Εξίσωση στο σύνολο C των μιγαδικών

#1

Στην παρακάτω άσκηση έχω λύση (όχι και τόσο εύκολη) με τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού.

ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί στο $\mathbb C$ η εξίσωση :

$\displaystyle{ |z+\frac {1}{z}| = |z^2+\frac {1}{z^2}| =2 }$

Απάντηση : z= 1,z=-1

Μπάμπης

#2

Από την $\displaystyle{ |z+\frac {1}{z}| =2 }$ βρίσκουμε $\displaystyle{ |z^2+\frac {1}{z^2}+2| =4 }$ .

Θέτουμε $\displaystyle{w=z^2+\frac{1}{z^2}}$ .

Τότε |w+2|=4

και

.

Πρόκειται για δύο κύκλους που εφάπτονται εσωτερικά οπότε εύκολα w=2

και έτσι

.

Άρα

ή

.

nikoszan · #3

Έχουμε $\displaystyle{\left| {z + \frac{1}{z}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left| {z + \frac{1}{z}} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left| {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} + 2} \right| = 4:\left( 1 \right)}$ και $\displaystyle{\left| {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right| = 2:\left( 2 \right)}$
Θέτω $\displaystyle{{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = x + yi,\left( {x,y \in R} \right)}$

Έχουμε $\displaystyle{\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4:\left( 3 \right)}$

Ακόμη έχουμε $\displaystyle{\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 2} \right) + yi} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 4 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 16:\left( 4 \right)}$

Το σύστημα των $\displaystyle{\left( 3 \right)}$ και $\displaystyle{\left( 4 \right)}$ έχει μοναδική λύση $\displaystyle{\left( {x,y} \right) = \left( {2,0} \right)}$ .

Έτσι έχουμε $\displaystyle{{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = 2 \Leftrightarrow {z^4} - 2{z^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {z = 1} \right. \vee z = \left. { - 1} \right)}$

Νικος Αντωνόπουλος · #4

Μια, λίγο διαφορετική προσέγγιση. Αν θέσουμε $z+\frac{\text{1}}{z}=w$ η εξίσωση γίνεται $|w|=|{{w}^{2}}-2|=2$ οπότε $2=\frac{w\bar{w}}{2}$ και $|{{w}^{2}}-2|=2\Leftrightarrow |{{w}^{2}}-\frac{w\bar{w}}{2}|=2\Leftrightarrow |2w-\bar{w}|=2$ . Αν τώρα πούμε w=x+yi

τότε από τις |w|=2

και $|2w-\bar{w}|=2$ βρίσκουμε w=2

ή

$(x=\pm 2\kappa \alpha \iota y=0)$ . Εύκολα πλέον προκύπτουν τα αποτελέσματα.

Εξίσωση στο σύνολο C των μιγαδικών

Εξίσωση στο σύνολο C των μιγαδικών

Re: Εξίσωση στο σύνολο C των μιγαδικών

Re: Εξίσωση στο σύνολο C των μιγαδικών

Re: Εξίσωση στο σύνολο C των μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση