Τετράγωνο και καθετότητα

#1

Δίνεται τετράγωνο ABCD

και σημείο

στην πλευρά

.

Η ευθεία

τέμνει την ευθεία

στο σημείο

.Η ευθεία

τέμνει την

στο σημείο

.

Να αποδειχθεί ότι η

είναι κάθετη στην

.

Μπάμπης

S.E.Louridas · #2

Είναι Όμορφη άσκηση.

$\begin{array}{*{20}c} {K \in EF:BK \bot DF.\quad N \equiv BK \cap AF\;\kappa \alpha \dot \iota \;T \equiv BK \cap DA.\;{\rm T}\dot o\tau \varepsilon \;\dot \varepsilon \chi o\upsilon \mu \varepsilon ,\;\vartriangle DAE = \vartriangle ATB \Rightarrow } \\ {AT = AE,\;\frac{{CB}} {{CF}} \cdot \frac{{NF}} {{NA}} \cdot \frac{{AE}} {{EB}} = \frac{{CD}} {{CF}} \cdot \frac{{NF}} {{NA}} \cdot \frac{{AE}} {{EB}} = \frac{{EB}} {{BF}} \cdot \frac{{BF}} {{TA}} \cdot \frac{{AE}} {{EB}} = 1 \Rightarrow N \equiv G.} \\ \end{array}$

S.E.Louridas

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

S.E.Louridas · #4

Αν το

πάει στο

τότε το έχουμε την ταύτιση των σημείων A,E,N

και οι

γίνονται παράλληλες οπότε το

πάει στο άπειρο, οπότε βέβαια η

θα είναι κάθετη στη

, δηλαδή στην DF.

Αν τώρα το

πάει στο

τότε το

(μηδενικό) είναι κάθετο στη

με το

να ταυτίζεται πλέον σε αυτή τη περίπτωση με το

(*) Με την ευκαιρία να πώ ότι στην Λύση μου χρησιμοποιήθηκε προφανώς ένας "Αντίστροφος Μενέλαος".

S.E.Louridas

KARKAR · #5

Ευκαιρία για έναν συνδυασμό με αυτή ...

#6

Έστω το σημείο $Z\equiv AC\cap BG$ και από το πλήρες τετράπλευρο ABEGAC

, έχουμε ότι η σημειοσειρά $Z,\ A,\ T,\ C,$ όπου $T\equiv AC\cap DF,$ είναι αρμονική και άρα, η δέσμη D.ZATC

είναι αρμονική.

: Τετράγωνο και καθετότητα.; f=112_t=24136.PNG (18.38 KiB) Προβλήθηκε 1395 φορές

Επειδή τώρα ισχύει $AD\perp DC$ , προκύπτει ότι $\angle ADT = \angle ADZ = \angle ABZ\ \ ,(1)$ λόγω του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ZBD$ , από OB = OD

και $ZO\perp AB,$ όπου $O\equiv AC\cap BD.$

Από $AD\parallel BF$ $\Longrightarrow$ $\angle ADT = \angle BFT\ \ \ (2)$

Από $(1),\ (2),$

$\Longrightarrow$ $\angle ABZ = \angle BFT\ \ \ (3)$

Από (3)

και $AB\perp BF,$ συμπεραίνεται ότι $BZ\perp FT$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#7

KARKAR έγραψε:Ευκαιρία για έναν συνδυασμό με αυτή ...

Ας δούμε τα πρόσθετα ερωτήματα του Στάθη, στην παραπομπή που μας δίνει ο Θανάσης.

$\bullet$ Από το ως άνω πλήρες τετράπλευρο ABEGAC,

έχουμε ότι η δέσμη C.TERF,

όπου $R\equiv EF\cap BG,$ είναι αρμονική και έστω τα σημεία $P\equiv AD\cap CE$ και $N\equiv AD\cap CR.$

Επειδή τώρα, ισχύει $AN\parallel CF,$ συμπεραίνεται ότι AP = PN

και (2) πρόσθετο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

: Τετράγωνο και καθετότητα - Άπόδειξη πρόσθετων ερωτημάτων Στάθη Κούτρα.; f=112_t=24136(a).PNG (22.53 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

$\bullet$ Έστω το σημείο $Q\equiv BD\cap CR$ και παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $\vartriangle QBC,\ \vartriangle LAG,$ όπου $L\equiv AD\cap BG,$ έχουν συνευθειακά τα σημεία τομής των πλευρών τους μία προς μία

$D\equiv QB\cap LA$ και $R\equiv QC\cap LG$ και $F\equiv BC\cap AG$

.

Άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, τα τρίγωνα αυτά είναι προοπτικά και επομένως, οι ευθείες $QL,\ BA,\ CG$ τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Δηλαδή, η ευθεία

περνάει από το σημείο $E\equiv BA\cap CG$ και το (1) πρόσθετο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Βλέπω σήμερα ( πρωϊνό της 16-03 ) ότι ο Στάθης έβαλε και τρίτο ερώτημα στην παραπομπή που έδωσε ο Θανάσης. Βρήκα μία σύντομη επίσης λύση και θα επανέλθω αργότερα, εκτός και αν με προλάβει κάποιος άλλος, που το εύχομαι.

orestisgotsis · #8

ΠΕΡΙΤΤΑ

#9

orestisgotsis έγραψε:Σε ποιο βιβλίο (στα Ελληνικά) υπάρχουν αυτές οι έννοιες;(Πλήρες τετράπλευρο , αρμονική σημειοσειρά , αρμονική δέσμη).

Ένα βιβλίο που έχω συστήσει αρκετές φορές, είναι του Χ. ΤΑΒΑΝΛΗ - Επίπεδος Γεωμετρία 1 - Εκδόσεις Ι. Χιωτέλλη - Αθήνα 1970 (;).

Είναι παράξενο που αυτό το βιβλίο κυκλοφορεί ακόμα. Τελευταία αγόρασα ένα αντίτυπο από το βιβλιοπωλείο του Σαββάλα και κοστίζει περίπου 15 ευρώ.

Νομίζω ότι θα βρείς αρκετά για τα θέματα που σ' ενδιαφέρουν αλλά και για άλλα ( Πολικές, Συμμετροδιάμεσοι, Διπλός λόγος κ.α. )

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Από την βιβλιογραφία μέχρι και πριν τριάντα χρόνια μπορεί να αναφέρει κάποιος εξαιρετικά βιβλία Γεωμετρίας, τα οποία όμως σπανίζουν πλέον και στα παλαιοπωλεία. Κάπου εδώ στο

, αναρτήθηκε σε ηλεκτρονική μορφή το βιβλίο Γεωμετρίας του Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ για σχολική χρήση, που είχε εκδοθεί από τον "τέως" Οργανισμό σχολικών βιβλίων και ίσως μπορεί κάποιος να μας δώσει τη σχετική δημοσίευση.

orestisgotsis · #10

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #11

vittasko έγραψε:ΥΓ. Από την βιβλιογραφία μέχρι και πριν τριάντα χρόνια μπορεί να αναφέρει κάποιος εξαιρετικά βιβλία, τα οποία όμως σπανίζουν πλέον και στα παλαιοπωλεία. Κάπου εδώ στο , αναρτήθηκε σε ηλεκτρονική μορφή το βιβλίο Γεωμετρίας του Σ. ΚΑΝΕΛΛΟΥ για σχολική χρήση, που είχε εκδοθεί από τον "τέως" Οργανισμό σχολικών βιβλίων και ίσως μπορεί κάποιος να μας δώσει τη σχετική δημοσίευση.

εδώ, εδώ κι εδώ

#12

Παρμενίδη καλημέρα και σ' ευχαριστώ για τις παραπομπές.

Η πρώτη, αφορά σε ένα καταπληκτικό βιβλίο του οποίου έχω την 2η έκδοση σε έντυπη μορφή και θεωρείται ένα από τα καλύτερα βιβλία Γεωμετρίας ( για πολλούς, ίσως το καλύτερο ), της εποχής εκείνης.

Η τρίτη σου παραπομπή είναι το βιβλίο στο οποίο αναφέρθηκα πιο πάνω και νομίζω ότι το ανέβασε κάποιος άλλος πρόσφατα. Ίσως όμως να κάνω λάθος.

Να είσαι καλά, Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι σωστό το Παρμενίδης ως το όνομά σου ; Ζητώ συγνώμη, αλλά δεν μπόρεσα να βρω το ονοματεπώνυμό σου στο φόρουμ.

Τετράγωνο και καθετότητα

Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Re: Τετράγωνο και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση