Αβελιανή ομάδα

#1

Έστω

πολλαπλασιαστική ομάδα. Αν υπάρχει επί απεικόνιση $f:G \to G$ ώστε $f(f(x)f(xy))=yf(x),\ \forall x,y \in G$ ,

να αποδειχθεί ότι η ομάδα είναι αβελιανή.

#2

Για

είναι $f(f(e)f(y))=yf(e) \ (*)$ οπότε η

είναι 1-1 και επί.
Υπάρχει, λοιπόν, μοναδικό $a\inG$ ώστε f(a)=e.

Για

είναι

και άρα

Για

η τελευταία δίνει a=e.

Η

γίνεται $f(f(x))=x. \ (**)$
Για $y=x^{-1}$ είναι $f(f(x))=x^{-1}f(x)\implies x=x^{-1}f(x)\implies f(x)=x^2.$
Η (**)

δίνει $x^4=x\implies x^3=e.$
Τέλος, η αρχική γίνεται
$(x^2(xy)^2)^2=yx^2\implies (x^3yxy)^2=yx^2\implies yxyyxy=yx^2\implies xy^2xy=x^2\implies y^2xy=x\implies y^3xy=yx\implies xy=yx, \ QED.$

ΖΩΗ · #3

Λίγο διαφορετικά από το Θανάση έως το σημείο που βρίσκουμε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .

Για $\displaystyle{y=e}$ στην αρχική έχουμε: $\displaystyle{f(f(x)f(x)) = f(x),\, \forall x \in G \implies \forall f(x) \in f(G) \overset {f=\varepsilon \pi \iota }{=\!=\!=}G}$ δηλαδή $\displaystyle{f(a^2) = a,\, \forall a \in G}$ . (1)

Για $\displaystyle{a=e}$ στην (1) έχουμε: $\displaystyle{f(e)= e}$ . (2)

Για $\displaystyle{x=e}$ στην αρχική και λόγω της (2) έχουμε: $\displaystyle{f(f(y))=y,\, \forall y \in G.}$ (3)

Από την (1) έχουμε: $\displaystyle{f(a) = f(f(a^2)) \overset {(3)}{=\!=}a^2,\, \forall a \in G}$ .

Αβελιανή ομάδα

Αβελιανή ομάδα

Re: Αβελιανή ομάδα

Re: Αβελιανή ομάδα

Μέλη σε σύνδεση