ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

apotin · #161

Άσκηση 179

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f\left( x \right) = \int_3^{x - 2} {\left( {\sqrt 2 - \sqrt {{t^2} + t} } \right)dt} }$ .

1) να βρείτε το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{D_f}$ .

2) να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

3) να εξετάσετε αν η $\displaystyle{f}$ έχει σημεία καμπής.

4) να δείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in{D_f}}$ ισχύει $\displaystyle{\int_1^3 {\sqrt {{t^2} + t} } \,dt \ge f\left( x \right) + 2\sqrt 2 }$

5) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in \left( {3,\,5} \right):\,\,\sqrt {{\xi ^2} - 3\xi + 2} \ge \frac{{2\sqrt 2 + f\left( x \right)}}{2}}$ .

apotin · #162

pana1333 έγραψε:Από ένα παλιό τετράδιο (δεν έχω πηγή)

Άσκηση 177

Θεωρούμε την συνάρτηση που έχει δεύτερη παράγωγο συνεχή στο διάστημα $\left[0,e \right]$ με $f\left(0 \right)=0$ .

1) Να δειχθεί ότι $\int_{0}^{e}{xf''\left(x \right)dx}=ef'\left(e \right)-f\left(e \right)$

2) Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \varepsilon \left(0,e \right)$ τέτοιο ώστε $\int_{0}^{e}{xf''\left(x \right)dx}=e\left[f'\left(e \right)-f'\left(\xi \right) \right]$

3) Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi _{1}\varepsilon \left(\xi ,e \right)$ τέτοιο ώστε $\int_{0}^{e}{xf''\left(x \right)dx}=ef''\left(\xi _{1} \right)\left(e-\xi \right)$

4) Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi _{2}\varepsilon \left[0 ,e \right]$ τέτοιο ώστε $\int_{0}^{x}{xf''\left(x \right)dx}=e\xi _{2}f''\left(\xi _{2} \right)$

1) $\displaystyle{\int_0^e {xf''\left( x \right)dx} = \int_0^e {x{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^\prime }dx = } \left[ {f'\left( x \right)} \right]_0^e - \int_0^e {f'\left( x \right)dx} = ef'\left( e \right) - \left[ {f\left( x \right)} \right]_0^e = ef'\left( e \right) - f\left( e \right)}$

2) ΘΜΤ για την $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0, e]}$ ...υπάρχει ένα τουλάχιστον

$\displaystyle{\xi \in \left( {0,e} \right):f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( e \right) - f\left( 0 \right)}}{{e - 0}} \Rightarrow ef'\left( \xi \right) = f\left( e \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} ef'\left( \xi \right) = ef'\left( e \right) - \int_0^e {xf''\left( x \right)dx} \Rightarrow \int_0^e {xf''\left( x \right)dx} = e\left[ {f'\left( e \right) - f'\left( \xi \right)} \right]}$

3) ΘΜΤ για την $\displaystyle{f'}$ στο $\displaystyle{\left[ {\xi ,e} \right]}$ ...υπάρχει ένα τουλάχιστον

$\displaystyle{{\xi _1} \in \left( {\xi ,e} \right):f''\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{{f'\left( e \right) - f'\left( \xi \right)}}{{e - \xi }}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} }$ $\displaystyle{\left( {e - \xi } \right)f''\left( {{\xi _1}} \right) = f'\left( e \right) - \frac{{f\left( e \right)}}{e} \Rightarrow }$ $\displaystyle{e\left( {e - \xi } \right)f''\left( {{\xi _1}} \right) = ef'\left( e \right) - f\left( e \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} }$ $\displaystyle{e\left( {e - \xi } \right)f''\left( {{\xi _1}} \right) = \int_0^e {xf''\left( x \right)dx} }$

4) ΘΜΤ για την $\displaystyle{g\left( x \right) = \int_0^x {tf''\left( t \right)dt} }$ στο $\displaystyle{[0, e]}$ ... υπάρχει ένα τουλάχιστον

$\displaystyle{{\xi _2} \in \left( {0,e} \right):g'\left( {{\xi _2}} \right) = \frac{{g\left( e \right) - g\left( 0 \right)}}{{e - 0}} \Rightarrow {\xi _2}f''\left( {{\xi _2}} \right) = \frac{{\int_0^e {tf''\left( t \right)dt} - 0}}{{e - 0}} \Rightarrow e{\xi _2}f''\left( {{\xi _2}} \right) = \int_0^e {xf''\left( x \right)dx} }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Χάρης Γ.Λ. · #163

Καλησπέρα
Να προσθέσω και την τελευταία άσκηση για τον ολοκληρωτικό λογισμό .
ΑΣΚΗΣΗ 180

Έστω $\displaystyle{{z_1},{z_2} \in \mathbb{C}}$ και η συνάρτηση f ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με τύπο
$\displaystyle{f\left( x \right) = \int_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} }$ για την οποία $\displaystyle{f\left( x \right) \geqslant x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in & \mathbb{R}.}$
Να δείξετε ότι :
α) $\displaystyle{\left| {{z_2}} \right| = \frac{1}{2}}$
β) Η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 2020}$ έχει μοναδική λύση στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ .
γ) Για κάθε $\displaystyle{x \in & \mathbb{R}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\int_0^x {\left| {{z_1} \cdot t + \frac{{{z_2}}}{2}} \right|dt \geqslant \frac{x}{4}} }$ .

