2ου βαθμού με παράμετρο (Α' Άλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου

, να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{(k^2+k-2)x^2+(2k^2+k+3)x+k^2-1=0}$

(Μέχρι 22/02/12)

Ch.Chortis · #2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου , να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{(k^2+k-2)x^2+(2k^2+k+3)x+k^2-1=0}$

(Μέχρι 22/02/12)

Για

καταλήγουμε στη πρωτοβάθμια εξίσωση $4x=0 \leftrightarrow x=0$ ενώ για k=-2

καταλήγουμε στη $5x+3=0 \leftrightarrow x=\frac {-3} {5}$ .Εξετάζουμε τώρα τις περπτώσεις η εξίσωσή μας να είναι δευτεροβάθμια.Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της : $\displaystyle D=(2k^2+k+3)^2-4(k^2-1)(k^2+k-2) \geq 0 \leftrightarrow \cdots=25k^2+10+1\geq 0 \leftrightarrow (5k+1)^2 \geq 0$ Για $k=\frac {-1} {5}$ η διακρίνουσα μηδενίζεται και η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την : $\displaystyle \frac {-(2k^2+k+3)} {2(k^2+k-2)}$ για την οποία θα πρέπει να μην είναι k=1,k=-2

αφού τότε ο παρονομαστής μηδενίζεται,ενώ για -2<k<1

το

παίρνει θετικές τιμές.Προφανώς για k<-2,k>1

το

αρνητικό ενώ ποτέ το

δε μηδενίζεται αφού ο αριθμητής έχει αρνητική διακρίνουσα.Τώρα για D>0

έχουμε: $\displaystyle x_1=\frac {-(2k+k+3)+\sqrt{D}} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2k^2-k-3+5k+1} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2(k^2-2k+1)} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2(k-1)^2} {2(k^2+k-2)}=\frac {-(k-1)} {k+2}$ και $\displaystyle x_2=\frac {-2k^2-k-3-5k-1} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2(k^2+3k+2)} {2(k^2+k-2)}=\frac {-(k+1)} {k-1}$ .Στο x_1

δεν μπορεί k=1,k=-2

γιατί τότε ο παρονομαστής μηδενίζεται ενώ για -2<k<1

γίνεται θετικό(για όλες τις υπόλοιπες πιθανές τιμές του

είναι αρνητικό).Για το x_2

ισχύει για τον παρονομαστή οτι και για το x_1

,για

παίρνει θετικές τιμές,για -1>k>-2

αρνητικές ενώ για k>1,k<-2

παίρνει αρνητικές.ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ.Ξέχασα να ΕΥΧΑΡΙΣΤΗΣΩ το ΓΙΩΡΓΟ ΑΠΟΚΗ για το ΠΜ το.Κ.ΓΙΩΡΓΟ λυπάμαι

dr.tasos · #3

Νομίζω πρέπει να δεις και την περίπτωση που μηδενίζει το $\displaystyle{ k^2+k-2 }$ διότι βγαίνει πρωτοβάθμια με διαφορετική ρίζα .
Επίσης δεν νομίζω οτι χρείαζεται να δεις πότε είναι θετικές οι ρίζες ή αρνητικές αντίστοιχα .

Γιώργος Απόκης · #4

Ch.Chortis έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου , να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{(k^2+k-2)x^2+(2k^2+k+3)x+k^2-1=0}$

(Μέχρι 22/02/12)
Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της εξίσωσης: $\displaystyle D=(2k^2+k+3)^2-4(k^2-1)(k^2+k-2) \geq 0 \leftrightarrow \cdots=25k^2+10+1\geq 0 \leftrightarrow (5k+1)^2 \geq 0$ Για $k=\frac {-1} {5}$ η διακρίνουσα μηδενίζεται και η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την : $\displaystyle \frac {-(2k^2+k+3)} {2(k^2+k-2)}$ για την οποία θα πρέπει να μην είναι αφού τότε ο παρονομαστής μηδενίζεται,ενώ για το παίρνει θετικές τιμές.Προφανώς για το αρνητικό ενώ ποτέ το δε μηδενίζεται αφού ο αριθμητής έχει αρνητική διακρίνουσα.Τώρα για έχουμε: $\displaystyle x_1=\frac {-(2k+k+3)+\sqrt{D}} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2k^2-k-3+5k+1} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2(k^2-2k+1)} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2(k-1)^2} {2(k^2+k-2)}$ και $\displaystyle x_2=\frac {-2k^2-k-3-5k-1} {2(k^2+k-2)}=\frac {-2(k^2+3k+2)} {2(k^3+k-2)}$ .Στο δεν μπορεί γιατί τότε ο παρονομαστής μηδενίζεται ενώ για γίνεται θετικό(για όλες τις υπόλοιπες πιθανές τιμές του είναι αρνητικό).Για το ισχύει για τον παρονομαστή οτι και για το ,για παίρνει θετικές τιμές,για αρνητικές ενώ για παίρνει αρνητικές.

dr.tasos έγραψε:Νομίζω πρέπει να δεις και την περίπτωση που μηδενίζει το $\displaystyle{ k^2+k-2 }$ διότι βγαίνει πρωτοβάθμια με διαφορετική ρίζα .
Επίσης δεν νομίζω οτι χρείαζεται να δεις πότε είναι θετικές οι ρίζες ή αρνητικές αντίστοιχα .

Έχει δίκιο ο Τάσος. Πάρε ξεχωριστά τις περιπτώσεις k=1,~k=-2

...

2ου βαθμού με παράμετρο (Α' Άλγεβρα)

2ου βαθμού με παράμετρο (Α' Άλγεβρα)

Re: 2ου βαθμού με παράμετρο (Α' Άλγεβρα)

Re: 2ου βαθμού με παράμετρο (Α' Άλγεβρα)

Re: 2ου βαθμού με παράμετρο (Α' Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση