ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΏΣΕΩΝ

[Α.Κυριακόπουλος]

Microsoft Word - ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.pdf

(263.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 861 φορές

Το συνημμένο είναι η εισήγηση με θέμα: « ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ» που έκανα στην 4η μαθηματική εβδομάδα που έγινε στη Θεσσαλονίκη 7-11 Μαρτίου 2012.
• Όπως είπα και στην ομιλία μου, δεν έχω κάνει καμία νέα ανακάλυψη. Απλά επισημαίνω μερικά σημεία, τα οποία αν δεν προσεχθούν υπάρχει κίνδυνος να περάσουν στους μαθητές λανθασμένα μηνύματα.
• Τέτοιες συζητήσεις μπορούν να γίνουν σε όλα τα κεφάλαια των μαθηματικών. Σε κάθε κεφάλαιο υπάρχουν σημεία, τα οποία θέλουν προσοχή, γιατί εύκολα μπορούν να παρερμηνευτούν από τους μαθητές.
Έχω τη γνώμη ότι η ανάδειξη των σημείων αυτών σε όλα τα κεφάλαια των μαθηματικών, είναι πολύ χρήσιμη και διευκολύνει το έργο των συναδέλφων μαθηματικών. Γι' αυτό, όπως έχω γράψει και άλλη φορά, πιστεύω ότι στις διάφορες ημερίδες και σε άλλες εκδηλώσεις που διοργανώνονται, θα είχαν μεγάλο ενδιαφέρον εισηγήσεις με τέτοια θέματα.

[parmenides51]

[Γιώργος Απόκης]

Πληρέστατη ανάλυση!

[Atemlos]

Ευχαριστούμε κ.Αντώνη.Πάλι κάποια (τεράστια) κενά θα συμπληρωθούν.

[7apostolis]

Καλησπέρα,
διάβασα το κείμενο της ομιλίας σχετικά με τις εξισώσεις.
Μπορώ να πω ότι συμφωνώ απόλυτα με τα γραφόμενα,
ευχαριστώ για το κείμενο (αφού δεν ήμουν στην ομιλία λόγω απόστασης)
και μάλιστα πιστεύω ότι ένα μικρό μέρος τους αποτελούν σύνθεση των ιδεών της παλιάς συζήτησης
που είχαμε εδώ: viewtopic.php?f=67&t=1338&start=40

Ερώτηση: Να λυθεί στο σύνολο Α η εξίσωση (1)

Στόχος : Αναμένεται ο μαθητής να λύσει την (1) και να βρει το σύνολο
λύσεων Β της (1). Γνωρίζει από την εκφώνηση ότι το Β υποσύνολο του Α (μπορεί και το κενό).

Λύση:
Μέθοδος 1: Αν επιλέξει μεθόδους που χρησιμοποιούν αντιστρεπτές πράξεις
(δηλ. ισοδύναμες σχέσεις) τότε το σύνολο Β, που βρίσκει στο τέλος
(λόγω ακριβώς της μεθόδου) είναι το ζητούμενο και δεν χρειάζεται καμμία επαλήθευση.

Μέθοδος 2: Αν επιλέξει την λύση των συνεπαγωγών δηλ. (1) -> 2 -> 3-> ...(δηλ. οι λύσεις τις (1) είναι και λύσεις
2, οι λύσεις της 2 είναι και λύσεις της 3, κοκ) τότε το σύνολο Β που ψάχνει, είναι υποσύνολο του
συνόλου που βρίσκει έτσι, άρα πρέπει να κάνει επαλήθευση στο τέλος, ώστε να προσδιορίσει
ακριβώς το σύνολο Β.

Σχόλια: 1) ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΙΝΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΡΘΕΣ, είτε μας αρέσει είτε όχι. Δεν έχουμε το
δικαίωμα να κόβουμε βαθμούς από τον μαθητή, επειδή εμείς έχουμε την οποιαδήποτε διαφορετική
αντίληψη για το θέμα, από αυτή της λύσης του μαθητή.

2) Εάν θέλουμε ο μαθητής να βρεί το σύνολο ορισμού οπωσδήποτε, τότε μπορούμε
και πρέπει να το ζητήσουμε με ένα ενδιάμεσο ερώτημα.