Μάκης Χατζόπουλος · #164

Χάρης Γ.Λ. έγραψε:Καλησπέρα
Να προσθέσω και την τελευταία άσκηση για τον ολοκληρωτικό λογισμό .
ΑΣΚΗΣΗ 180

Έστω $\displaystyle{{z_1},{z_2} \in \mathbb{C}}$ και η συνάρτηση f ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με τύπο
$\displaystyle{f\left( x \right) = \int_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} }$ για την οποία $\displaystyle{f\left( x \right) \geqslant x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in & \mathbb{R}.}$
Να δείξετε ότι :
α) $\displaystyle{\left| {{z_2}} \right| = \frac{1}{2}}$
β) Η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 2020}$ έχει μοναδική λύση στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ .
γ) Για κάθε $\displaystyle{x \in & \mathbb{R}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\int_0^x {\left| {{z_1} \cdot t + \frac{{{z_2}}}{2}} \right|dt \geqslant \frac{x}{4}} }$ .

Χάρη καλησπέρα, όπως και σε όλη την παρέα! Η λύση μου είναι πολύ βιαστική και πρέπει να την επαληθεύσουμε!

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

α) Θέτουμε συνάρτηση $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x \ge 0 = g\left( 0 \right)$ , οπότε στο (εσωτερικό )σημείο ${x_0} = 0$ η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη και από Θεώρημα Fermat πρέπει: $g'\left( 0 \right) = 0$

Όμως, $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1 = 2 \cdot \left| {{z_1} \cdot 2x + {z_2}} \right| - 1$ άρα $g'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left| {{z_2}} \right| - 1 = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_2}} \right| = \frac{1}{2}$

β) Επειδή $f'\left( x \right) = 2 \cdot \left| {{z_1} \cdot 2x + {z_2}} \right| > 0$ για κάθε $x \in \left( {0, + \infty } \right)$ η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( {0, + \infty } \right)$ .

Θα βρούμε το σύνολο τιμών της σ' το διάστημα αυτό.

Έχουμε,

$f\left( x \right) \ge x \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) \ge \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) \ge + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$

και $f\left( 0 \right) = \int\limits_0^0 {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} = 0$

άρα $f\left( \Delta \right) = \left( {0, + \infty } \right)$ , επειδή το $2020 \in \left( {0, + \infty } \right)$ δηλαδή από το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει μοναδικό

(λόγω μονοτονίας) ${x_0} \in \left( {0, + \infty } \right):\,\,f\left( {{x_0}} \right) = 2020$

γ) Έχουμε, $f\left( x \right) = \int\limits_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} \ge x$

θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής του ολοκληρώματος, δηλαδή θέτουμε t = 2u

άρα

και τα άκρα της ολοκλήρωσης γίνονται ${t_1} = 2x \Rightarrow {u_1} = x$ και ${t_2} = 0 \Rightarrow {u_2} = 0$ , άρα

$f\left( x \right) = \int\limits_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} = 2 \cdot \int\limits_0^x {\left| {{z_1}\cdot2u + {z_2}} \right|du} \ge x$ δηλαδή

$4 \cdot \int\limits_0^x {\left| {{z_1} \cdot u + \frac{{{z_2}}}{2}} \right|du} \ge x \Leftrightarrow \int\limits_0^x {\left| {{z_1} \cdot u + \frac{{{z_2}}}{2}} \right|du} \ge \frac{x}{2}$ για κάθε $x \in R$ που έπεται το ζητούμενο.

edit: Διόρθωσα τους τελευταίους παρονομαστές, από 4 σε 2, όπως μου επισήμανε ο Δημήτρης Κατσίποδας.

parmenides51 · #165

Αύριο βράδυ θα ειναι το word έτοιμο. Επειδή ήδη με ρώτησαν πως και δεν ετοιμάζουμε τις λύσεις από τις απαντήσεις που έχουν δοθεί ήδη στο mathematica, η απάντηση είναι πως από την στιγμή που δεν υπάρχει ομοιομορφία στις απαντήσεις για τον λόγο ότι άλλοι δινουν υποδείξεις, άλλοι λύσεις χωρίς τις πράξεις, άλλοι (υπερ-) αναλυτικές λύσεις ,θα έβγαινε ένα αποτέλεσμα αρκετά ανομοιόμορφο και όχι ιδιαίτερα όμορφο.
Ισως ένα αρχείο με υποδείξεις - απαντήσεις έχει κάτι να προσθέσει. Είδωμεν.

Περιμένω την κριτική και την αυτοκριτική όσων συμμετείχαν μια και κάθε φορά καλό είναι να σχολιάζουμε τι μας άρεσε και τι θα μπορούσαμε να βελτιώσουμε στο μέλλον.Ήδη υπάρχει πρόσφατη μια εμπειρία δυο συλλογών (μια στα μαθηματικά γενικής και μια στα μαθηματικά κατευθυνσης) που κατά την γνώμη μου έδωσε νέα πνοή στο

. Θα με ενδιέφερε να ακούσω κι άλλες απόψεις.

Υ.Γ.Ενημερωτικά προσεχώς θα ξεκινήσω ένα νέο αρχείο για την Γ' με ασκήσεις επανάληψης που έχουν ήδη προταθεί και λυθεί στο mathematica κυρίως από τον φάκελο ''Ασκήσεις σε όλη την ύλη''

Μάκης Χατζόπουλος · #166

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 173

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = \int\limits_2^x {\sqrt {{u^2} - u} \,du}$

α) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ,

β) Στη συνέχεια να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία, ακρότατα και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της

γ) Να μελετήσετε την συνάρτηση $g\left( x \right) = \int\limits_3^x {\left( {\int\limits_2^t {\left( {{e^t} \cdot \sqrt {{u^2} - u} } \right)\,\,du} } \right)} dt$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Σημείωση: Εδώ μπορούν να προστεθούν όμορφα υποερωτήματα (αν προλάβω θα προτείνω το βράδυ) αν θέλουμε να γίνει πιο εκτενέστερη...
Περίμενουμε και τα επιπλέον ερωτήματα

