ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 20

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το αρχείο του Θάνου βρίσκει κι άλλους οπαδούς.Απόλυτα δικαιολογημένο αυτό.Προτείνω το θέμα 119.

Σε κάθε τρίγωνο ABC

αποδείξτε ότι

1. $\prod{\left(b+c \right)}\prec 8sR\left(2R+r \right)$

2. $\sum{bc\left(b+c \right)}\leq 8sR\left(R+r \right)$

3. $\sum{a^{3}}\leq 8s\left(R^{2}-r^{2} \right)$

#2

Θέτουμε

$\displaystyle{{\sigma _1}: = a + b + c = 2s}$ ,

$\displaystyle{{\sigma _2}: = ab + bc + ca = {s^2} + {r^2} + 4Rr}$ ,

$\displaystyle{{\sigma _3}: = abc = 4srR.}$

Τότε, είναι

$\displaystyle{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = {\sigma _1}{\sigma _2} - {\sigma _3} = 2s\left( {{s^2} + {r^2} + 2Rr} \right)}$ ,

$\displaystyle{ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) = {\sigma _1}{\sigma _2} - 3{\sigma _3} = 2s\left( {{s^2} + {r^2} - 2Rr} \right)},$

$\displaystyle{{a^3} + {b^3} + {c^3} = \sigma _1^3 - 3{\sigma _1}{\sigma _2} + 3{\sigma _3} = 2s\left( {{s^2} - 3{r^2} - 6Rr} \right)}$ .

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα

$\displaystyle{\boxed{{s^2} \le 3{r^2} + 4Rr + 4{R^2}}}$ $\color{red} \left( \bigstar \right)$

που αποδείχθηκε εδώ, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le 4s\left( {2{R^2} + 2{r^2} + 3Rr} \right)}$ ,

$\displaystyle{ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) \le 4s\left( {2{R^2} + 2{r^2} + Rr} \right)}$ ,

$\displaystyle{{a^3} + {b^3} + {c^3} \le 4sR\left( {2R - r} \right)}$ .

Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε τις ανισότητες

$\displaystyle{4s\left( {2{R^2} + 2{r^2} + 3Rr} \right) \le 8sR\left( {R + 2r} \right)}$ ,

$\displaystyle{4s\left( {2{R^2} + 2{r^2} + Rr} \right) \le 8sR\left( {R + r} \right)}$ ,

$\displaystyle{4sR\left( {2R - r} \right) \le 8s\left( {{R^2} - {r^2}} \right)}$ ,

καθεμιά από τις οποίες είναι ισοδύναμη με την ανισότητα Euler $\displaystyle{R \ge 2r}$ .

Σημείωση: Η πρώτη από τις ανισότητες που αποδείχθηκαν παραπάνω έχει δεξί μέλος $\displaystyle{8sR\left( {R + 2r} \right)}$ , που είναι προφανώς μικρότερο από το ζητούμενο $\displaystyle{8sR\left( {2R + r} \right)}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Έχω σκεφτεί ακριβώς τα ίδια με τη λύση του Βαγγέλη. Δεν έχω να προσθέσω κάτι , εκτός του ότι ο τρόπος γραφής του Β.Μουρούκου ενοποιεί και αυτό το βρίσκω πολύ χρήσιμο.

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 20

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 20

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 20

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 20

Μέλη σε σύνδεση