Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}=4x}$

(Μέχρι 08/02/12)

dr.tasos · #2

Ο παρονομαστής δεν μηδενιζει πουθενα γιαυτο δεν χρειαζονται περιορισμοι
Για $\displaystyle{ x \in (-\infty,-1) }$ Έχω
: $\displaystyle{ \frac{-2}{-2x}=4x \Leftrightarrow 4x^2=1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2} }$ που αποριπτονται και οι δυο διοτι δεν βρισκονται στο ζητουμενο διαστημα .
Για $\displaystyle{ x \in [-1,1] }$ έχω

$\displaystyle{ \frac{x+1+x-1}{x+1-x+1}=4x \Leftrightarrow \frac{2x}{x}=4x \Leftrightarrow x= 0 }$ δεκτη .

Για $\displaystyle{ x \in (1,+\infty) }$ έχω
$\displaystyle{ \frac{2}{2x}=4x \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2} }$ . που αποριπτετονται επειδη δεν βρισκετονται στο ζητουμενο διαστημα .

Γιώργος Απόκης · #3

Ωραία Τάσο! Άλλη μία:

Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}=\frac{x}{4}}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

[quote="Γιώργος Απόκης"]Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}=4x}$

Η άσκηση λύθηκε πολύ ωραία από τον Τάσο.

Ας δούμε και αυτόν τον τρόπο.

$\displaystyle{\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}=4x}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{(\left|x+1 \right|+\left|x-1 \right|)^{2}}=4x\Leftrightarrow \frac{4x}{2x^{2}+2+2\left|x^{2}-1 \right|}=4x}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 4x(\frac{1}{2x^{2}+2+2\left|x^{2}-1 \right|}-1)=0\Leftrightarrow x=0 \acute{\eta } 2x^{2}+2+2\left|x^{2}-1 \right|=1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x=0 \acute{\eta } 2\left|x^{2}-1 \right|=-2x^{2}-1}$

Η δεύτερη είναι αδύνατη, άρα $\displaystyle{x=0}$

Φιλικά Χρήστος

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Άλλη μια διαφορετική προσέγγιση με τις ιδιότητες των κλασμάτων...

Έχουμε, $\frac{{\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 1} \right|}}{{\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|}} = \frac{{4x}}{1} \Leftrightarrow \frac{{2 \cdot \left| {x + 1} \right|}}{{\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|}} = \frac{{4x + 1}}{1} \ge 0$ άρα $x \ge - \frac{1}{4}$

Επίσης, $\frac{{\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 1} \right|}}{{\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|}} = \frac{{4x}}{1} \Leftrightarrow \frac{{ - 2 \cdot \left| {x - 1} \right|}}{{\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|}} = \frac{{4x - 1}}{1} \le 0$ άρα $x \le \frac{1}{4}$

Οπότε, $- \frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{4}$ άρα $\left| {x + 1} \right| = x + 1$ και $\left| {x - 1} \right| = - x + 1$ οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται:

$\frac{{\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 1} \right|}}{{\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|}} = 4x \Leftrightarrow \frac{{x + 1 + x - 1}}{{x + 1 - x + 1}} = 4x \Leftrightarrow \frac{{2x}}{2} = 4x \Leftrightarrow x = 0$ που είναι δεκτή.

dr.tasos · #6

Γιώργος Απόκης έγραψε:Ωραία Τάσο! Άλλη μία:

Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}=\frac{x}{4}}$

Για $\displaystyle{ x \in (-\infty,-1) }$ Έχω :

$\displaystyle{ \frac{-2}{-2x}=\frac{x}{4} \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2 }$ Η πρωτη αποριπτεται αφου δεν ειναι στο ζητουμενο διαστημα .

Για $\displaystyle{ x \in [-1,1] }$ Έχω

$\displaystyle{ \frac{2x}{2}=\frac{x}{4} \Leftrightarrow 4x=x \Leftrightarrow x=0 }$ που ειναι δεκτή

Για $\displaystyle{ x \in (1,+\infty) }$ Έχω

$\displaystyle{ \frac{2}{2x}=\frac{x}{4} \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2 }$ η δευτερη προφανως αποριπτεται ενω η πρωτη ειναι δεκτη

Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση με απόλυτα (Α' Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση