Εκθετική-Λογαριθμική 5

Γιώργος Κ77 · #1

Να λυθεί η ανίσωση $\log _{3}(4-\eta \mu 3x)\leq \sigma \upsilon \nu \frac{12x}{5}$ .

#2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Να λυθεί η ανίσωση $\log _{3}(4-\eta \mu 3x)\leq \sigma \upsilon \nu \frac{12x}{5}$ .

Έστω $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ μια λύση της εξίσωσης.

Τότε ισχύει

$\displaystyle{1=\log _{3}3\leq \log _{3}(4-\sin 3x)\leq \cos \frac{12}{5}\leq 1.}$

Άρα ισχύει παντού ισότητα, δηλαδή $\displaystyle{\sin 3x=1}$ και $\displaystyle{\cos \frac{12x}{5}=1,}$ άρα

$\displaystyle{3x=2m\pi +\frac{\pi}{2}}$ και $\displaystyle{\frac{12x}{5}=2n\pi ,}$ με $\displaystyle{m,n\in \mathbb{Z}.}$

Με απαλοιφή του $\displaystyle{x}$ λαμβάνουμε τη γραμμική διοφαντική εξίσωση $\displaystyle{5n-4m=1.}$

Αυτή έχει λύση, αφού $\displaystyle{MK\Delta (m,n)=1/1}$ και μία προφανής λύση είναι η $\displaystyle{(1,1).}$

Άρα όλες οι λύσεις της είναι οι $\displaystyle{m=5t+1,n=4t+1,t\in \mathbb{Z}.}$

Με επαλήθευση βλέπουμε ότι όλες είναι δεκτές.

alexandropoulos · #3

Υπέροχη λύση

Εκθετική-Λογαριθμική 5

Εκθετική-Λογαριθμική 5

Re: Εκθετική-Λογαριθμική 5

Re: Εκθετική-Λογαριθμική 5

Μέλη σε σύνδεση