Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (6)

#1

Αν για την συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ ισχύουν
α) f(x+y)<f(x)+2y ,

για κάθε $x\in \Bbb{R} ,$ για κάθε y>0

β)

για κάθε $x\in \Bbb{R},$
να αποδείξετε ότι $f(x)=x , \ \forall x\in \Bbb{R}.$

#2

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και για κάθε $y>0 \ \ (1)$ .

f(f(x))+2x=3f(x)

για κάθε $x\in\mathbb{R} \ \ (2)$

Για x=0

η

δίνει $f(f(0))=3f(0) \ \ (3)$

Για x=0

η

δίνει

για κάθε $y>0 \ \ (4)$

Για x=-y

δίνει

για κάθε

ή

για κάθε $y<0 \ \ (5)$

Αν ήταν f(0)>0

τότε για

η

δίνει:

δηλαδή

, άτοπο από την (3)

.

Όμοια αν ήταν f(0)<0

τότε για

η

δίνει:

δηλαδή

, άτοπο από την (3)

.

Άρα

Έστω τώρα ότι υπάρχει $x_0\neq 0$ ώστε $f(x_0)\neq x_0$ .

Αν ήταν f(x_0)-x_0>0

για κάποιο x_0

τότε για

και

η

δίνει:

ή

, άτοπο από τη (2)

.

Αν ήταν f(x_0)-x_0<0

για κάποιο x_0

τότε για

και

η

δίνει:

ή

, άτοπο από τη (2)

.

Άρα για κάθε $x\neq 0$ είναι f(x)=x

.

Άρα

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ συνάρτηση που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος άρα είναι και η ζητούμενη.

Αλέξανδρος

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (6)

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (6)

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (6)

Μέλη σε σύνδεση