Παραγοντοποίηση

papel · #1

Να βρεθει η ελαχιστη τιμη του θετικου ακεραιου m ετσι ωστε το πολυωνυμο $\displaystyle{{x^4} + m}$ να παραγοντοποιειται σε γινομενο δυο δευτεροβαθμιων τριωνυμων με ακεραιους συντελεστες.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

papel έγραψε:Να βρεθει η ελαχιστη τιμη του θετικου ακεραιου m ετσι ωστε το πολυωνυμο $\displaystyle{{x^4} + m}$ να παραγοντοποιειται σε γινομενο δυο δευτεροβαθμιων τριωνυμων με ακεραιους συντελεστες.

m = 4 με

.

Πράγματι, αν
x^4+4= (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

με σύγκριση συντελεστών βρίσκουμε

$c = -a, \,\, b+d=-ac=a^2, a(b-d)=0\,\,$ ,

Εύκολα καταλήγουμε στο b = d οπότε και στο a^2 = 2b

H μικρότερη ακέραια λύση της τελευταίας είναι a=2=b και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Y.Γ. Λευτέρη, η άσκηση ζητά ακέραιους συντελεστές.

#4

Μάλιστα η ταυτότητα x^4+4y^4 = (x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)

(εδώ έχουμε την περίπτωση όπου y=1

) είναι γνωστή ως ταυτότητα της Sophie Germain μίας εξαιρετικής Γαλλίδας μαθηματικού η οποία (σε μικρή ηλικία τουλάχιστον) δημοσίευε με ανδρικό όνομα (M. LeBlanc ) σε περιοδικά στα τέλη του 17ου και αρχές τους 18ου αιώνα (δύσκολες εποχές για γυναίκες που ασχολούνταν με μαθηματικά ειδικά στη Γαλλία) στην οποία οφείλεται και η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat για εκθέτες πρώτους αριθμούς μικρότερους του 100.

Η ενασχόλησή της με τα μαθηματικά έγινε στην αρχή από βιβλία των Legendre και Gauss που διέθετε ο πατέρας της στη βιβλιοθήκη του και αργότερα έστελνε εργασίες με το παραπάνω παρατσούκλι στον Lagrange διότι η Ecole Polytechnique που μόλις είχε ανοίξει δεν δεχόταν γυναίκες.

Αλέξανδρος

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Y.Γ. Λευτέρη, η άσκηση ζητά ακέραιους συντελεστές.

Σωστά. Εγώ έμεινα στον ακέραιο m...

parmenides51 · #6

Οι περιπτώσεις $\displaystyle{m=2}$ και $\displaystyle{m=3}$ απορρίφθηκαν με δοκιμές;
Γιατί δεν έγινε η παραμικρή αναφορά σε αυτές.

#7

parmenides51 έγραψε:Οι περιπτώσεις $\displaystyle{m=2}$ και $\displaystyle{m=3}$ απορρίφθηκαν με δοκιμές;
Γιατί δεν έγινε η παραμικρή αναφορά σε αυτές.

Έχεις δίκιο πρέπει να εξεταστούν. Το ίδιο και η περίπτωση m=1

.

Αν γνωρίζουμε μιγαδικούς μπορούμε να βρούμε όλες τις ρίζες του πολυωνύμου. Οι ρίζες του x^4+m = 0

με

είναι οι $\sqrt[4]{m}(\pm 1 \pm i)\sqrt{2}/2$ . Ξέρουμε ότι για να είναι πραγματικά τα πολυώνυμα πρέπει να έχουν πραγματικές ρίζες οπότε το ένα πρέπει να έχει ρίζες τα $\sqrt[4]{m}(1 \pm i)\sqrt{2}/2$ , το άλλο τα $\sqrt[4]{m}(- 1 \pm i)\sqrt{2}/2$ και ελέγχουμε αν οι συντελεστές μπορούν να είναι ακέραιοι.

Αν δεν γνωρίζουμε μιγαδικούς τότε για το x^4+2

υπάρχουν δύο περιπτώσεις. Είτε x^4+2 = (x^2 + ax + 2)(x^2 + bx +1)

είτε

. Στην πρώτη περίπτωση από τον συντελεστή του x^3

παίρνουμε

και από τον συντελεστή του

παίρνουμε

. Το σύστημα δίνει a=b=0

το οποίο όμως δεν είναι λύση αφού $x^4+2 \neq (x^2+2)(x^2+1)$ . Με παρόμοιο τρόπο πρέπει να εργαστούμε και στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Μέλη σε σύνδεση