Προσθέτω τα εξτρά υποερωτήματα που κατασκεύασα, για να μην κρατάω ανοικτό τον φάκελο, νομίζω ότι την κάνουν πιο πιπεράτη, ας τα δούμε. Κρατάμε όποια μας ταιριάζει!
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν διαφορετικά ${\xi _1},{\xi _2} \in \left( {1,3} \right)$ τέτοια ώστε: $\,{e^{{\xi _1}}} \cdot f\left( {{\xi _1}} \right) + {e^{{\xi _2}}} \cdot f\left( {{\xi _2}} \right) = \int\limits_1^3 {{e^t} \cdot f\left( t \right)dt}$

ε) Να αποδείξετε ότι: $\int\limits_3^x {\left( {{e^{t - 3}} \cdot \frac{{f\left( t \right)}}{{f\left( 3 \right)}}} \right)dt} \ge x - 3$ για κάθε $x \in \left( {2, + \infty } \right)$
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ελπίζω να μην υπέπεσα σε κάποια αβλεψία, λόγω πίεσης χρόνου.

dennys · #167

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 178

1)Ειναι $g(x)=\int_1^xf(t)dt,g{'}(x)=f(x) \nearrow ,g{'}{'}(x)=f{'}(x)>0 \Rightarrow g(x)$ κυρτή.

αρα η εφαπτομένη ειναι $y-g(1)=g{'}(1)(x-1) \Rightarrow y=2x-2 ,(1)$

3)i)Θέτω $h(x)=\int_1^x(\int_1^uf(t)dt)du-(x-1)^2\ge 0 , \Rightarrow h{'}(x)=\int_1^xf(t)dt-2(x-1)=g(x)-2(x-1) \ge 0 .$

που ισχύει γιατι αφου η g(x)

ειναι κυρτή ειναι πιο πάνω απο καθε εφαπτόμενη και ανάποδα.

,ii)Θέτω $H(x)=\int_1^x {xf(t)dt-\int_1^xtf(t)dt-(x-1)^2 \ge 0 \Rightarrow H(1)=0, H{'}(x)=\int_1^xf(t)dt+xf(x)-xf(x)-2(x-1),H{'}(1)=0$

και H{'}{'}(x)=f(x)-2>0

, αφου για $x>1 \Rightarrow f(x)>f(1)=2$ ,και πάω ανάποδα.

2) Για τηνσυνάρτηση g(x)

, εφαρμόζω το ΘΜΤ στο διάστημα [1,α] και εχουμε:

$\cfrac{g(a)-g(1)}{a-1}=g{'}(\xi)=f(\xi)$ , ομως $1<\xi<a \Rightarrow , 2= f(1)<f(\xi)<f(a),[[f(x) \nearrow]$

αρα αρκεί να δείξω οτι : $f(\xi)>2>\int_o^1f(t)dt$ ,που ισχύει γιατί g(x)

,κυρτή

$g(x) \ge 2x-2 \forall{x}\Rightarrow \int_1^x{f(t)dt} \ge 2x-2 \Rightarrow x=0 \Rightarrow \int_1^0{f(t)dt} >-2 \Rightarrow \int_0^1{f(t)dt}<2$

Συμπλήρωσα τη 2) ΠΟΥ ΕΙΧΑ ΞΕXAΣΕΙ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ PARMEN
φιλικα και μαθηματικα
dennys

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #168

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 173

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = \int\limits_2^x {\sqrt {{u^2} - u} \,du}$

α) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ,

β) Στη συνέχεια να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία, ακρότατα και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της

γ) Να μελετήσετε την συνάρτηση $g\left( x \right) = \int\limits_3^x {\left( {\int\limits_2^t {\left( {{e^t} \cdot \sqrt {{u^2} - u} } \right)\,\,du} } \right)} dt$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν διαφορετικά ${\xi _1},{\xi _2} \in \left( {1,3} \right)$ τέτοια ώστε: $\,{e^{{\xi _1}}} \cdot f\left( {{\xi _1}} \right) + {e^{{\xi _2}}} \cdot f\left( {{\xi _2}} \right) = \int\limits_1^3 {{e^t} \cdot f\left( t \right)dt}$

ε) Να αποδείξετε ότι: $\int\limits_3^x {\left( {{e^{t - 3}} \cdot \frac{{f\left( t \right)}}{{f\left( 3 \right)}}} \right)dt} \ge x - 3$ για κάθε $x \in \left( {2, + \infty } \right)$

Προσθεσα την λύση στα επιπλέον ερωτήματα της άσκησης, στην αρχική μου δημοσίευση

parmenides51 · #169

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 136

Δίνεται συνάρτηση $f(x)=\int_1^x{xlntdt$

1) Να βρείτε την συνάρτηση

...

