 1959 και στην σελίδα 236 (Ναι μετά από 235-σελίδες !!!!!!!).

Παραμετρικαί εξισώσεις λέγονται αι εξισώσεις, αι οποίαι έχουν, εκτός των αγνώστων, και γράμματα, τα οποία λέγονται Παράμετροι και των οποίων γραμμάτων η τιμή θεωρείται γνωστή.


S.E.Louridas

[S.E.Louridas]

ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ.

Ας μου επιτραπεί να εκθέσω την άποψη μου για τις εξισώσεις μίας μεταβλητής, έστω και χωρίς παράμετρο (θα πρέπει να ακολουθήσουν οι εξισώσεις μίας μεταβλητής με παράμετρο ή παραμέτρους για να συμπληρώνεται σιγά-σιγά το «puzzle»), αρχικά και με βάση αυτά που έχω διαμορφώσει στον ημέτερο νου για να ερευνήσουμε αφ’ ενός μεν τι άλλο υπάρχει, αφ’ ετέρου δε πώς θα περάσουμε τα πράγματα στις αντίστοιχες τάξεις με τη μέγιστη δυνατή κατανόηση που θα επικυρώνεται την ώρα της εφαρμογής.
Θεωρούμε μία παράσταση μιας μεταβλητής, έστω της , όταν η μεταβλητή διατρέχει ένα σύνολο ,το οποίο θα πρέπει να είναι Πάντοτε υπερσύνολο του Πεδίου Ορισμού της παράστασης (*) και που το σύνολο αυτό ονομάζεται Σύνολο Αναφοράς. Τη παράσταση αυτή ας τη συμβολίσουμε Αν θεωρήσουμε την ισότητα η ισότητα αυτή ονομάζεται Εξίσωση ως προς πάνω στο σύνολο
Η εξίσωση αυτή καθίσταται Πρόταση, όταν η μεταβλητή αντικατασταθεί από συγκεκριμένο στοιχείο του συνόλου Αναφοράς δηλαδή στοιχείο του συνόλου
Αν τώρα στη θέση της μεταβλητή τοποθετηθεί κάποιο από τα στοιχεία του συνόλου αναφοράς , έστω το , τότε για τη τιμή αυτή η ισότητα καθίσταται πρόταση με τιμή αλήθειας «Αληθής» (επί το «λαϊκότερο» καθίσταται Αληθής πρόταση) οπότε λέμε ότι η τιμή είναι λύση της εξίσωσης Εδώ θα πρέπει να επισημάνουμε ότι το θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να είναι στοιχείο του Πεδίου ορισμού της παράστασης:
♦ Αν υπάρχει σύνολο με την ιδιότητα: για κάθε στοιχείο του συνόλου η να καθίσταται πρόταση Αληθής και για κάθε στοιχείο του συνόλου να καθίσταται πρόταση ψευδής, τότε το σύνολο το ονομάζουμε σύνολο των λύσεων της εξίσωσης αν τότε η εξίσωση είναι Αόριστη (ή Ταυτότητα) στο σύνολο Αναφοράς
Αν η εξίσωση είναι ψευδής πρόταση για κάθε στοιχείο του συνόλου , τότε αυτή είναι Αδύνατη στο σύνολο Αναφοράς (δηλαδή δεν είναι επιλύσιμη στο ), οπότε λέμε ότι το σύνολο των λύσεων της είναι το κενό σύνολο.
Άλλο πράγμα, λοιπόν η έννοια «ΤΟ σύνολο ΤΩΝ λύσεων» της εξίσωσης και άλλο πράγμα « σύνολο λύσεων » της εξίσωσης που εν γένει είναι υποσύνολο Του συνόλου των λύσεων; (ερώτηση Μαθητή Ναι).
♦ Αν τα σύνολα είναι σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων και το σύνολο των λύσεων είναι Γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Αναφοράς , αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση μας θα έχει Άπειρες το πλήθος λύσεις στο σύνολο , χωρίς να είναι Αόριστη (ή Ταυτότητα).

(*) Αν λοιπόν μας δώσουν σε εκφώνηση: Να λυθεί η εξίσωση με μόνο δεδομένο ότι τότε το πρώτο που κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε το Πεδίο Ορισμού της παράστασης δηλαδή το ευρύτερο υποσύνολο, έστω στο οποίο η παράσταση έχει νόημα. Στη περίπτωση αυτή σαν σύνολο Αναφοράς θεωρούμε το σύνολο Πάνω στο σύνολο αυτό δηλαδή το Πεδίο ορισμού , επιλύουμε την εξίσωση δηλαδή προσδιορίζουμε το σύνολο των λύσεων της , σύμφωνα με αυτά που ήδη έχουμε αναφέρει.
Αυτά τα γενικά εκτέθηκαν για πιθανές συμπληρώσεις, αλλαγές, κριτική αλλά ΚΥΡΙΑ για τρόπους «εκλαΐκευσης τους» χωρίς το πείραγμα της Μαθηματικής ουσίας αλλά και με την στόχευση να αποτελέσουν τα υγιή θεμέλια για τη συνέχεια.
Για αυτό το μικρό αλλά Μεγάλο κομμάτι κάτω από τον τίτλο:
Εξίσωση μίας μεταβλητής, χωρίς παράμετρο

(*) Απλά διόρθωσα την λέξη υποσύνολο που εκ παραδρομής είχα γράψει, στην λέξη Υπερσύνολο που είναι το σωστό για την σχέση μεταξύ των εννοιών
Σύνολο Αναφοράς-Πεδίο ορισμού.


S.E.Louridas

[S.E.Louridas]

ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ, η εισήγηση του Αντώνη Κυριακόπουλου στην Μαθηματική Εβδομάδα στην Θεσσαλονίκη,
Ευχαριστώντας τον που την Ανάρτησε.

viewtopic.php?f=60&t=24251&p=121980#p121980


S.E.Louridas

[Α.Κυριακόπουλος]

Σωτήρη, είχα υπόψη μου να αναρτήσω την ομιλία μου: "ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ" αργότερα. Αλλά πώς να χαλάσω το χατήρι σε έναν τόσο σημαντικό και σπουδαίο συνάδελφο και φίλο. Βλέπε εδώ.

[S.E.Louridas]

Επειδή ο πλουραλισμός είναι βαθύ πιστεύω μου όπως και το να τιμούμε διαχρονικά ανθρώπους που πρόσφεραν, ψάχνοντας στα "κιτάπια" μου βρήκα κάτι και θέλησα να το μοιραστώ μαζί σας.
Δια χειρός λοιπόν Θ.Καζατζή (Θεσσαλονίκη 1974) πάνω στις εξισώσεις. Απολαύστε το σε τρία συνεχόμενα αρχεία, αφού δεν μπορούσα αλλιώς (τεχνικά) να το περάσω σαν "μονοκόματο αρχείο", παροτρύνοντας να προσεχθεί ιδιαίτερα και ο άψογος τρόπος χειρισμού της Ελληνικής Γλώσσας:
Αντικατάσταση 3 αρχείων με 1:

Kazantzis.pdf

(596.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 195 φορές

[S.E.Louridas]

Ευχαριστώ ειλικρινά τους Γενικούς συντονιστές.