Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας ΓΠ

parmenides51 · #1

Να υπολογιστεί το άθροισμα $S=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$
Μια προσέγγιση του απειροαθροίσματος από τον Αρχιμήδη

#2

Το έχουμε ξανα πεί στο φόρουμ, αλλά άντε βρες το.

Ας προσθέσω ότι ο Αρχιμήδης δεν βρίσκει το άθροισμα όπως ακριβώς αναφέρει η παραπομπή, αλλά χρησιμοποιεί τετράγωνο που το κόβει στα τέσσερα (η ίδια μέθοδος λειτουργεί γιά κάθε n στη θέση του 4).

Να ο τρόπος που το λέω σε παιδιά (ακόμα και στους φοιτητές).

Θέλουμε να χωρίσουμε μία τετράγωνη τούρτα στα τρία, για 3 φίλους.

Την κόβουμε (με σταυρό) στα 4 και δίνουμε ένα κομμάτι (=1/4) στον κάθε φίλο. Αυτό που περισσεύει το ξανακόβουμε στα τέσσερα και δίνουμε ένα κομμάτι (=1/16) στον κάθε φίλο. Συνεχίζουμε την διαδικασία αυτή επ΄άπειρον. Τότε ο κάθε φίλος παίρνει $\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + ...$ .
Αλλά αφού στο τέλος θα πάρουν ίσα μερίδια, δηλαδή 1/3, θα είναι
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + ... = \frac{1}{3}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

parmenides51 · #3

Στο γεγονός περί τούρτας συνηγορεί και η μεταπτυχιακή εργασία της Ιστορία και Μεθόδοι Υπολογισμού Σειρων της Στέλλας Κουτράκη σελ.37-38, την οποία κατά σύμπτωση επιβλέπατε.

#4

Ναι, είχα ξεχάσει ότι η Στέλλα χρησιμοποίησε την τούρτα για να ερμηνεύσει το άθροισμα του Αρχιμήδη. Πάντως εγώ της το είχα πει.

Το βρίσκω πολύ χρήσιμο για τους μαθητές. Ακόμη και την γενίκευσή του $\frac{1}{N} + \frac{1}{N^2}+ \frac{1}{N^3}+... = \frac{1}{N-1}$ . Μόνο που για το γενικό είναι ευκολότερο να χωρίσουμε την τούρτα όχι σε τετράγωνα αλλά σε N+1 στενόμακρες λουρίδες και μοιράσουμε, σε κάθε βήμα, τις Ν.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Μιχάλη, πολύ εντυπωσιακό με την τούρτα!!! Θα το χρησιμοποιώ, όταν κάνω γενικές συζητήσεις στους μαθητές Γυμνασίου.

parmenides51 · #6

Σχετικά μια άκρως ενδιαφερουσα διπλωματική είναι του Βασιλείου Ν.Γεωργίου με θέμα '' Η Μέθοδος της εξάντλησης των Ευδόξου-Αρχιμήδη'' .
Στις σελίδες 49-52 αναφέρεται στο παραπάνω άθροισμα.

edit: Να και πως μοιράζονται την τούρτα εδώ

nik21 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Θέλουμε να χωρίσουμε μία τετράγωνη τούρτα στα τρία, για 3 φίλους.

Την κόβουμε (με σταυρό) στα 4 και δίνουμε ένα κομμάτι (=1/4) στον κάθε φίλο. Αυτό που περισσεύει το ξανακόβουμε στα τέσσερα και δίνουμε ένα κομμάτι (=1/16) στον κάθε φίλο. Συνεχίζουμε την διαδικασία αυτή επ΄άπειρον. Τότε ο κάθε φίλος παίρνει $\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + ...$ .

Πολύ ωραίο το παράδειγμα. Μιας και διδάσκω τις τελευταίες μέρες το άθροισμα άπειρων όρων στη Β' Λυκείου, βλέπω για μια ακόμη φορά τη δυσκολία και καλών μαθητών κατανόησης της έννοιας του απείρου.
Και η δυσκολία έγκειται ακριβώς εδώ:

Mihalis_Lambrou έγραψε:Αλλά αφού στο τέλος θα πάρουν ίσα μερίδια, δηλαδή 1/3, θα είναι
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + ... = \frac{1}{3}$

Στο πώς γίνεται δηλαδή να μιλήσουμε για το τι γίνεται στο τέλος, όταν συζητάμε για μια διαδικασία που τελείται επ άπειρο...

parmenides51 · #8

nik21 έγραψε: Στο πώς γίνεται δηλαδή να μιλήσουμε για το τι γίνεται στο τέλος, όταν συζητάμε για μια διαδικασία που τελείται επ άπειρο...

Το μόνο σχόλιο που έχω να κάνω βασίζεται στην λογική του Παραδόξου του Ζήνωνα.

Σύμφωνα με το παράδοξο αυτό (όπως το θυμάμαι) κάποιος πετά ένα βέλος προς έναν στόχο που απέχει απόσταση $\displaystyle{S}$ ,
και στην συνέχεια το βέλος αρχικά καλύπτει το μισό της απόστασης $\displaystyle{\left(\frac{S}{2} \right)}$ ,
μετά το μισό της εναπομείνουσας μισής απόστασης $\displaystyle{\left(\frac{S}{4} \right)}$ ,
μετά το μισό της της εναπομείνουσας μισής της μισής απόστασης $\displaystyle{\left(\frac{S}{8} \right)}$ και ούτω κάθε εξής,
δηλαδή επαναλαμβάνει μια διαδικασία που τελείται επ' άπειρο.
Στην πράξη όμως τελικά φτάνει το βέλος στον στόχο.

Οπότε με την ίδια λογική, στην πράξη θα τελειώσει η τούρτα.

Έτσι το αντιλαμβάνομαι.

Στην παραπομπή του ο Μάκης εδώ,
θεωρεί διαφορετικά το παράδοξο του βέλους και της διχοτομίας. Τέλοσπάντων

Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας ΓΠ

Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας ΓΠ

Re: Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας

Re: Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας

Re: Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας

Re: Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας

Re: Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας

Re: Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας

Re: Ιδιοφυής υπολογισμός αθροίσματος άπειρων όρων φθίνουσας

Μέλη σε σύνδεση