Διαφορετικά για το πρώτο ερώτημα σε σχέση με εδώ

$\displaystyle{f(x)=\int_1^x{xlntdt}=x\int_1^x{lntdt}=x[tlnt-t]_1^x=x(xlnx-x-1ln1+1)=x^2lnx-x^2+x}$ με $\displaystyle{x>0}$

perpant · #170

parmenides51 έγραψε:
dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 136

Δίνεται συνάρτηση $f(x)=\int_1^x{xlntdt$

1) Να βρείτε την συνάρτηση

...
Διαφορετικά για το πρώτο ερώτημα σε σχέση με εδώ

$\displaystyle{f(x)=\int_1^x{xlntdt}=x\int_1^x{lntdt}=x[tlnt-t]_1^x=x(xlnx-x-1ln1+1)=x^2lnx-x^2+x}$ με $\displaystyle{x>0}$

Ούτε καν είχα σκεφτεί να το υπολογίσω το ολοκλήρωμα!! Κάποιες φορές το προφανές, δεν είναι και τόσο προφανές τελικά.

parmenides51 · #171

Οι μόνες εκκρεμότητες είναι οι παρακάτω ασκήσεις 176 και 179. Τις παραθέτω για να μην τις ψάχνετε.

mathxl έγραψε:Γεια σας, μια άσκηση εμπνευσμένη από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=461702
ΑΣΚΗΣΗ 176
Α. Ας είναι $\displaystyle{f:\Delta \to R}$ μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{\Delta }$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\displaystyle{\Delta }$ . Να δείξετε ότι: η $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα στο $\displaystyle{\Delta }$ (αντίστοιχα φθίνουσα) ανν $\displaystyle{f'\left( x \right) \ge 0}$ ,
( $\displaystyle{f'\left( x \right) \le 0}$ αντίστοιχα) για κάθε $\displaystyle{x}$ εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\Delta }$
Β. Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\left[ {0,a} \right] \to R}$ που είναι τέτοιες ώστε να ισχύουν $\int_{0}^{a}f(t)dt=\int_{0}^{a}g(t)dt$ , $\displaystyle{f}$ αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,a} \right]}$ και $\displaystyle{g}$ φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,a} \right]}$ .
Να δείξετε ότι:
1. η συνάρτηση $\displaystyle{F\left( x \right) = \frac{{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} }}{x},x \in \left( {0,a} \right]}$ είναι αύξουσα και η συνάρτηση $\displaystyle{G\left( x \right) = \frac{{\int\limits_0^x {g\left( t \right)dt} }}{x}}$ είναι φθίνουσα.
2. ισχύει $\displaystyle{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} \le \int\limits_0^x {g\left( t \right)dt} }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,a} \right]}$
3. για κάθε $\displaystyle{x,y \in [0,a]}$ ισχύει $\displaystyle{x\int_0^y g (t)dt \ge y\int_0^x f (t)dt}$

Σημείωση: ανν = όταν και μόνο όταν

apotin έγραψε:Άσκηση 179

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f\left( x \right) = \int_3^{x - 2} {\left( {\sqrt 2 - \sqrt {{t^2} + t} } \right)dt} }$ .

1) να βρείτε το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{D_f}$ .

2) να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

3) να εξετάσετε αν η $\displaystyle{f}$ έχει σημεία καμπής.

4) να δείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in{D_f}}$ ισχύει $\displaystyle{\int_1^3 {\sqrt {{t^2} + t} } \,dt \ge f\left( x \right) + 2\sqrt 2 }$

5) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in \left( {3,\,5} \right):\,\,\sqrt {{\xi ^2} - 3\xi + 2} \ge \frac{{2\sqrt 2 + f\left( x \right)}}{2}}$ .

edit1: Διορθώθηκε ένα άκρο στον τύπο της $\displaystyle{f}$ , στην 179
edit2: Προσθήκης σημείωσης.

apotin · #172

Προσέξτε στην 179 τη διόρθωση που έγινε στο κάτω όριο του ολοκληρώματος

parmenides51 · #173

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Με τα άλλα μέλη που συμμετέχουν ενεργά στη συλλογή, είπαμε να σταματήσουμε στις 180 ασκήσεις. Έτσι θα έχουμε προσθέσει συνολικά 60 ασκήσεις στα ολοκληρώματα.Αν είναι συνεχίζουμε αργότερα, με καμία 20αριά γενικά επαναληπτικά θέματα, οπότε θα έχουμε ένα πολύτιμο αρχείο 200 λιμένων θεμάτων.

Επίσης, είπαμε να ξεκινήσουμε το ίδιο και για την Β λυκείου, οπότε με την ολοκλήρωση των ολοκληρωμάτων ξεκινάμε.

Βάζω την τελευταία από έμενα άσκηση. Αν κάποιο μέλος μας πιστεύει ότι δεν έχουμε προσθέσει κάτι σημαντικό στη συλλογή, ας την προσθέσει. Επίσης θα ήθελα, αν είναι δυνατόν, να προσθέσουν ασκήσεις και μέλη μας που δεν είχαν ενεργή συμμετοχή στη συλλογή.

Επειδή ήδη φτάσαμε τις 180, να προσθέσουμε άλλα 20 γενικά επαναληπτικά για να γίνουν 200 οι ασκήσεις στο σύνολο;
Η κόκκινη επισήμανση είναι δικιά μου. Αν υπάρχει ανάλογη διάθεση, θα ήθελα να δούμε κι άλλες συμμετοχές.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #174

apotin έγραψε:Άσκηση 179

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f\left( x \right) = \int_3^{x - 2} {\left( {\sqrt 2 - \sqrt {{t^2} + t} } \right)dt} }$ .

1) να βρείτε το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{D_f}$ .

2) να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

3) να εξετάσετε αν η $\displaystyle{f}$ έχει σημεία καμπής.

4) να δείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in{D_f}}$ ισχύει $\displaystyle{\int_1^3 {\sqrt {{t^2} + t} } \,dt \ge f\left( x \right) + 2\sqrt 2 }$

5) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in \left( {3,\,5} \right):\,\,\sqrt {{\xi ^2} - 3\xi + 2} \ge \frac{{2\sqrt 2 + f\left( x \right)}}{2}}$ .