και εδώ: viewtopic.php?f=51&t=1384

Ας δεχτούμε την ακραία περίπτωση όπου ένας μαθητής Α' Λυκείου στο 'τελικό διαγώνισμα'
λύνει την εξίσωση (1) όπως παρακάτω:

(κάνοντας τις πράξεις που παραλείπω και αντί για λόγια βάζει συνεπαγωγές (παρεπιπτόντως
κάθε χρόνο ακούω από τους μαθητές μου στο σχολείο ότι απαγορεύτηκαν ή καταργήθηκαν τα μαθηματικά σύμβολα))

<<Οι λύσεις της (1) είναι και λύσεις της . Η τελευταία έχει λύσεις x=1 ή x=2.
Από αυτές μόνο η πρώτη επαληθεύει την (1), άρα μοναδική λύση x=1.>>

Ρωτώ λοιπόν πόσοι από εμάς, που τον βαθμολογούμε,
είμαστε επιστημονικά και ψυχολογικά έτοιμοι να του βάλουμε άριστα;

Υπάρχουν συνάδελφοι, που σε σχετική μου ερώτηση, μου είπαν ότι ναι μεν είναι σωστό αλλά δεν θα του βάλουν
τον ίδιο βαθμό με έναν άλλο που το έλυσε με τον συνηθισμένο τρόπο. Κάτι, έστω και ελάχιστο, θα κόψουν!
Αυτό εννοώ λέγοντας ότι θέλουμε να επιβάλλουμε την αυθεντία μας.

Όταν στη συνέχεια τους ρωτώ για την επίλυση από τους ίδιους της
(2)
τότε διαπιστώνουν ότι η λύση της (2) (με χιαστί) και επαλήθευση έχει μεγαλύτερη σημασία από την εύρεση του
συνόλου ορισμού της (2), που είναι δύσκολο για όποιον μαθητή Α' λυκείου
δεν έχει ταλέντο στην παραγοντοποίηση ή καλές γνώσεις πολυωνύμων ( R-{-5/2})

Συνοπτικά πιστεύω ότι πρέπει να δείχνουμε στα παιδιά σωστούς και πολλούς τρόπους, και με την
προσωπική δουλειά το κάθε παιδί θα καταλάβει, όταν ωριμάσει μαθηματικά, σε ποιες περιπτώσεις
συμφέρει με ισοδυναμίες και σε ποιες με συνεπαγωγές και επαλήθευση.

Δεν μπαίνω καν στον κόπο να διαχωρίζω κλασματικές-άρρητες-τριγωνομετρικές-λογαριθμικές
όσον αφορά την εύρεση ή μη του συνόλου ορισμού της εξίσωσης. Αν είναι εύκολη
ή εύρεσή του, τότε το βρίσκομε, αλλιώς προχωράμε και στο τέλος κάνουμε επαλήθευση.

Α. Παπαδογιαννάκης

[Α.Κυριακόπουλος]

Καλησπέρα,
διάβασα το κείμενο της ομιλίας σχετικά με τις εξισώσεις.
Μπορώ να πω ότι συμφωνώ απόλυτα με τα γραφόμενα,
ευχαριστώ για το κείμενο (αφού δεν ήμουν στην ομιλία λόγω απόστασης)
και μάλιστα πιστεύω ότι ένα μικρό μέρος τους αποτελούν σύνθεση των ιδεών της παλιάς συζήτησης που είχαμε εδώ: viewtopic.php?f=67&t=1338&start=40
και εδώ: viewtopic.php?f=51&t=1384
Α. Παπαδογιαννάκης

Αγαπητέ Αποστόλη.
Στην εισήγησή μου αυτή «ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ» φυσικό ήταν να συμπεριλάβω και αυτά που έχω γράψει κατά καιρούς για το ίδιο θέμα, επομένως και αυτά που γράφω στις παραπομπές που αναφέρεις. Εξάλλου αν διαβάσεις την βιβλιογραφία (στο τέλος) θα δεις ότι αναφέρω και το: http://www.mathematica.gr .
Φιλικά.

[Χρήστος Λαζαρίδης]

Αυτό λέγεται τακτοποίηση γνώσεων.
Θα ήταν ωραίο να υπήρχε και σε άλλους τομείς.

Χρήστος Λαζαρίδης

[ghan]

Τα « ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ » του Α. Κυριακόπουλου, αποτελούν
μία συγκροτημένη και πλήρη αναφορά σ΄ ένα θέμα που ενδιαφέρει μαθητές
και δασκάλους.

