Σύστημα στο R

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Να λυθεί το σύστημα:
$x+\sqrt{x-1}+y+\sqrt{y-1}= 20$
$x-\sqrt{x-1}-y+\sqrt{y-1}= 4$
στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

#2

Θέτουμε:

$k , m\geq 0$
Τότε έχουμε:

$k+k^{2}+m+m^{2}=18$

$k-k^{2}-m+m^{2}=4$

Με πρόσθεση και ύστερα με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμνε:
$k+m^{2}=11$

$k^{2}+m=7$
'Αρα
$k=11-m^{2}$

$(11-m^{2})^{2}+m=7$

Οπότε καταλήγουμε στην εξίσωση:
$m^{4}-22m^{2}+m+114=0\Leftrightarrow (m-3)(m^{3}+3m^{2}-13m-38)=0$

'Ομως

$k=11-m^{2}\geq 0\Rightarrow m^{2}\leq 11$

Άρα
$m.m^{2}\leq 11m \Rightarrow m^{3}\leq 11m$

$m^{2}\leq 11\Rightarrow 3m^{2}\leq 33$

Και με πρόσθεση:
$m^{3}+3m^{2}\leq 11m+33\Rightarrow m^{3}+3m^{2}-13m-38\leq -2m-5<0$

Άρα η μόνη λύση είναι m=3

οπότε έχουμε

m=3

$k^{2}=4$
Και αφού

μη αρνητικός έπεται ότι
m=3 , k=2

και άρα

ή

Σύστημα στο R

Σύστημα στο R

Re: Σύστημα στο R

Μέλη σε σύνδεση