ΛΥΣΗ

α. $\displaystyle{f(x) = \int\limits_3^{x - 2} {(\sqrt 2 - \sqrt {t^2 + t} )dt} }$

Για να ορίζεται η $\displaystyle{{\sqrt {t^2 + t} }}$ πρέπει $\displaystyle{t^2 + t \ge 0 \Leftrightarrow t \in ( - \infty , - 1] \cup [0, + \infty )}$

Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της $\displaystyle{f}$ ,

Έχουμε οτι η $\displaystyle{{\sqrt 2 - \sqrt {t^2 + t} }}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{( - \infty , - 1] \cup [0, + \infty )}$ . Επειδή $\displaystyle{3\in [0, + \infty )}$ , πρέπει $\displaystyle{\left( {x - 2} \right) \in [0, + \infty )}$ δηλαδή $\displaystyle{x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2}$ .

Επομένως η $\displaystyle{f}$ έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{D_f = [2, + \infty )}$

Ακόμα $\displaystyle{f(x) = \int\limits_3^{x - 2} {(\sqrt 2 - \sqrt {t^2 + t} )dt} = \left[ {\sqrt 2 t} \right]_3^{x - 2} - \int\limits_3^{x - 2} {\sqrt {t^2 + t} dt} = \sqrt 2 (x - 2) -3\sqrt 2 -\int\limits_3^{x - 2} {\sqrt {t^2 + t} dt}=\sqrt 2 x-5\sqrt 2 -\int\limits_3^{x - 2} {\sqrt {t^2 + t} dt} ,x \ge 2}$

β. Επειδή η $\displaystyle{{\sqrt {t^2 + t} }}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[2, + \infty )}$ και η $\displaystyle{ x - 2}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[2, + \infty )}$ , έχουμε οτι το $\displaystyle{\int\limits_3^{x - 2} {\sqrt {t^2 + t} dt} }$ .

Επισης η $\displaystyle{\sqrt 2 (x - 2)}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[2, + \infty )}$ , οπότε η $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο

$\displaystyle{[2, + \infty )}$ με $\displaystyle{f'(x) = \sqrt 2 - \sqrt {(x - 2)^2 + x - 2} = \sqrt 2 - \sqrt {x^2 - 3x + 2} ,x \ge 2}$

$\displaystyle{f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 - \sqrt {x^2 - 3x + 2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ge 2} x = 3}$

Ακόμα $\displaystyle{f'(x) > 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 - \sqrt {x^2 - 3x + 2} > 0 \Leftrightarrow x \in [2,3)}$

Επομένως η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[2,3]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ [3, + \infty )}$ .

Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση $\displaystyle{x = 3}$ με τιμή $\displaystyle{f(3) = -2\sqrt 2 - \int\limits_3^1 {\sqrt {t^2 + t} dt} }=-2\sqrt 2 +\int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }$

γ. $\displaystyle{f''(x) = - \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {x^2 - 3x + 2} }}}$ . Για κάθε $\displaystyle{x \in [2, + \infty )}$ έχουμε οτι $\displaystyle{f''(x) < 0}$ . Συνεπώς η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη στο $\displaystyle{[2, + \infty )}$ . Οπότε η $\displaystyle{f}$ δεν έχει σημεία καμπής.

δ. $\displaystyle{f(3) = -2\sqrt 2 +\int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }$ και $\displaystyle{f'(3) = 0}$ . Οπότε η εφαπτομένη στο σημέιο $\displaystyle{A(3,f(3))}$ είναι η $\displaystyle{y - f(3) = f'(3)(x - 3) \Leftrightarrow y = f(3) \Leftrightarrow y = - 2\sqrt 2 + \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }$

Επειδή η $\displaystyle{f}$ κοίλη, έχουμε οτι η εξίσωση της εφαπτομένης βρίσκεται πάντα πάνω από την γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ .

Άρα $\displaystyle{ - 2\sqrt 2 + \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} \ge f(x) \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} \ge f(x) + 2\sqrt 2 }$

ε. Η $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{[3,5]}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(3 ,5)}$ . Οπότε από $\displaystyle{\Theta {\rm M}{\rm T}}$ υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (3,5)}$
τετοιο ώστε $\displaystyle{f'(\xi ) = \frac{{f(5) - f(3)}}{{5 - 3}} = \frac{{0 + 2\sqrt 2 - \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }}{2} = \frac{{2\sqrt 2 - \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }}{2} }$

Όμως $\displaystyle{f'(\xi ) = \sqrt 2 - \sqrt {\xi ^2 - 3\xi + 2} }$ οπότε

$\displaystyle{ \sqrt 2 - \sqrt {\xi ^2 - 3\xi + 2} = \frac{{2\sqrt 2 - \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 - 2\sqrt {\xi ^2 - 3\xi + 2} = 2\sqrt 2 - \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} \Leftrightarrow \sqrt {\xi ^2 - 3\xi + 2} = \frac{{\int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }}{2} }$

Επειδή από δ ερώτημα έχουμε $\displaystyle{ \int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} \ge f(x) + 2\sqrt 2 }$ έχουμε οτι $\displaystyle{ \sqrt {\xi ^2 - 3\xi + 2} = \frac{{\int\limits_1^3 {\sqrt {t^2 + t} dt} }}{2} \ge \frac{{f(x) + 2\sqrt 2 }}{2} }$

Επειδή είχα γράψει την μιση, με το αρχικό ολοκλώρωμα, ελ΄πιζω να τα διορθωσα και να μην εχω καποιο λάθος.

Χάρης Γ.Λ. · #175

Μία δεύτερη λύση για την Άσκηση 180 ερώτημα (β)

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2020}$ με $\displaystyle{x \in \left[ {0,2021} \right]}$ το δεξιό άκρο μπορεί να είναι κάθε αριθμός μεγαλύτερος απο το 2020 .
Η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right)}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left( {0,2021} \right)}$ ως παραγωγίσιμη $\displaystyle{g'\left( x \right) = f'\left( x \right) = 2\left| {{z_1} \cdot 2x + {z_2}} \right|> 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,2021} \right)}$ . Άρα η $\displaystyle{g\left( x \right)}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0,2021} \right)}$

$\displaystyle{g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 2020 = - 2020}$
$\displaystyle{g\left( {2021} \right) = f\left( {2021} \right) - 2020 \geqslant 2021 - 2020 = 1}$ Άρα $\displaystyle{g\left( 0 \right) \cdot g\left( {2021} \right) < 0}$
Ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για τη $\displaystyle{g\left( x \right)}$ άρα υπάρχει μοναδικό (λόγω μονοτονίας) $\displaystyle{{x_0} \in \left( {0,2021} \right) \subset \left( {0, + \infty } \right)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{g\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) - 2020 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) = 2020}$

apotin · #176

ΑΣΚΗΣΗ 166

Δινεται η συνάρτηση $f(x): (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R},$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο

και $f{'}(x) \neq 0 ,\forall{x}>0.$ . Aν η γραφική παράσταση της περνά απο τα σημεία Α(1,1),Β(1/2,2)

και $g(x)=\int_2^{f(x)} \cfrac{1}{1-f(t)}{dt}$ τότε:

1) Να βρειτε το πεδίο ορισμού της g(x)

2) την μονοτονία και τα ακρότατα της g(x).

3) αν για καθε χ>0 ισχύει , τοτε να δείξετε οτι :

3a)

3b) Υπάρχει $x_o \in (0,1) : g{'}(x_o)=\cfrac{2}{x_o-1}$

3c)Υπάρχει $\xi \in(0,1): f{'}(\xi)=\frac{-3}{2}$

Φιλικα και μαθηματικα

dennys

Επειδή για κάθε $\displaystyle{x>0}$ είναι $\displaystyle{f'\left( x \right) \ne 0}$ και η $\displaystyle{f'}$ είναι συνεχής, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .

Δλδ $\displaystyle{f'\left( x \right) > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ ή $\displaystyle{f'\left( x \right) < 0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$

Αν $\displaystyle{f'\left( x \right) > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ τότε η $\displaystyle{f}$ είναι γν. αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0,\,\, + \infty } \right)}$ οπότε $\displaystyle{1 > \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( {\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow 1 > 2}$ , άτοπο

Άρα $\displaystyle{f'\left( x \right) < 0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ οπότε η $\displaystyle{f}$ είναι γν. φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( {0,\,\, + \infty } \right)}$

1) Έστω $\displaystyle{h\left( t \right) = \frac{1}{{1 - f\left( t \right)}}}$

Η $\displaystyle{h}$ ορίζεται για κάθε $\displaystyle{t>0}$ με $\displaystyle{f\left( t \right) \ne 1 \Leftrightarrow t \ne 1}$

Άρα $\displaystyle{{D_h} = \left( {0,\,\,1} \right) \cup \left( {1,\, + \infty } \right)}$

Επειδή $\displaystyle{2 \in \left( {1,\, + \infty } \right)}$ επιβάλλεται και $\displaystyle{f\left( x \right) > 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \downarrow } x < 1}$ .

Έτσι $\displaystyle{{D_g} = \left( {0,\,\,1} \right)}$

2) Για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\,\,1} \right)}$ είναι $\displaystyle{g'\left( x \right) = h\left( {f\left( x \right)} \right)f'\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)}}{{1 - f\left( {f\left( x \right)} \right)}} < 0}$ γιατί

$\displaystyle{f\left( x \right) > 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \downarrow } f\left( {f\left( x \right)} \right) < f\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) < 1}$

Άρα η $\displaystyle{g}$ είναι γν. φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( {0,\,\,1} \right)}$ οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατα.

3a) για κάθε $\displaystyle{x>0}$ :

$\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)} \right) = x \Rightarrow f'\left( {f\left( x \right)} \right)f'\left( x \right) = 1\mathop \Rightarrow \limits^{x = 1} {\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]^2} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{f'\left( x \right) < 0} f'\left( 1 \right) = - 1}$

3b) Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{F\left( x \right) = f\left( x \right) + 2x}$ , $\displaystyle{x>0}$

Η $\displaystyle{F}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {\frac{1}{2},\,\,1} \right]}$ ως παραγωγίσιμη
Η $\displaystyle{F}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left( {\frac{1}{2},\,\,1} \right)}$ με $\displaystyle{F'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 2}$
$\displaystyle{F\left( 1 \right) = 3 = F\left( {\frac{1}{2}} \right)}$

Άρα σύμφωνα με το Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{{x_0} \in \left( {\frac{1}{2},\,\,1} \right) \subseteq \left( {0,\,\,1} \right):}$

$\displaystyle{F'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = - 2 \Rightarrow \frac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{1 - {x_0}}} = \frac{2}{{{x_0} - 1}}\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right) = {x_0}} \frac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{1 - f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right)}} = \frac{2}{{{x_0} - 1}} \Rightarrow g'\left( {{x_0}} \right) = \frac{2}{{{x_0} - 1}}}$

3c) Η $\displaystyle{f'}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {{x_0},\,\,1} \right]}$ και $\displaystyle{f'\left( {{x_0}} \right) = - 2}$ , $\displaystyle{f'\left( 1 \right) = - 1}$ .

