Μέγιστο - Ελάχιστο.

k-ser · #1

Με αφορμή κάποια λύση που έδωσα σε άσκηση του mathxl viewtopic.php?f=56&t=2104, δίνω σε συνημμένο ένα θεώρημα: Αν μια συνεχής στο (α,β) συνάρτηση έχει όρια στα α,β $-\infty$ ή $+\infty$ τότε θα έχει μέγιστο ή ελάχιστο αντίστοιχα.
Το συμπέρασμα φαίνεται λογικό και, ίσως για κάποιους, να μην είναι απαραίτητη η απόδειξη.
Με βάση τους ορισμούς που δίνονται στα βιβλία Ανάλυσης των ΑΕΙ το συμπέρασμα αυτό να προκύπτει πολύ πιο εύκολα από την απόδειξη που παραθέτω και η οποία χρησιμοποιεί τους ορισμούς των ορίων και την ιδιότητα του ελαχίστου πάνω φράγματος ενός συνόλου.

Οποιαδήποτε παρατήρηση ή πιο εύκολη απόδειξη είναι ευπρόσδεκτη.

Δεν γνωρίζω αν μπορούμε ή αν χρειάζεται να το αναφέρουμε σε μαθητές Γ΄ Λυκείου, σαν παρατήρηση - και εννοώ μόνο το θεώρημα - για τα σύνολα τιμών συνεχούς συνάρτησης στο τέλος του 1ου κεφαλαίου της Ανάλυσης. Δεν θυμάμαι να έχω συναντήσει κάποια άσκηση για τη λύση της οποίας να είναι απαραίτητο.
Ποτέ όμως δεν ξέρεις! Ας υπάρχει, τουλάχιστον, στο Φάκελο του Καθηγητή.

max - min.pdf: (105.16 KiB) Μεταφορτώθηκε 166 φορές

#2

Έστω $\displaystyle\lim_{x\to a,b}f(x)=+\infty$ (ομοίως για την περίπτωση του $-\infty$ ) και έστω $c\in\mathbb{R}$ με $f(x_{0})=c$ για κάποιο $x_{0}\in(a,b)$ .
Βρίσκουμε $0<\delta<\min\{x_{0}-a,b-x_{0}\}$ τέθοιο ώστε: $a<x<a+\delta$ ή $b-\delta<x<b$ $\Longrightarrow$ $f(x)>c=f(x_{0})$ .
Στο $[a+\delta,b-\delta]$ λόγω συνέχειας, η

θα έχει ελάχιστη τιμή, έστω $f(x_{1})$ όπου $x_{1}\in[a+\delta,b-\delta]$ .
Διακρίνουμε τις δυο περιπτώσεις:
$\bullet$ Αν $x\in[a+\delta,b-\delta]$ , τότε $f(x)\geq f(x_{1})$ , ενώ
$\bullet$ αν $x\in(a,a+\delta)\cup(b-\delta,b)$ , τότε $f(x)> c=f(x_{0})\stackrel{x_{0}\in[a+\delta,b-\delta]}{\geq} f(x_{1})$ .

k-ser · #3

Αναστάση, μπράβο!
Χρησιμοποιείς μόνο το πρώτο κομμάτι της απόδειξής που έκανα. Είχα προσπαθήσει να το κάνω κι εγώ. Δεν σκέφτηκα, όμως, να πάρω σαν -K_1

, στην απόδειξή μου, μία τιμή της f.

Θα συμπληρώσω το συνημμένο, με την πολύ ωραία σκέψη σου.

#4

Η ιδέα είναι γενίκευση κατά κάποιον τρόπο της λύσης που παρουσιάζεται σε αυτό το post.
Κώστα να είσαι καλά!

#5

Με την ευκαιρία: Στο θέμα Πολυώνυμο (viewtopic.php?f=52&p=5536#p5536) που ξεκίνησε από μία άσκηση που έθεσε, ποιός άλλος, ο Χρήστος Κυριαζής υπάρχει μία διάταξη, απολύτως σχολική που κάνω κάθε χρόνο, με την οποία μπορεί να αποδειχθεί το παραπάνω αποτέλεσμα. Την απόδειξη την είχε κάνει και εκεί ο Α. Κοτρώνης.
Μαυρογιάννης

k-ser · #6

Νίκο, έχεις δίκιο - το επεσήμανε και ο Αναστάσης. Το είχα ξεχάσει!
Το θεώρημα που έβαλα παραπάνω γενικεύει το θέμα που συζητήσαμε τότε και για την απόδειξή του, όπως την σκέφτηκε ο Αναστάσης, χρειαζόμαστε τους ορισμούς των ορίων και τα "σχολικά" θεωρήματα της συνέχειας.

#7

Κώστα την παραπομπή του Αναστάση δεν την πρόσεξα. Τα μικρά γράμματα αρχίζουν να με δυσκολεύουν. Με αφορμή αυτό το θέμα και ένα άλλο με μιγαδικούς αναρωτιέμαι, γιατί όλοι ξεχνάμε, αν θα υπήρχε κάποιος τρόπος να βρίσκουμε τι προϋπήρξε. Για παράδειγμα επειδή εγώ θυμόμουν ότι κάτι είχαμε συζητήσει παλιότερα και ότι σε μία απάντηση στον Αναστάση είχα χρησιμοποιήσει την λέξη "ομοιομορφισμός" έδωσα στην αναζήτηση την λέξη αυτή και βρέθηκα στο θέμα. Σκεφτόμουν λοιπόν, και αυτό δεν είναι της ώρας αλλά θέλει σκέψη, μήπως θα ήταν σκόπιμο να περιλαμβάνουμε σε κάθε μήνυμα κάποιες λέξεις κλειδιά είτε εμφανίζονται στο κείμενο του μηνύματος είτε όχι. Για παράδειγμα στο συγκεκριμένο θέμα θα μπορούσαν να μπουν οι εξής λέξεις: συνάρτηση, συνεχής, ελάχιστο, ανοικτό διάστημα, άπειρα όρια
Μαυρογιάννης

Μέγιστο - Ελάχιστο.

Μέγιστο - Ελάχιστο.

Re: Μέγιστο - Ελάχιστο.

Re: Μέγιστο - Ελάχιστο.

Re: Μέγιστο - Ελάχιστο.

Re: Μέγιστο - Ελάχιστο.

Re: Μέγιστο - Ελάχιστο.

Re: Μέγιστο - Ελάχιστο.

Μέλη σε σύνδεση