Σε ευχαριστούμε Δάσκαλε!

[MarKo]

Αυτό λέγεται τακτοποίηση γνώσεων.
Θα ήταν ωραίο να υπήρχε και σε άλλους τομείς.

Χρήστος Λαζαρίδης

Ακριβώς.
Ευχαριστούμε πολύ!

[pito]

Εξαιρετικό, σας ευχαριστούμε πολύ!

[thamanos]

Κε Αντώνη Κυριακόπουλε, σας ευχαριστούμε πολύ που συγκεντρώσατε το υλικό αυτό και μας το παρουσιάσατε με τρόπο ακριβή και κατανοητό.
Ενα είναι σίγουρο, οτι θα μας βοηθήσει πολύ σαν μαθηματικούς στην διδακτική μας προσπάθεια.

[Σταύρος Σταυρόπουλος]

Ευχαριστούμε πολύ.

[irakleios]

Ευχαριστούμε πάρα πολύ !!! Θαυμάσια εργασία !

Έχω μια ερώτηση : Πως μπορούμε να δώσουμε στα παιδιά της Β Γυμνασίου , τον ορισμό της εξίσωσης ;

[bilstef]

Ευχαριστούμε πάρα πολύ !!! Θαυμάσια εργασία !

Έχω μια ερώτηση : Πως μπορούμε να δώσουμε στα παιδιά της Β Γυμνασίου , τον ορισμό της εξίσωσης ;

Μια προσπάθεια:
Είναι μια ισότητα που περιέχει άγνωστο και την οποία εξετάζουμε ΑΝ και ΠΟΤΕ αληθεύει

[alexandropoulos]

κάθε φορά που διαβάζω ένα κείμενό του ξανά πίσω στα θρανία και τον Κο Αντώνη στον πίνακα με τις ακολουθίες του και τις "κόντρες" του με τον Αείμνηστο Βάσο Σαββαϊδη

[parmenides51]

Με αφορμή την συζήτηση εδώ δηλώνω πως με μεγάλη μου χαρά θα περίμενα να δω το αντίστοιχο ''Περι Ανισώσεων'' γραμμένο από τον Δάσκαλο.

[Α.Κυριακόπουλος]

Με αφορμή την συζήτηση εδώ δηλώνω πως με μεγάλη μου χαρά θα περίμενα να δω το αντίστοιχο ''Περι Ανισώσεων'' γραμμένο από τον Δάσκαλο.

Αγαπητέ φίλε parmenides51.
Σε ευχαριστώ για αυτά που γράφεις.
Πολλοί συνάδελφοι με παροτρύνουν ( προφορικά, τηλεφωνικά, με e-mail), να γράψω μια τέτοια εργασία « ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ». Το έχω βάλει λοιπόν στα υπ' όψιν. Ίσως κάνω μια τέτοια εισήγηση στο επόμενο συνέδριο της Ε.Μ.Ε. που λένε ότι θα γίνει (στην Ιδιαίτερη πατρίδα μου) την Καλαμάτα.
Φιλικά.

[Mihalis_Lambrou]

<...>
Όταν στη συνέχεια τους ρωτώ για την επίλυση από τους ίδιους της
(2)
τότε διαπιστώνουν ότι η λύση της (2) (με χιαστί) και επαλήθευση έχει μεγαλύτερη σημασία από την εύρεση του
συνόλου ορισμού της (2), που είναι δύσκολο για όποιον μαθητή Α' λυκείου
δεν έχει ταλέντο στην παραγοντοποίηση ή καλές γνώσεις πολυωνύμων ( R-{-5/2}) <...>

Ωραιότατα όλα, αλλά θα ήθελα να κάνω μία διευκρίνιση σε ένα σημείο, με αφορμή την τελευταία γραμμή του παραπάνω.

Έχουμε συνηθίσει στη χώρα μας, σε εξισώσεις όπως η παραπάνω, να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της παράστασης. Περιέργως, αυτό ΔΕΝ είναι απαραίτητο, εκτός αν ζητηθεί.
Αυτό που μπορούμε να κάνουμε στη θέση της (περιττής) εύρεσης του είναι κάτι απλούστερο. Συγκεκριμένα, για το παραπάνω παράδειγμα μπορούμε να πούμε:

Έστω . Το είναι μη κενό καθώς (άμεσος έλεγχος). Για οποιοδήποτε η δοθείσα είναι ισοδύναμη με την (και λοιπά και λοιπά, άρα) ή . Τώρα, επειδή οι τιμές αυτές ανήκουν στο (άμεσος ο έλεγχος) είναι δεκτές.