Άρα σύμφωνα με το ΘΕΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in \left( {{x_0},\,\,1} \right) \subseteq \left( {0,\,\,1} \right):f'\left( \xi \right) = - \frac{3}{2}}$

Μάκης Χατζόπουλος · #177

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Χάρης Γ.Λ. έγραψε:Καλησπέρα
Να προσθέσω και την τελευταία άσκηση για τον ολοκληρωτικό λογισμό .
ΑΣΚΗΣΗ 180

Έστω $\displaystyle{{z_1},{z_2} \in \mathbb{C}}$ και η συνάρτηση f ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με τύπο
$\displaystyle{f\left( x \right) = \int_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} }$ για την οποία $\displaystyle{f\left( x \right) \geqslant x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in & \mathbb{R}.}$
Να δείξετε ότι :
α) $\displaystyle{\left| {{z_2}} \right| = \frac{1}{2}}$
β) Η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 2020}$ έχει μοναδική λύση στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ .
γ) Για κάθε $\displaystyle{x \in & \mathbb{R}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\int_0^x {\left| {{z_1} \cdot t + \frac{{{z_2}}}{2}} \right|dt \geqslant \frac{x}{4}} }$ .
Χάρη καλησπέρα, όπως και σε όλη την παρέα! Η λύση μου είναι πολύ βιαστική και πρέπει να την επαληθεύσουμε!

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

α) Θέτουμε συνάρτηση $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x \ge 0 = g\left( 0 \right)$ , οπότε στο (εσωτερικό )σημείο ${x_0} = 0$ η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και από Θεώρημα Fermat πρέπει: $g'\left( 0 \right) = 0$

Όμως, $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1 = 2 \cdot \left| {{z_1} \cdot 2x + {z_2}} \right| - 1$ άρα $g'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left| {{z_2}} \right| - 1 = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_2}} \right| = \frac{1}{2}$

β) Επειδή $f'\left( x \right) = 2 \cdot \left| {{z_1} \cdot 2x + {z_2}} \right| > 0$ για κάθε $x \in \left( {0, + \infty } \right)$ η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( {0, + \infty } \right)$ .

Θα βρούμε το σύνολο τιμών της σ' το διάστημα αυτό.

Έχουμε,

$f\left( x \right) \ge x \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) \ge \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) \ge + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$

και $f\left( 0 \right) = \int\limits_0^0 {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} = 0$

άρα $f\left( \Delta \right) = \left( {0, + \infty } \right)$ , επειδή το $2020 \in \left( {0, + \infty } \right)$ δηλαδή από το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει μοναδικό

(λόγω μονοτονίας) ${x_0} \in \left( {0, + \infty } \right):\,\,f\left( {{x_0}} \right) = 2020$

γ) Έχουμε, $f\left( x \right) = \int\limits_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} \ge x$

θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής του ολοκληρώματος, δηλαδή θέτουμε άρα και τα άκρα της ολοκλήρωσης γίνονται ${t_1} = 2x \Rightarrow {u_1} = x$ και ${t_2} = 0 \Rightarrow {u_2} = 0$ , άρα

$f\left( x \right) = \int\limits_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} = 2 \cdot \int\limits_0^x {\left| {{z_1}\cdot2u + {z_2}} \right|du} \ge x$ δηλαδή

$4 \cdot \int\limits_0^x {\left| {{z_1} \cdot u + \frac{{{z_2}}}{4}} \right|du} \ge x \Leftrightarrow \int\limits_0^x {\left| {{z_1} \cdot u + \frac{{{z_2}}}{4}} \right|du} \ge \frac{x}{4}$ για κάθε $x \in R$ που έπεται το ζητούμενο.

Μετά από νύξη του Αποστόλη (apotin) και προσωπικά μηνύματα με τον Χάρη, για αν τελικά είναι $f'\left( x \right) \ge 0$ ή $f'\left( x \right) > 0$ σημειώνω ότι ισχύει το δεύτερο, δηλαδή η παράγωγος της

είναι θετική. Η απόδειξη είναι η εξής:

Θέτουμε $\displaystyle{{z_1} = a + \beta i,{z_2} = \gamma + \delta i}$ τότε $\displaystyle{f'\left( x \right) = 2\left| {{z_1} \cdot 2x + {z_2}} \right| = 2\sqrt {{{\left( {2xa + \gamma } \right)}^2} + {{\left( {2x\beta + \delta } \right)}^2}} }$ που είναι θετική. Θα εξετάσουμε αν υπάρχουν x που να μηδενίζεται. Τότε πρέπει:

$x = - \frac{\gamma }{{2\alpha }} = - \frac{\delta }{{2\beta }}\,\,\,\left( 1 \right)$

Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (1) στην αρχική συνάρτηση και έχουμε διαδοχικά,

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \int\limits_0^{2x} {\left| {{z_1} \cdot t + {z_2}} \right|dt} = \int\limits_0^{2x} {\left| {\alpha \cdot t + \gamma + \left( {\beta x + \delta } \right)i} \right|dt} \mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \int\limits_0^{2x} {\left| {a\left( { - \frac{\gamma }{{2\alpha }}} \right) + \gamma + \left( {\beta \left( { - \frac{\delta }{{2\beta }}} \right) + \delta } \right)i} \right|dt} \\ = \int\limits_0^{2x} {\left| {\frac{\gamma }{2} + \frac{\delta }{2}i} \right|dt} \\ = \left| {\frac{\gamma }{2} + \frac{\delta }{2}i} \right| \cdot \int\limits_0^{2x} {1dt} \\ = 2x \cdot \left| {\frac{\gamma }{2} + \frac{\delta }{2}i} \right| \\ = x \cdot \left| {\gamma + \delta i} \right| \\ = x \cdot \left| {{z_2}} \right| \\ = \frac{x}{2} \\ \end{array}$

όμως $f\left( x \right) \ge x$ άρα $\frac{x}{2} \ge x \Leftrightarrow x \le 0$ που δεν ισχύει για κάθε

πραγματικό αριθμό, αλλά μόνο για τα αρνητικά! Άρα η παράγωγος της

είναι θετική.

