Επίλυση ανίσωσης

#1

Σήμερα θα πρωτοτυπήσω...
Να λύσετε την ανίσωση:
$\displaystyle{ x^7 + x^5 + x^3 > 3 }$
Άλγεβρα Β'Λυκείου-Συναρτήσεις όρια συνέχεια Γ'Λυκείου. Όλα δεκτά...Μέχρι 5/03/2012

dr.tasos · #2

Έχω ισοδύναμα $\displaystyle{ x^7+x^5+x^3 >3 \Leftrightarrow x^7+x^5+x^3-3>0 }$ που με $\displaystyle{ Horner }$ για $\displaystyle{ x=1 }$ παίρνω οτι
$\displaystyle{ x^7+x^5+x^3-3>0 \Leftrightarrow (x-1)(x^6+x^5+2x^4+2x^3+3x^2+3x+3)> 0 \quad (1)}$ όμως παρατηρω οτι για $\displaystyle{ x<0 }$ η αρχική δεν ισχυει άρα θα είναι $\displaystyle{ x\geq 0 }$ διαιρω με $\displaystyle{ (x^6+x^5+2x^4+2x^3+3x^2+3x+3)}$ αφου είναι θετικός όρος ( αθροισμα μη αρνητικων και θετικου ) και παίρνω $\displaystyle{ x-1 >0 \Leftrightarrow x>1 \Leftrightarrow x \in (1,+\infty) }$

Ch.Chortis · #3

Ελπίζω η παρακάτω λύση να σας ευχαριστήσει Κύριε Χρήστο.Αν x<0

τότε,αφού οι βαθμοί όλων των μονωνύμων του

είναι περιττοί,τα μονώνυμα θα πάρουν αρνητικές τιμές και συνεπώς το άθροισμά τους θα είναι μικρότερο του μηδενός.Άρα καταλήγουμε σε άτοπο.Αν 0<x<1

όλα τα μονώνυμα παίρνουν τιμές μικρότερες του

άρα $\displaystyle x^7+x^5+x^3< 3$ .Άτοπο.Μας μένει να εξετάσουμε το διάστημα $\displaystyle {(1,\infty)}$ .Θέτουμε k=x^3

με $k \geq 1$ και η ανίσωσή μας μετασχηματίζεται στην: $\displaystyle x^3*x^3*x+x^3*x^2+x^3>3 \Leftrightarrow k^2x+kx^2+k>3 \Leftrightarrow kx^2+k^2x+k-3>0(1)$ .Ο καλύτερος τρόπος για να αντιμετωπίσουμε το (1) είναι αντικαθιστώντας από την αρχή τις μεταβλητές του

με την ελάχιστη τιμή του(δηλαδή το

).Έχουμε τώρα: $\displaystyle x^2+x-2>0 (2)$ .Η διακρίνουσα του (2) είναι: $\displaystyle \Delta (2)=1^2-4*(-2)=1+8=9$ .Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι: $\displaystyle x_1>\frac {-1+\sqrt {9}} {2}=\frac {3-1} {2}=1$ και $\displaystyle x_2>\frac {-1-3} {2}=-2$ με το x_2

να απορρίπτεται.Διαφορετικά-Δύσκολα...Το (1) το θεωρούμε τριώνυμο ως προς

.Απαιτούμε $\Delta \geq 0$ δηλαδή $\displaystyle \Delta=(k^2)^2-4k(k-3)=k^4-4k^2+12k=k(k^3-4k+12) \geq 0$ .Καταλήγουμε στο οτι οι ρίζες της ανίσωσεις είναι οι $\displaystyle x_1>\frac {-k^2+\sqrt {k(k^3-4k+12)}} {2k}$ και $\displaystyle x_2<\frac {-k^2-\sqrt {k(k^3-4k+12)}} {2k}$ .Αφού η ελάχιστη τιμή του

είναι το

έχουμε (αντικαθιστώντας): $\displaystyle x_1>\frac{-1^2+\sqrt {1(1^3-4*1+12)}} {2*1}=\frac {-1+\sqrt {9}} {2}=\frac {3-1} {2}=1$ και $\displaystyle x_2<\frac {-1-3} {2}=-2$ .Απορρίπτεται το x_2

γιατί έχει λύσεις αρνητικούς αριθμούς.Ευχαριστώ τον Parmenides για τις επισημάνσεις του στα ΠΜ που μου έστειλε.Η λύση μου είναι λανθασμένη.Την αφήνω για τον κόπο μου.

parmenides51 · #4

Βγαίνει με αρκετούς τρόπους και με γνώσεις Α΄ Λυκείου, αλλά καλό θα ήταν εξηγούμε λίγο καλύτερα τα όσα θεωρούμε προφανή

akis15 · #5

Ορίζω την

$=\chi ^{7}+x^{5}+x^{3}$ Εύκολα βρίσκω ότι ειναι γνησίως αύξουσα.