Ας προσθέσω ότι με την απλοποίηση που κάνω, μπορούμε να λύσουμε π.χ. την

, χωρίς αλλαγή στη μέθοδο, ενώ αν πρώτα ψάχναμε το αντίστοιχο , θα φρακάραμε.

Πιστεύω ότι οι περισσότεροι διορθωτές, δυστυχώς, θα παίρνανε την μέθοδο που γράφω ως ελλειπή. Πλην όμως είναι πλήρης (και καλύτερη από την συνηθισμένη πρακτική στη χώρα μας).

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: διόρθωση τυπογραφικού.

[Α.Κυριακόπουλος]

<...>
Όταν στη συνέχεια τους ρωτώ για την επίλυση από τους ίδιους της
(2)
τότε διαπιστώνουν ότι η λύση της (2) (με χιαστί) και επαλήθευση έχει μεγαλύτερη σημασία από την εύρεση του
συνόλου ορισμού της (2), που είναι δύσκολο για όποιον μαθητή Α' λυκείου
δεν έχει ταλέντο στην παραγοντοποίηση ή καλές γνώσεις πολυωνύμων ( R-{-5/2}) <...>

Ωραιότατα όλα, αλλά θα ήθελα να κάνω μία διευκρίνιση σε ένα σημείο, με αφορμή την τελευταία γραμμή του παραπάνω.
Έχουμε συνηθίσει στη χώρα μας, σε εξισώσεις όπως η παραπάνω, να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της παράστασης. Περιέργως, αυτό ΔΕΝ είναι απαραίτητο, εκτός αν ζητηθεί.
Αυτό που μπορούμε να κάνουμε στη θέση της (περιττής) εύρεσης του είναι κάτι απλούστερο. Συγκεκριμένα, για το παραπάνω παράδειγμα μπορούμε να πούμε:

Έστω . Το είναι μη κενό καθώς (άμεσος έλεγχος). Για οποιοδήποτε η δοθείσα είναι ισοδύναμη με την (και λοιπά και λοιπά, άρα) ή . Τώρα, επειδή οι τιμές αυτές ανήκουν στο (άμεσος ο έλεγχος) είναι δεκτές.
Ας προσθέσω ότι με την απλοποίηση που κάνω, μπορούμε να λύσουμε π.χ. την
, χωρίς αλλαγή στη μέθοδο, ενώ αν πρώτα ψάχναμε το αντίστοιχο , θα φρακάραμε.
Πιστεύω ότι οι περισσότεροι διορθωτές, δυστυχώς, θα παίρνανε την μέθοδο που γράφω ως ελλειπή. Πλην όμως είναι πλήρης (και καλύτερη από την συνηθισμένη πρακτική στη χώρα μας).
Φιλικά, Μιχάλης

Μιχάλη, συγνώμη αλλά ίσως δεν πρόσεξες ότι τον τρόπο που αναφέρεις τον αναπτύσσω στο συνημμένο «ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ» στην παράγραφο 10 και μάλιστα λύνω εκεί με τον τρόπο αυτό το παράδειγμα 2. Μάλιστα εκεί αναφέρω ρητά ότι το σύνολο ορισμού μιας εξίσωσης δεν είναι απαραίτητο να το βάζουμε υπό μορφή διαστήματος η ενώσεων διαστημάτων του ( αν το είχε προσέξει ο 7apostolis δεν θα έγραφε την γραμμή που αναφέρεις). Αυτό, πέρα από το συνημμένο, το έχω τονίσει στο παρελθόν σε μηνύματά μου εδώ και εδώ ίσως και αλλού.
Με εκτίμηση και αγάπη.

[dennys]

k.Αντώνη

Σάς ευχαριστώ και εγώ για τίς σωστές αντιμετωπίσεις περί εξισώσεων. Πρέπει να μάθουμε και πρώ τος εγώ , ότι η υπεραπλούστευση ,

είναι κακό πράγμα,ειδικά αν γίνεται απο άγνοια(ελλιπή γνώση) και οχι απο θέληση να καταλάβει ο μαθητής την έννοια.

Μας βοηθάτε να γίνουμε καλύτεροι .Να είστε καλά.

dennys