Την κατέθεσα αφού μου το πρότειναν για να μην χαθεί η σκέψη. Ευχαριστώ Αποστόλη και Χάρη για την όμορφη και εποικοδομητική επικοινωνία μας.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #178

Η αρχική ιδέα ήταν να σταματήσουμε στις 180 ασκήσεις και να προσθέσουμε αργότερα 20 θέματα γενικά συνδυαστικά.

Για να μην χαθεί η ασκηση του Διονύση και λύση του Αποστόλη, υπαρχουν δύο δυνατότητες

1η. Να συνεχίσουμε και να πάμε μέχρι 200 τώρα. Καλύτερα τότε, μιας και θα υπάρχουν ασκήσεις και από άλλα κεφάλαια, να μεταφέρουμε την ασκηση στο φάκελο ασκήσεις σε όλη την ύλη

2η. Να μεταφερθεί η άσκηση με την λύση στον φάκελο των ολοκληρωμάτων σαν μια απλή ασκήση. Όταν θα ξεκινήσουμε την συλλογή των άλλων 20 ασκήσεων, την προσθέτουμε στην συλλογή.

Εγω προσωπικά, επειδή θεωρώ οτι έχουμε καλύψει πολλες κατηγορίες ασκήσεων, προτείνω να σταματήσουμε τώρα. Να κοιτάξουμε τα θέματα που έχουν ήδη προταθεί και να προσπαθήσουμε τα άλλα 20 θέματα, να μην έχουν επικάλυψη με ήδη δημοσιευμένες ασκήσεις. Αν είναι συνεχίζουμε μετα την καθαρά Δευτέρα, έτσι ολοι μας θα έχουμε χρόνο να δουμε τα προταθέντα θέματα και να προτείνουμε τα επόμενα 20

Περιμένω τις απόψεις σας

#179

Συμφωνώ με τον Δημήτρη , καλύτερα να συνεχίσουμε αργότερα με καμία 20 θέματα .

180 Ασκήσεις είναι πάρα πολλές και δεν πιστεύω ότι κάποιος προλαβαίνει να τις μελετήσει .

Μια συλλογή πρέπει να είναι μικρή και ποιοτική και να μην επαναλαμβάνονται ερωτήματα.

Αυτό που πρέπει να γίνει κατά την γνώμη μου είναι να ελεγχθούν ως προς την ορθότητα εκφωνήσεις και λύσεις , να βάλουμε ενδεχομένως και άλλους τρόπους και να βελτιωθούν οι λύσεις ως προς την γραφή τους ,να γίνουν άπλες και κατανοητές και από τους μαθητές .

parmenides51 · #180

Καλησπέρα κι από μένα, ας λυθεί και η τελευταία άλυτη, η 176, και εντός 10 λεπτών ανεβάζω το αρχείο word, περιμένω για να ελέγξουμε από την λύση μην υπάρχει εκ παραδρομής καμμιά έλλειψη. Οι εκφωνήσεις θαρρώ πως είναι εντάξει αφού όλες οι υπόλοιπες λύθηκαν τελικά.
Ας μείνουν 180 κι όταν υπάρχει ανάλογη διάθεση ανεβάζουμε 20 εφ' ολης της ύλης. Καλό θα ήταν όσοι έδωσαν τις εκφωνήσεις να ελέγξουν τις δοθείσες λύσεις για τυχόν ελλείψεις, αν και θαρρώ πως ήδη συνέβη.
Περιμένοντας την τελευταία λοιπόν ...

mathxl έγραψε:Γεια σας, μια άσκηση εμπνευσμένη από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=461702
ΑΣΚΗΣΗ 176
Α. Ας είναι $\displaystyle{f:\Delta \to R}$ μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{\Delta }$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\displaystyle{\Delta }$ . Να δείξετε ότι: η $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα στο $\displaystyle{\Delta }$ (αντίστοιχα φθίνουσα) ανν $\displaystyle{f'\left( x \right) \ge 0}$ ,
( $\displaystyle{f'\left( x \right) \le 0}$ αντίστοιχα) για κάθε $\displaystyle{x}$ εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\Delta }$
Β. Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\left[ {0,a} \right] \to R}$ που είναι τέτοιες ώστε να ισχύουν $\int_{0}^{a}f(t)dt=\int_{0}^{a}g(t)dt$ , $\displaystyle{f}$ αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,a} \right]}$ και $\displaystyle{g}$ φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,a} \right]}$ .
Να δείξετε ότι:
1. η συνάρτηση $\displaystyle{F\left( x \right) = \frac{{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} }}{x},x \in \left( {0,a} \right]}$ είναι αύξουσα και η συνάρτηση $\displaystyle{G\left( x \right) = \frac{{\int\limits_0^x {g\left( t \right)dt} }}{x}}$ είναι φθίνουσα.
2. ισχύει $\displaystyle{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} \le \int\limits_0^x {g\left( t \right)dt} }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,a} \right]}$
3. για κάθε $\displaystyle{x,y \in [0,a]}$ ισχύει $\displaystyle{x\int_0^y g (t)dt \ge y\int_0^x f (t)dt}$

Σημείωση: ανν = όταν και μόνο όταν

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μέλη σε σύνδεση