Λόγος τετράγωνος

KARKAR · #1

Επί των τεσσάρων πλευρών ( μήκους

η καθεμιά ) , τετραγώνου , παίρνω ομοιοστρόφως , με αρχή κάθε κορυφή

ίσα τμήματα μήκους

, και με τις εμφανιζόμενες συνδέσεις , δημιουργείται το μικρότερο τετράγωνο .

1) Αν ο λόγος $\displaystyle \frac{x}{a}=\lambda$ , είναι $\displaystyle \frac{2}{3}$ , ποιός είναι ο λόγος $\displaystyle \frac{E_{\mu \iota \kappa \rho }}{E_{\mu \varepsilon \gamma }}$ ?

2) Ποιός πρέπει να είναι ο λόγος $\lambda$ , ώστε : $\displaystyle \frac{E_{\mu \iota \kappa \rho }}{E_{\mu \varepsilon \gamma }}=\frac{1}{2}$ ?

Ιστοσελίδα · #2

: Λόγος-τετράγωνος.png (18.77 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές

1) (Σχήμα 1): Από Πυθαγόρειο στο ADE:

$DE = \displaystyle\frac{{a\sqrt {13} }}{3}$ και από λόγο ομοιότητας των τριγώνων $DLG,DAE\,\,\& \,\,AIE,DAE$ αντίστοιχα: $b = \displaystyle\frac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}\,\,\& \,\,d = \displaystyle\frac{{4a\sqrt {13} }}{{39}}$ , οπότε $c = DE - (b + d) = \displaystyle\frac{{a\sqrt {13} }}{{13}}$ και $\displaystyle\frac{{{E_{\mu \iota \kappa \rho }}}}{{{E_{\mu \varepsilon \gamma }}}} = {\left( {\displaystyle\frac{c}{a}} \right)^2} = \displaystyle\frac{1}{{13}}$ .

2) (Σχήμα 2): Έχουμε ότι $\displaystyle\frac{{{E_{\mu \iota \kappa \rho }}}}{{{E_{\mu \varepsilon \gamma }}}} = \displaystyle\frac{1}{2} = {\left( {\displaystyle\frac{c}{a}} \right)^2} \Rightarrow c = \displaystyle\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ και από λόγο ομοιότητας των τριγώνων $DLG,DAE\,\,\& \,\,AIE,DAE$ αντίστοιχα: $b = \displaystyle\frac{{a\lambda }}{{\sqrt {1 + {\lambda ^2}} }}\,\,\& \,\,d = \displaystyle\frac{{a{\lambda ^2}}}{{\sqrt {1 + {\lambda ^2}} }}$ , όπου $DE = a\sqrt {1 + {\lambda ^2}}$ από Πυθαγόρειο στο ADE

.

Έτσι προκύπτει η εξίσωση $DE = b + c + d \Leftrightarrow a\sqrt {1 + {\lambda ^2}} = \displaystyle\frac{{a\lambda }}{{\sqrt {1 + {\lambda ^2}} }} + \displaystyle\frac{{a{\lambda ^2}}}{{\sqrt {1 + {\lambda ^2}} }} + \displaystyle\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ , όπου μετά από πράξεις παίρνουμε την ισοδύναμη $2 - 2\lambda = \sqrt {2 + 2{\lambda ^2}}$ και με περιορισμό $\lambda \le 1$ δεχόμαστε τη λύση $\lambda = 2 - \sqrt 3$ , όπου είναι και ο ζητούμενος λόγος.

KARKAR · #3

Από την ομοιότητα του πράσινου και του ροζ τριγώνων παίρνω : $\displaystyle \frac{s}{a}=\frac{a-x}{\sqrt{a^2+x^2}}\Rightarrow \frac{s^2}{a^2}=\frac{(a-x)^2}{a^2+x^2}$

και επειδή $\displaystyle x=\lambda a , ( \lambda < 1 )$ , τελικά : $\displaystyle \frac{s^2}{a^2}=\frac{(a-x)^2}{a^2+x^2}=\frac{(1-\lambda )^2}{1+\lambda ^2}$

Συνεπώς για λόγο εμβαδών $\displaystyle \frac{1}{2}$ έχω : $\displaystyle \frac{(1-\lambda )^2}{1+\lambda ^2}=\frac{1}{2}...\Leftrightarrow \lambda =2-\sqrt{3}$

Λόγος τετράγωνος

Λόγος τετράγωνος

Re: Λόγος τετράγωνος

Re: Λόγος τετράγωνος

Μέλη σε σύνδεση