Ακόμα f(1)=3

συνεπώς έχουμε οτι f(x)>f(1)

είναι και γνησίως αύξουσα οπότε τελικά x>1

parmenides51 · #6

dr.tasos

akis15

#7

Ch.Chortis έγραψε:Εντάξει Παρμενίδη,είχα στο νου μου τη λύση του dr.tasos αλλά...

Αλλά τι;
Έχω ξαναγράψει πως αν κάποιος θεωρεί προφανή τα ζητούμενα της άσκησης ή αν βαριέται να ασχοληθεί, ε τότε ας μην το κάνει.
Θα επιμείνω σε αυτό. Δεν είναι υποχρεωτικό να απαντάτε.

#8

Ch.Chortis έγραψε:Ελπίζω η παρακάτω λύση να σας ευχαριστήσει Κύριε Χρήστο.

Αν ευχαριστεί εσένα φίλτατε, εμένα μου περισσεύει...

mathxl · #9

chris_gatos έγραψε:Σήμερα θα πρωτοτυπήσω...
Να λύσετε την ανίσωση:
$\displaystyle{ x^7 + x^5 + x^3 > 3 }$
Άλγεβρα Β'Λυκείου-Συναρτήσεις όρια συνέχεια Γ'Λυκείου. Όλα δεκτά...Μέχρι 5/03/2012

Για $\displaystyle{x > 1}$ η εξίσωση μας είναι αδύνατη διότι είναι
$\displaystyle{x > 1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{x^7} > 1}\\ {{x^3} > 1}\\ {{x^5} > 1} \end{array} \Rightarrow {x^7} + {x^3} + {x^5} > 3}$
Για $\displaystyle{x < 1}$ η εξίσωση μας είναι αδύνατη διότι είναι
$\displaystyle{x < 1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{x^7} < 1}\\ {{x^3} < 1}\\ {{x^5} < 1} \end{array} \Rightarrow {x^7} + {x^3} + {x^5} < 3}$
Η x=1

επαληθεύει και έτσι είναι η μοναδική μας λύση
αα καλά το κάψαμε...ο Χρήστος μιλά για ανίσωση και εγώ λύνω εξίσωση...
Στο μυαλό μου είχα την $\displaystyle{{x^7} + {x^3} + {x^5} = 3}$

dr.tasos · #10

chris_gatos έγραψε:
Ch.Chortis έγραψε:Ελπίζω η παρακάτω λύση να σας ευχαριστήσει Κύριε Χρήστο.
Αν ευχαριστεί εσένα φίλτατε, εμένα μου περισσεύει...

Η αντιμετώπιση που κάνει με την ελάχιστη τιμή είναι σωστή ;

#11

dr.tasos έγραψε:
chris_gatos έγραψε:
Ch.Chortis έγραψε:Ελπίζω η παρακάτω λύση να σας ευχαριστήσει Κύριε Χρήστο.
Αν ευχαριστεί εσένα φίλτατε, εμένα μου περισσεύει...
Η αντιμετώπιση που κάνει με την ελάχιστη τιμή είναι σωστή ;

Τάσο εγώ θεωρώ πως είναι λανθασμένη από την αρχή της κιόλας.
Ειδικά αυτό που πράττει με την αντικατάσταση των μεταβλητών από παράμετρο που εξαρτάται από αυτές.
Αν προσέξεις ξεκινάει με $k=x^3\ge 1$ δηλαδή και $x\ge 1$ δουλεύει για k=1

δηλαδή και x=1

και καταλήγει x>1

!!!
Πολλές στροφές για το τίποτα νομίζω. Δεν παύει να είναι μία προσπάθεια όμως.
Ευχαριστώ και όλους τους άλλους λύτες που επέλεξαν να στείλουν νορμάλ λύσεις για την προφανή αυτήν άσκηση.
Αυτά καλό μεσημέρι.

Ch.Chortis · #12

Ch.Chortis έγραψε: $\Delta \geq 0$ δηλαδή $\displaystyle \Delta=(k^2)^2-4k(k-3)=k^4-4k^2+12k=k(k^3-4k+12) \geq 0$ .

Εδώ βρίσκεται η απόδειξη οτι $k\leq -3,k\geq 0$ εάν ίσχυε το αντίθετο τότε η διακρίνουσα για οποιαδήποτε τιμή του -3<k<0

θα ήταν αρνητική και συνεπώς καταλήγουμε σε άτοπο.Απορρίπτουμε την περίπτωση k<-3

γιατί τότε και το x<0

άτοπο.Έχουμε επίσης $x\geq 1$ άρα θα πρέπει και $k \geq 1$ .Συνεπώς από την αρχή θα μπορούσα να πω οτι αφού $k=x^3,k\geq 1$ τότε $x \geq 1$ με την ισότητα να απορρίπτεται.Η λύση μου είναι λανθασμένη..

Επίλυση ανίσωσης

Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Re: Επίλυση ανίσωσης

Μέλη σε σύνδεση